2025年新高考艺术生数学突破讲义专题41数列求和

专题41数列求和【知识点总结】求数列前项和的常见方法如下：（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式．（2）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列．（3）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式．常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律．（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和．【典型例题】例1．（2024·高二·江西抚州·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，且，令,又，两式相加得：，解得，故选：B例2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】注意到，则.则.故选：B例3．（2024·高三·江苏南京·开学考试）在数列中，已知，，则的前11项的和为（

）A．2045 B．2046 C．4093 D．4094【答案】C【解析】由，得，而，解得，所以的前11项的和.故选：C例4．（2024·江西萍乡·二模）已知函数，等差数列满足，则．【答案】/【解析】.依题意是等差数列，令，，结合等差数列的性质，两式相加得.故答案为：.例5．（2024·甘肃陇南·一模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为，若，则数列的前30项和为.【答案】240【解析】由题意知，，故数列的前30项和为，故答案为：240例6．（2024·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)证明：．【解析】（1），故为常数列，其中，故，故，即；（2），设的前项和为，则①，②，两式①-②得，，故.例7．（2024·高三·山西太原·期末）已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【解析】（1）设的公差为，由题意得；当时，则，，当时，则，，，是以1为首项，3为公比的等比数列，；（2）由（1）得，，①，②①－②得，.例8．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）等差数列的前项和为，其中；(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，由题可得：，又，解得，故.（2），故.故数列的前项和.例9．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）设数列为等差数列，前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)设的前项和为，求．【解析】（1）设数列的公差为，由，则，解得，故；（2）由（1）得．.例10．（2024·宁夏·一模）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若，证明：．【解析】（1）设的公差为，则根据题意有，解之得，所以，即的通项公式为；（2）由上可知，所以，则，易知,.例11．（2024·高二·江苏南京·期末）已知数列的前n项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和为．【解析】（1）①，当时，，解得，当时，②，式子①-②得，故，因为，所以，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；（2），.例12．（2024·高三·重庆·期末）已知数列是等差数列，且，．(1)求的通项公式；(2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求．【解析】（1）设数列的公差为，则，，解得,故；（2）由可得前11项分别为故的前11项分别为所以.【过关测试】一、单选题1．（2024·高二·湖北·阶段练习）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（

）A．2023 B．4046 C．2022 D．4044【答案】B【解析】根据等比数列的下标性质由，∵函数，∴，令，则，∴，∴．故选：B2．（2024·高二·全国·课时练习）已知函数，数列满足，则（

）A．2022 B．2023 C．4044 D．4046【答案】A【解析】∵，∴．∵，∴．令，则，两式相加得，∴．故选:A3．（2024·高三·宁夏石嘴山·期中）已知数列满足，，则其前6项之和是（）A．16 B．20 C．33 D．120【答案】C【解析】因为，∴，，，，，∴其前6项之和是.故选：C．二、多选题4．（2024·高二·山西大同·期末）已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（

