2024-2025学年海南省海口市高三上学期全真模拟（二）数学检测试题（含解析）

2024-2025学年海南省海口市高三上学期全真模拟（二）数学检测试题1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页.2.考查范围：集合、常用逻辑用语、不等式、三角函数、平面向量、解三角形、函数和导数.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.2.已知不等式的解集是，则实数（）A. B. C.6 D.73.若命题“，”为真命题，则，的大小关系为（）A. B. C. D.4.已知向量，，，若与平行，则实数值为（）A. B. C.1 D.35.霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到100大约需要（）（，结果四舍五入取整）A.16天 B.17天 C.18天 D.20天6.已知，，则（）A. B. C.2 D.7.在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（）A B. C. D.8.已知函数，，若函数的图象与的图象在0,+∞上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A. B.C.1,+∞ D.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知集合，，则下列命题中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.在中，设分别为内角的对边，则下列条件中可以判定一定为等腰三角形的有（）A. B.C D.11.如图，在平面四边形中，已知，，且，.若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12已知函数满足，则______________.13.某校为了让学生感受生命的奥秘，培养学生热爱自然、探索大自然的意识，开展了“种植当岁初，滋荣及春暮”的活动.学校打算在宿舍后面的空地上开设一块面积为50m2的矩形田地让学生种植自己喜欢的植物，四周留有宽度分别为1m和2m的过道，如图所示，则该矩形田地的边长为______________m时，过道占地面积最小，最小面积为______________m2.14.已知定义在上的偶函数满足，当时，.设，则与图象的所有交点的横坐标之和为______________.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知的内角，，所对应的边分别为，，，且.（1）求；（2）若，求的面积.16已知，，函数满足.（1）求的最小值；（2）解关于的不等式.（用表示）17.已知向量，，函数，将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象.（1）求函数的解析式；（2）设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求周长的最大值.18.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积；（3）当时，证明：存在极小值.19.定义在上的函数，如果满足：对于任意的，存在常数，，使得，则称是区间上的有界函数，其中称为在区间上的下界，称为在区间上的上界，设为下界的最大值，为上界的最小值，将称为界高.（1）求证：函数为有界函数，并求其界高；（2）已知定义在上的函数，其中.（ⅰ）求证：为有界函数；（ⅱ）设函数的界高为，求证.2024-2025学年海南省海口市高三上学期全真模拟（二）数学检测试题1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页.2.考查范围：集合、常用逻辑用语、不等式、三角函数、平面向量、解三角形、函数和导数.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】先化简集合B，根据集合表示的是属于但不属于的元素即可求解.【详解】，阴影部分表示属于但不属于的元素，故图中阴影部分的集合为.故选：C2.已知不等式的解集是，则实数（）A. B. C.6 D.7【正确答案】A【分析】根据一元二次不等式的运算求解即可.【详解】由题知，是方程的根，根据韦达定理得，解得.故选.3.若命题“，”为真命题，则，的大小关系为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用的单调性判断即可.【详解】由，得.令，易知在上增函数，因为“，”为真命题，即，所以.故选：A.4.已知向量，，，若与平行，则实数的值为（）A. B. C.1 D.3【正确答案】C【分析】由平面向量共线的坐标表示求解即可.【详解】因为，，，所以，由与平行，得，解得.故选：C.5.霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到100大约需要（）（，结果四舍五入取整）A.16天 B.17天 C.18天 D.20天【正确答案】B【分析】利用待定系数求出参数，再求解自变量t的值，利用对数运算即可求得结果.【详解】解：由题可得：，两式相除可得，即，设繁殖天后数量达到100，则，又，则，∴，则，即，，∴，∴，则要使数量达到100大约需要17天，故选：B.6.已知，，则（）A. B. C.2 D.【正确答案】A【分析】利用二倍角公式把化为，构造齐次式计算的值.【详解】∵,∴,∵,∴,∴，整理得，解得或.∵，∴，∴.故选：A.7.在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】C分析】利用正弦定理将边化角，整理即可求得.【详解】，由正弦定理可得，又在中，，，，在中，，，且为的内角，，故选：C．8.已知函数，，若函数的图象与的图象在0,+∞上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A. B.C.1,+∞ D.【正确答案】D【分析】取函数关于轴对称的函数为，可知在0,+∞上恰有两个不同的实数根，同构可得，构建，结合单调性分析可知与在0,+∞上恰有两个不同的实数根，结合的图象分析求解.【详解】对于函数，其关于轴对称的函数为，由题意可知：在0,+∞上恰有两个不同的实数根，对于，即，整理可得，令，可知在0,+∞上恰有两个不同的实数根，因为对任意恒成立，可知Fx在0,+∞上单调递增，则，整理可得，可知与在0,+∞上恰有两个不同的实数根，因为，当时，，上单调递减；当时，；在上单调递增，则，且当趋近于或时，均趋近于，作出的图象如图所示：由图可知：，所以实数的取值范围是.