2025年新高考艺术生数学突破讲义专题37圆锥曲线重点常考题型之轨迹方程

专题37圆锥曲线重点常考题型之轨迹方程【考点预测】求动点的轨迹方程一、直译法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。二、定义法若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。三、相关点法（代入法）有些问题中，所求轨迹上点的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用表示，再将代入已知曲线方程，即得关系式。【典型例题】例1．（2024·山东泰安·一模）在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为（

）A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．圆【答案】D【解析】设点，点，则，.由可得：，即.所以点的轨迹为圆.故选：D例2．（2024·高二·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，动点满足，由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，设双曲线方程为，则有，，，所以动点的轨迹方程为.故选：D.例3．（2024·高二·江苏常州·期中）若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知动点满足方程，设，且，则有，故点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，且中心在原点，焦点在轴，即点的轨迹轨迹方程为椭圆的标准方程，则，，故所求轨迹方程为,故选：B.例4．（2024·高二·甘肃临夏·期中）已知圆，直线l过点.线段的端点B在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，，由点是的中点，得，可得，又点在圆上运动，所以，将上式代入可得，，化简整理得点的轨迹方程为：.故选：B例5．（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点作圆的切线并交于点(点不在轴上)，则点的轨迹方程为（

）A．B．C．或D．【答案】A【解析】设分别与圆相切于点，则，，，所以，且，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去与轴交点)，这里，，，则，故点的轨迹方程为.故选：A例6．（2024·广西梧州·模拟预测）若圆与圆关于直线对称，过点的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，因为圆与圆关于直线对称，所以的中点满足直线方程，解得，过点的圆P与y轴相切，设圆心P的坐标为，所以解得：，故选：C．例7．（2024·高二·全国·课时练习）等腰三角形ABC中，若底边的两个顶点的坐标分别为，则第三个顶点C的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意可知，底边的两个顶点为，则，即第三个顶点C在线段的垂直平分线上，设，易知的中点坐标为，，所以的垂直平分线斜率，利用直线的点斜式方程可得即的垂直平分线方程为，又三点构成三角形，所以，即C的轨迹方程为.故选：C例8．（2024·高二·上海浦东新·期末）当点在椭圆上运动时，连接点与定点，则的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，，为中点，，则，即，又在椭圆上，，即，点轨迹方程为：.故选：D.例9．（2024·高二·广东深圳·期末）已知点，，动点满足，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设,因为,所以又因为,所以,即得可得点的轨迹方程为故选:.例10．（2024·高三·全国·专题练习）过点且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程为．【答案】【解析】由题意可得，动圆的圆心到直线的距离与到点的距离相等，所以动圆的圆心是以点为焦点，直线为准线的抛物线，则其方程为．故答案为：例11．（2024·高三·全国·专题练习）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为.【答案】【解析】由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6．∵线段的垂直平分线交于点，如图，∴，∴，∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，∴，，，∴其轨迹方程为．故答案为：．例12．（2024·高三·全国·专题练习）若，，点P到，的距离之和为10，则点P的轨迹方程是【答案】【解析】因为，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，故点P的轨迹方程为.故答案为：例13．（2024·高三·广东东莞·阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，则圆心的轨迹方程为【答案】【解析】设动圆P的圆心为，半径为，由题意得，所以，所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆，则，即，，则，所以动圆圆心的轨迹方程为，故答案为：例14．（2024·高三·全国·专题练习）已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程;【解析】设点的坐标为，因为，所以，化简得.故动点的轨迹方程为.例15．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，线段的中点为D，过的中点E且平行于的直线交于点P．求动点P的轨迹方程.【解析】如图所示，圆心，．因为D为中点，所以，即，又，所以，又E为的中点，所以为线段的垂直平分线，所以，所以，若弦为轴，此时重合，不符合题意，所以不在轴上，所以动点P的轨迹是以，为焦点的椭圆（左、右顶点除外），设动点P的轨迹方程为：，其中，，则，，所以，所以动点P的轨迹方程为：．例16．（2024·高二·全国·课堂例题）已知，动点P满足，求动点P的轨迹方程．【解析】因为，所以根据双曲线的定义可知，一定在1，2且焦点在x轴上的双曲线的右支上，则，这就是说，点P的坐标一定满足．另一方面，由可知，因此P的横坐标要大于零，从而可知P的轨迹方程为．【过关测试】一、单选题1．（2024·高三·江西·开学考试）已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设点、、，由，所以，，可得，因为正方形的面积为，即，即，整理可得，因此，动点的轨迹方程为.故选：C.2．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于点是椭圆上的动点，设，则，又于点，则；设，由，得，则，代入，得，即点的轨迹方程为，故选：A3．（2024·高三·江西南昌·阶段练习）一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可知：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径；因为，可知圆与圆内切于点，显然圆心不能与点重合，设圆的半径为，由题意可知：，则，可知点M的轨迹是以为焦点的椭圆（点除外），且，可得，所以点的轨迹方程为.故选：D.二、填空题4．（2024·高三·山东烟台·阶段练习）已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是．【答案】．【解析】设，则，设，由为的角平分线，可得，即有，可得,，即，，可得，，则，即为．故答案为：．5．（2024·高三·北京房山·期末）已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是.