）A．数列是等比数列 B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A选项，取，得，又，所以，取，得，所以，显然，即数列一定不是等比数列，所以A错误；对于B选项，取，得，取，得，所以，所以B正确；对于C，D选项，由，得，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，，，，所以C，D均正确．故选:BCD．三、填空题5．（2024·高二·安徽蚌埠·阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得．【答案】2022【解析】由，令，则，两式相加得：，∴．故答案为：20226．（2024·高三·全国·阶段练习）已知数列满足，则，.【答案】3【解析】由题意，得，则数列为首项为1公差为3的等差数列，所以，得，则；由，得，即，所以.故答案为：；37．（2024·陕西西安·二模）已知数列的通项公式为，为其前项和，则．【答案】【解析】由题意，数列的通项公式为，可得.故答案为：.8．（2024·高三·河南·专题练习）数列，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》之中.若数列的每项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前50项的和.【答案】34【解析】斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，将的每一项除以2所得余数构成的新数列为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，这是一个周期数列，周期为3，又，故数列的前50项的和为故答案为：349．（2024·高三·河南焦作·期末）已知数列中，，且，则的前12项和为．【答案】【解析】依题意，故，,所以，，，…，故的前12项和为．故答案为：10．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）在各项均为正数的等差数列中，，，，成等比数列，保持数列中各项先后顺序不变，在与（）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则.【答案】348【解析】设公差为，由题意得，即，解得，解得或（舍去），故，，则，，，，，，，，，，，，故.故答案为：34811．（2024·陕西铜川·一模）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2024项和.【答案】1012【解析】由等和数列概念可得，，，，，所以.故答案为：101212．（2024·高三·广东肇庆·阶段练习）记数列的前项和为，且，则.【答案】/【解析】，，所以数列是周期为3的周期数列，又，，，.故答案为：.13．（2024·高二·湖南·阶段练习）已知数列满足，其前项和为，则．【答案】/【解析】因为，.故答案为：.四、解答题14．（2024·高三·全国·专题练习）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．(1)求证：点的纵坐标为定值；(2)若且求；【解析】（1）证明：设，因为，故可得，由知，故，故.故点的纵坐标为定值.（2）由（1）知，两式相加得：，故.15．（2024·高三·河北邯郸·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．【解析】（1）因为，所以，当时，，所以，即，又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知，，所以，因为①，所以②，由①-②得：，所以．16．（2024·高三·河北沧州·阶段练习）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：．【解析】（1）由题知，当时，，则．又．①当时，，②①-②得，所以．当时，也适合．综上，数列的通项公式为．（2）因为．所以，①，②①-②得，整理得，因为．所以17．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【解析】（1）由，当时，由，两式相减，得，因此数列是以2为首项，为公比的等比数列，即.设等差数列的公差为，因为，所以，因此，故，；（2）由（1）可知，，所以，设数列的前项和为，则有，，两式相减，得，即，因此.18．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求的前项和．【解析】（1）因为，当时，得，当时，，两式相减得：，则，检验：满足上式，故；（2）由（1）知，则，故，两式相减可得：，故．19．（2024·高三·内蒙古锡林郭勒盟·阶段练习）设公差不为0的等差数列中，，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和满足：，求数列的前项和.【解析】（1）设数列的公差为，，，，；（2）当，当时，，，，①，②，由①-②得，，，.20．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，且，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【解析】（1）设等比数列的公比为.由，得，解得.因为的各项均为正数，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得，所以，，两式相减，得所以.21．（2024·高三·山东·期中）数列中，．(1)求数列的通项公式．(2)求前n项和．【解析】（1）方法1：

当．又也适合上式，．方法2：为公比为2，首项为1的等比数列．，（2）由（1）知，①②①－②，22．（2024·高三·辽宁·阶段练习）已知数列满足.(1)求证：为等比数列；(2)求数列的前项和.【解析】（1）因为，所以，又，故为等比数列，首项为1，公比为2；（2）由（1）可知，，故，，故，令①，则，其中②，①-②得，，故，.23．（2024·陕西西安·二模）已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，则由题意得，即，解得，数列的通项公式为（2），则，，.24．（2024·高三·江西·开学考试）已知数列满足，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【解析】（1）设，则，，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，．（2），．25．（2024·高三·广东·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【解析】（1）设等差数列的公差为d，则由，，得，解得，故；（2）由（1）得，故.26．（2024·高三·浙江·开学考试）已知等差数列的各项均为正数，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求的通项公式及其前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，所以的通项公式为.（2）由得，，所以，又，所以.由，得.27．（2024·高三·山东聊城·期末）已知等差数列的前项和为，且，，.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，求证：.【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以.（2）证明：由（1）可得，则，所以，所以.28．（2024·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)记，求证：.【解析】（1）因为成等比数列，且，所以，由，解得，所以.（2）由，得，由，有，所以，得.29．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【解析】（1）因为，，所以，因为，所以，将两式相减，得：，所以数列的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列.当为奇数时，，，……，且，则，当为偶数时，则，所以.（2）设的前项和为，当时，，当时，，当时，，当