故选：D.关键点点睛：根据同构可得，构建函数，根据函数单调性分析求解.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知集合，，则下列命题中正确是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【正确答案】AB【分析】先对集合进行化简，对A，根据得到，再根据子集的概念即可求解；对B，根据得到，再根据子集的概念即可求解；对C，由，再根据真子集的概念即可求解；对D，根据，再结合空集的概念即可求解.【详解】解：，对A，若，则，,，且，，解得：，故A正确.对B，若，则，当时，；当时，，，，即，综上所述：，故B正确.对于选项C，若，当时，满足题意；当时，，，，综上所述：，故C错误.对D，若，当时，满足题意；当时，，若，，即，综上所述：，故D错误.故选：AB.10.在中，设分别为内角的对边，则下列条件中可以判定一定为等腰三角形的有（）A. B.C. D.【正确答案】ABD【分析】由正弦定理结合选项A条件得，故选项A正确；由同角三角函数的关系以及条件可得，结合选项A可得选项B正确；由正弦定理可得，满足任意三角形，故选项C错误；由正弦定理可把选项D变形，根据差角的正弦公式可得，选项D正确.【详解】A.由正弦定理得，∵，∴，∴为等腰三角形.B.∵，∴，∵，∴，根据选项A可知为等腰三角形.C.由得，，任意三角形均满足此结论，不一定是等腰三角形.D.∵,∴,∴，∵，∴，∴，即为等腰三角形.故选：ABD.11.如图，在平面四边形中，已知，，且，.若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】ACD【分析】对于A：根据向量的线性运算分析判断；对于BCD：建系标点，根据向量的坐标运算分析判断.【详解】由题意可知：，如图所示，建立平面直角坐标系，可知，则，对于选项A：因为，则，所以，故A正确；对于选项B：因为，可得，可知，故B错误；对于选项C：因为，，所以，故C正确；对于选项D：因为，，所以，故D正确；故选：ACD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数满足，则______________.【正确答案】6【分析】根据给定函数关系，利用导数运算法则求导，再赋值求解即得.【详解】由，求导得，则，解得，于是，所以.故6.13.某校为了让学生感受生命的奥秘，培养学生热爱自然、探索大自然的意识，开展了“种植当岁初，滋荣及春暮”的活动.学校打算在宿舍后面的空地上开设一块面积为50m2的矩形田地让学生种植自己喜欢的植物，四周留有宽度分别为1m和2m的过道，如图所示，则该矩形田地的边长为______________m时，过道占地面积最小，最小面积为______________m2.【正确答案】①.②.【分析】根据题意，列出边与过道占地面积的函数关系式，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】设矩形田地的边长为，过道占地面积为，由题意可得，当且仅当时，即时，最小，且，所以矩形田地的边长为时，过道占地面积最小，最小面积为.故；14.已知定义在上的偶函数满足，当时，.设，则与图象的所有交点的横坐标之和为______________.【正确答案】【分析】由可得关于对称，结合为偶函数可得周期，由ℎx解析式可得该函数也关于对称，即可由对数函数及幂函数图象将与ℎx图象画在同一直角坐标系中，结合图象与函数对称性即可得到与ℎx图象的所有交点的横坐标之和.【详解】由为偶函数，故，即，由，故关于对称，且，即有，故周期为，则也关于对称；由，故，由，即ℎx关于对称，由x∈0,2时，，作出及ℎx图象如图所示：当时，，，故当时，与ℎx图象无交点，由图象可知，当时，，有一个交点2,0，当时，与ℎx图象存在一个交点，设该点横坐标为，则结合函数对称性可知，当，与ℎx图象必有两交点，且两交点横坐标分别为，，故与ℎx图象的所有交点的横坐标之和为.故答案为.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知的内角，，所对应的边分别为，，，且.（1）求；（2）若，求面积.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）结合两角差的余弦公式利用正弦定理即可求解.（2）利用正弦定理求角，进而利用三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】由正弦定理可得，则，即，即，整理得，又，则，于是，所以，，则.【小问2详解】因为，，所以由正弦定理可得，即，又，则，于是，所以的面积为.16.已知，，函数满足.（1）求的最小值；（2）解关于的不等式.（用表示）【正确答案】（1）3（2）见解析【分析】（1）利用基本不等式的乘“1”法即可求，（2）已知不等式可转化为，然后结合二次不等式与二次方程的关系进行分类讨论，可求．【小问1详解】由f1=0，知，且，，，当且仅当即，等号成立，最小值为3．【小问2详解】，，，，则，当时，即，不等式的解集为，当时，即，不等式的解集为，当时，即，不等式的解集为，综上，，不等式的解集为，当，不等式的解集为，当，不等式的解集为.17.已知向量，，函数，将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象.（1）求函数的解析式；（2）设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求周长的最大值.【正确答案】（1）（2）12【分析】（1）利用平面向量数量积的计算公式，结合辅助角公式，求出的解析式，再根据图象的平移，可求的解析式.（2）由和为锐角三角形，求出角，再利用余弦定理结合基本（均值）不等式，可求周长的最大值.【小问1详解】因为.所以.【小问2详解】由，所以或，所以或，又因为为锐角三角形，所以.由余弦定理.又，所以（当且仅当时取“”），此时，的周长取得最大值，为.18.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积；（3）当时，证明：存在极小值.【正确答案】（1）在上单调递减，在上单调递增.（2）（3）证明见解析.【分析】（1）对求导，分析函数的单调性即可.（2）求导，的切线斜率，再求切点，利用直线方程的点斜式求切线方程，得到切线与坐标轴的交点，可求所求三角形的面积.（3）分析函数的单调性，确定函数有极小值.在此过程中为解的根，需要二次求导.【小问1详解】当时，，.，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】当时，，所以，，.所以函数的图象在点处的切线为：，分别令，则易知交轴于点，交轴于点，所以切