【答案】或【解析】设点，依题意，，即，整理得，所以的轨迹方程是或.故答案为：或6．（2024·高三·广东揭阳·期中）设，两点的坐标分别为，，直线、相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是.【答案】【解析】设点的坐标为，点的坐标是，所以直线的斜率.同理，直线的斜率.由已知，有，化简，得点的轨迹方程为.所以点的轨迹是除去，两点的椭圆.故答案为：7．（2024·高三·全国·专题练习）直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是．【答案】【解析】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）．由题意知，则，∴点的轨迹方程为．又点在椭圆内，∴，解得：，故答案为：.8．（2024·高三·全国·专题练习）已知平面直角坐标系中有两点，且曲线上的任意一点P都满足．则曲线的轨迹方程为.【答案】【解析】设，由题设有，整理得到，故.故答案为：.9．（2024·高二·上海青浦·期中）已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为．【答案】【解析】设线段中点为，，则，即，因为点为圆上的点，所以所以，化简得：故答案为：10．（2024·高三·全国·课时练习）已知点F（1，0），直线，若动点P到点F和到直线l的距离相等，则点P的轨迹方程是.【答案】【解析】根据抛物线定义可知，点在以为焦点，直线为准线的抛物线上，所以，，抛物线方程为.故答案为：.11．（2024·高二·四川绵阳·期中）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为．【答案】【解析】由题意，由得，化简得．故答案为：．12．（2024·高二·河南信阳·期末）圆与的位置关系为；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为．【答案】内含【解析】依题意，圆心，半径，圆心，半径，所以，则两圆内含；设动圆的圆心，半径为，则，，依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中，又，所以的轨迹方程为.故答案为：内含；.13．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为．【答案】【解析】设圆的半径为，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为圆与圆、圆外切，则，所以，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，又，则，所以其轨迹方程为．故答案为：．三、解答题14．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆：，点M为圆上任意一点，，的中垂线交于点E．求点E的轨迹方程．【解析】，，的中垂线交于点E．则有，，所以E点在以，为焦点的椭圆上，设该椭圆的方程为（），半焦距为，由，得，由，得，所以．故点E的轨迹方程为．15．（2024·高二·上海·课后作业）已知点、是距离为4的两个定点，动点满足，建立适当的平面直角坐标系，并求动点的轨迹方程．【解析】如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则两定点为、．设动点的坐标是，则，．因为，所以，化简得．这表明，动点轨迹上任意点的坐标都满足这个方程．反过来，设平面上一点的坐标也满足方程，即有，则．从而以方程的解为坐标的点都在轨迹上．综上所述，方程就是所求的动点的轨迹方程．16．（2024·高一·福建莆田·阶段练习）已知圆，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.(1)若点P运动到处，求此时切线l的方程；(2)求满足条件的点P的轨迹方程．【解析】（1）把圆化为标准方程为，∴圆心为，半径.当l的斜率不存在时，此时l的方程为，C到l的距离，满足条件．当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为，即，则，解得.∴l的方程为，即，综上，满足条件的切线l的方程为或.（2）设，则，.∵，∴，整理，得，∴点P的轨迹方程为.17．（2024·高三·全国·专题练习）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程；【解析】设，，则，，由得.因为在C上，所以.因此点P的轨迹为.18．（2024·高三·全国·专题练习）在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程；【解析】设，线段的中点，因为为线段的中点，，，，即，得.所以点的轨迹方程是．19．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程【解析】因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为，则，，所以，所以点的轨迹是双曲线的一支，又，，，所以其轨迹方程为.20．（2024·高三·全国·专题练习）已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M.求点M的轨迹方程；【解析】由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等，所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为；21．（2024·高三·全国·专题练习）已知为坐标原点，定点，是圆内一动点，圆与以线段为直径的圆内切．求动点的轨迹方程.【解析】令，则以线段为直径的圆的圆心为，又在圆内，且圆与以线段为直径的圆内切，，整理可得：，，即，，整理可得：，又是圆内一动点，，则的轨迹方程为：.22．（2024·高三·全国·专题练习）已知是圆内的一点是圆上两动点，且满足，求矩形顶点Q的轨迹方程．【解析】连接AB，PQ，设AB与PQ交于点M，如图所示．因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，PQ的中点，连接OM.由垂径定理可知设由此可得①又在中，有②由①②得故点M的轨迹是圆．因为点M是PQ的中点，设则代入点M的轨迹方程中得，整理得，即为所求点Q的轨迹方程．23．（2024·高三·全国·专题练习）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程.【解析】依题意，设点坐标各为，因为在双曲线中，则，所以，因为，所以，由三角形重心坐标公式有，即，因为，所以，已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有，即所求重心的轨迹方程为：.24．（2024·高三·全国·专题练习）已知点P，Q是圆上的两个动点，若直线OP与OQ的斜率都存在且满足．当时，求PQ的中点M的轨迹方程；【解析】设点，，.如图所示：点P，Q是圆上的两个点，直线OP与OQ的斜率都存在.，.当时，，，为等腰直角三角形.点M是PQ的中点在中，由两点间距离公式得，其中，即，所以PQ的中点M的轨迹方程为．25．（2024·高三·全国·专题练习）在中，的对边分别为（其中为定值），以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系（如图），请你给出适当的条件，求出顶点的轨迹方程．

【解析】若条件为.当时，顶点的轨迹为线段的中垂线，方程为；若条件为.当时，顶点的轨迹为以原点为圆心，以为半径的圆，方程为；若条件为顶点到轴的距离等于.当顶点到轴的距离等于时，顶点的轨迹为以为焦点，以轴为准线的抛物线，方程为；若条件为或.当或时，顶点的轨迹为以A、为左右焦点，以2c为长轴的椭圆，方程为；若条件为周长为定值．当周长为定值时，顶点的轨迹为以A、为左右焦点，以为长轴的椭圆，方程为；若条件为或．当或时，顶点的轨迹为以A、为左右焦点，以为实轴的双曲线，方程为；若条件为.当时，顶点的轨迹为以A、为左右焦点，以为实轴的双曲线的左支，方