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文档简介
高考大题规范解答系列(三)一一数列
考点一判断等差数列和等比数列
1(2017•全国卷I)记为等比数列{%}的前〃项和,已知S2=2,S3=-6.
(1)求{如}的通项公式;
(2)求S”,并判断S”+i,S”,S”+2是否成等差数列.
【分析】(1)看到§2=2,S3=-6,想到S2=ai+a2,53=0+42+03,利用等比数列的
通项公式求解.
(2)看到判断S"+1,Sn,S,+2是否成等差数列,想到等差数列的等差中项,利用2S”=S“+1
+S.+2进行证明.
【标准答案】——规范答题步步得分
(1)设{〃”}的首项为4],公比为4
0(1+,)=2,
由题设可得.......................................................2分|得分点①|
«i(l+q+炉)一一6,
解得夕=-2,a\=-2.4分得分点②
故{如}的通项公式为斯=(-2)”.............................................................6分|得分点③
/jif1—)22"।।
(2)由(1)可得*=1_:1=_\+(_1)'丁,....................8分|得分点④|
42n+3—2n+2
由于S"+2+S〃+I=-Q+(-1)"---j------
n+,
22-----------D
=2[—g+(—l)Jy]=2S〃,....................................11分I得分点⑤
故Sm,S”,S“+2成等差数列...................................12分I得分点⑥I
【评分细则】
①列出关于首项为⑶,公比为g的方程组得2分.
②能够正确求出和4得2分,只求对一个得1分,都不正确不得分.
③正确写出数列的通项公式得2分.
④正确计算出数列的前〃项和得2分.
⑤能够正确计算出S〃+i+S〃+2的值得2分,得出结论2S〃=S〃+I+&+2再得1分.
⑥写出结论得1分.
【名师点评】
1.核心素养:数列问题是高考的必考题,求数列的通项公式及判断数列是否为等差或等
比数列是高考的常见题型.本类题型重点考查“逻辑推理”及“数学运算”的学科素养.
2.解题技巧:(1)等差(或等比)数列的通项公式、前〃项和公式中有五个元素0、d(或夕)、
小。〃、S”“知三求二”是等差(等比)的基本题型,通过解方程的方法达到解题的目的.
(2)等差、等比数列的判定可采用定义法、中项法等.如本题采用中项法得出2S.=S.+i+
〔变式训练1〕
(2021•四川省名校联盟模拟)已知数列{斯}的前〃项和为S〃,且满足2s”=-a”+〃(〃£N").
(1)求证:数列{斯-3为等比数列;
(2)求数歹IJ{诙一1}的前n项和Tn.
[解析]⑴证明:•••2&=一%+〃,
当几=1时,2。]=—。]+1,解得0=/
当时,2S”-1=一小-|+〃一1,
两式相减,得2。〃=—〃“+%-[+1,
即
又m-9一卜。,
・,・数列{诙一多为等比数列.
(2)由(1)知,数列卜“一群是以一点为首项,(为公比的等比数列.
-嫩,
:•兀=一黄一甘=船)"_1]子
,-3
考点二等差、等比数列的综合问题
►►■例2(2020・天津,19,15分)已知伍〃}为等差数列,{6}为等比数列,ai=bi=\,as
=5(O|—。3),65=4(64—。3)・
(1)求{如}和{儿}的通项公式;
(2)记{%}的前〃项和为S”,求证:S〃S“+2<S/I(〃EN*);
党孝〃为奇数,
(3)对任意的正整数〃.设C“=求数列{以}的前2"项和.
£〃为偶数
【分析】(1)看到求{““}和{6}的通项公式,想到求0,6,公差d和公比4
(2)看到求证S"S“+2<&+i想到求出S〃并用作差比较法证明.
(3)看到数列求和且金通项分奇、偶,因此想到分组求和.
【标准答案】——规范答题步步得分
(1)设等差数列(a夕的公差为d,等比数列{儿}的公比为q.由m=1,45=5(%一的),可得d
=1,............................................................1分|得分点①|
从而{为}的通项公式为小=几...................................2分得分点②
由加=1,85=4(84一例),又qWO,可得夕2-4“+4=0,解得g=2,3分|得分点③
从而{儿}的通项公式为儿=2"1................................4分|得分点④
⑵证明:由(1)可得&=硬#.................................
5分得分点⑤
故S"S"t2=;〃(〃+l)(〃+2)(〃+3),S3I=;(〃+1F(〃+2)2,.........
6分得分点⑥
从而12—SQ=一女〃+1)("+2)<0,所以SSH2<SS..........
SnSn(i8分得分点⑦
(3。〃-2)b〃(3〃-2)2“r2"、
(3)当〃为奇数时,c〃=9分得分点⑧
〃+2〃(〃+2)〃+2n'
当〃为偶数时,.................................10分得分点⑨
nn(O2*22k2、j2n
对任意的正整数〃,有铲一2扇T-后T卜赤11分得分点⑩
kikIx/
和tc2k=f/+*+…①
12分得分点⑪
尸1k=l
1”132九一3,2n-\
由①得彳=不+京H----―@
Jt=l
由①一②得含怎=;+亳+…+|一季"一]12/1-1
44〃+
E1--
从而得,:然=,一黑.
14分得分点⑫
2nnnAfl6〃+54
因此孕=守一+部=--对
4〃6〃+54---------
所以,数列{C'}的前2”项和为土■一不益一?..................15分得分点⑬
【评分细则】
①正确写出关于d的方程,求对d得1分.
②求对外的通项公式得1分.
③正确写出关于4的一元二次方程,求对0得1分.
④求对仇的通项公式得1分.
⑤求对S1的公式得1分.
⑥求对SX+2,能+1得1分.
⑦求对S”S“i2—S〉i的结果并证出结论得2分.
⑧求对n为奇数时c〃得1分.
⑨求对〃为偶数时心得1分.
⑩求对〃=2々-1时2c2”1得1分.
*=1
⑪写出n=2k时ECZA得1分.
i=l
⑫用错位相减法求对的求和得2分.
⑬求对cn的前2n项和得1分.
【名师点评】
1.核心素养:
数列的前〃项和是高考重点考查的知识点,错位相减法是高考考查的重点,突出考查“数
学运算”的核心素养.
2.解题技巧:
(1)熟记等差、等比数列的通项公式及前〃项和公式,解题时结合实际情况合理选择.如
第(1)问运用了等差、等比数列的通项公式.
(2)运用作差比较法证明SS»+2<S>i.
(3)本问的关键有两点:一是分类分别求金的通项;二是当〃=2及时用错位相减法求9
的和.
〔变式训I练2〕
(2018•天津,18)设{为}是等比数列,公比大于0,其前〃项和为S〃(〃£N*),{6}是等差数
列.已知。1=1,。3=。2+2,O|二力3+力5,05=64+266.
(1)求{斯}和{6}的通项公式;
(2)设数列{S〃}的前〃项和为
①求。;
分1日告(公+一+2)①2"”_
②证乐左伙+1)依+2厂〃+2—2(〃N).
[解析]⑴设等比数列优〃}的公比为贝夕>0).
由0=1,〃3=。2+2,可得42-g—2=0.
因为q>0,可得q=2,故0|=2"
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