高考数学一轮复习高考大题规范解答系列（三）-数列学案新人教版

高考大题规范解答系列(三)一一数列

考点一判断等差数列和等比数列

1(2017•全国卷I)记为等比数列｛%｝的前〃项和，已知S2=2,S3=-6.

(1)求｛如｝的通项公式；

(2)求S”，并判断S”+i，S”，S”+2是否成等差数列.

【分析】(1)看到§2=2,S3=-6,想到S2=ai+a2,53=0+42+03，利用等比数列的

通项公式求解.

(2)看到判断S"+1,Sn，S,+2是否成等差数列，想到等差数列的等差中项，利用2S”=S“+1

+S.+2进行证明.

【标准答案】——规范答题步步得分

(1)设｛〃”｝的首项为4],公比为4

0（1+,）=2,

由题设可得.......................................................2分|得分点①|

«i（l+q+炉）一一6,

解得夕=-2,a\=-2.4分得分点②

故｛如｝的通项公式为斯=(-2)”.............................................................6分|得分点③

/jif1—)22"।।

(2)由(1)可得*=1_：1=_\+(_1)'丁，....................8分|得分点④|

42n+3—2n+2

由于S"+2+S〃+I=-Q+(-1)"---j------

n+,

22-----------D

=2[—g+(—l)Jy]=2S〃，....................................11分I得分点⑤

故Sm，S”，S“+2成等差数列...................................12分I得分点⑥I

【评分细则】

①列出关于首项为⑶，公比为g的方程组得2分.

②能够正确求出和4得2分，只求对一个得1分，都不正确不得分.

③正确写出数列的通项公式得2分.

④正确计算出数列的前〃项和得2分.

⑤能够正确计算出S〃+i+S〃+2的值得2分，得出结论2S〃=S〃+I+&+2再得1分.

⑥写出结论得1分.

【名师点评】

1.核心素养：数列问题是高考的必考题，求数列的通项公式及判断数列是否为等差或等

比数列是高考的常见题型.本类题型重点考查“逻辑推理”及“数学运算”的学科素养.

2.解题技巧：(1)等差(或等比)数列的通项公式、前〃项和公式中有五个元素0、d(或夕)、

小。〃、S”“知三求二”是等差(等比)的基本题型，通过解方程的方法达到解题的目的.

(2)等差、等比数列的判定可采用定义法、中项法等.如本题采用中项法得出2S.=S.+i+

〔变式训练1〕

(2021•四川省名校联盟模拟)已知数列｛斯｝的前〃项和为S〃，且满足2s”=-a”+〃(〃£N").

(1)求证：数列｛斯-3为等比数列；

(2)求数歹IJ｛诙一1｝的前n项和Tn.

［解析］⑴证明：•••2&=一%+〃，

当几=1时，2。］=—。］+1,解得0=/

当时，2S”-1=一小-|+〃一1,

两式相减，得2。〃=—〃“+%-［+1,

即

又m-9一卜。，

・,・数列｛诙一多为等比数列.

(2)由(1)知，数列卜“一群是以一点为首项，(为公比的等比数列.

-嫩，

：•兀=一黄一甘=船)"_1］子

,-3

考点二等差、等比数列的综合问题

►►■例2(2020・天津，19,15分)已知伍〃｝为等差数列，｛6｝为等比数列，ai=bi=\,as

=5(O|—。3)，65=4(64—。3)・

(1)求｛如｝和｛儿｝的通项公式；

(2)记｛%｝的前〃项和为S”，求证：S〃S“+2<S/I(〃EN*)；

党孝〃为奇数，

(3)对任意的正整数〃.设C“=求数列｛以｝的前2"项和.

£〃为偶数

【分析】(1)看到求｛““｝和｛6｝的通项公式，想到求0,6,公差d和公比4

(2)看到求证S"S“+2<&+i想到求出S〃并用作差比较法证明.

(3)看到数列求和且金通项分奇、偶，因此想到分组求和.

【标准答案】——规范答题步步得分

(1)设等差数列(a夕的公差为d,等比数列｛儿｝的公比为q.由m=1,45=5(%一的),可得d

=1，............................................................1分|得分点①|

从而｛为｝的通项公式为小=几...................................2分得分点②

由加=1,85=4(84一例)，又qWO，可得夕2-4“+4=0,解得g=2,3分|得分点③

从而｛儿｝的通项公式为儿=2"1................................4分|得分点④

⑵证明：由(1)可得&=硬#.................................

5分得分点⑤

故S"S"t2=；〃(〃+l)(〃+2)(〃+3),S3I=；(〃+1F(〃+2)2,.........

6分得分点⑥

从而12—SQ=一女〃+1)("+2)<0,所以SSH2<SS..........

SnSn(i8分得分点⑦

(3。〃-2)b〃(3〃-2)2“r2"、

(3)当〃为奇数时，c〃=9分得分点⑧

〃+2〃(〃+2)〃+2n'

当〃为偶数时，.................................10分得分点⑨

nn(O2*22k2、j2n

对任意的正整数〃，有铲一2扇T-后T卜赤11分得分点⑩

kikIx/

和tc2k=f/+*+…①

12分得分点⑪

尸1k=l

1”132九一3,2n-\

由①得彳=不+京H----―@

Jt=l

由①一②得含怎=；+亳+…+|一季"一]12/1-1

44〃+

E1--

从而得，:然=,一黑.

14分得分点⑫

2nnnAfl6〃+54

因此孕=守一+部=--对

4〃6〃+54---------

所以，数列｛C'｝的前2”项和为土■一不益一?..................15分得分点⑬

【评分细则】

①正确写出关于d的方程，求对d得1分.

②求对外的通项公式得1分.

③正确写出关于4的一元二次方程，求对0得1分.

④求对仇的通项公式得1分.

⑤求对S1的公式得1分.

⑥求对SX+2,能+1得1分.

⑦求对S”S“i2—S〉i的结果并证出结论得2分.

⑧求对n为奇数时c〃得1分.

⑨求对〃为偶数时心得1分.

⑩求对〃=2々-1时2c2”1得1分.

*=1

⑪写出n=2k时ECZA得1分.

i=l

⑫用错位相减法求对的求和得2分.

⑬求对cn的前2n项和得1分.

【名师点评】

1.核心素养：

数列的前〃项和是高考重点考查的知识点，错位相减法是高考考查的重点，突出考查“数

学运算”的核心素养.

2.解题技巧：

(1)熟记等差、等比数列的通项公式及前〃项和公式，解题时结合实际情况合理选择.如

第(1)问运用了等差、等比数列的通项公式.

(2)运用作差比较法证明SS»+2<S>i.

(3)本问的关键有两点：一是分类分别求金的通项；二是当〃=2及时用错位相减法求9

的和.

〔变式训I练2〕

(2018•天津，18)设｛为｝是等比数列,公比大于0,其前〃项和为S〃(〃£N*),｛6｝是等差数

列.已知。1=1,。3=。2+2,O|二力3+力5，05=64+266.

(1)求｛斯｝和｛6｝的通项公式;

(2)设数列｛S〃｝的前〃项和为

①求。；

分1日告(公+一+2)①2"”_

②证乐左伙+1)依+2厂〃+2—2(〃N).

［解析］⑴设等比数列优〃｝的公比为贝夕>0).

由0=1,〃3=。2+2,可得42-g—2=0.

因为q>0,可得q=2,故0|=2"