广东省清远市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 含解析VIP

广东省清远市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题注意事项:1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.通过计算样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是（）A. B.C. D.2.以下求导计算正确的是（）A. B.C. D.3.某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩，如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级，则等级分数线大概为（）（参考数据:若，则A.134 B.120 C.116 D.1104.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.5.生活经验告诉我们，儿子身高与父亲身高是线性相关的.有人调查了5位学生的身高和其父亲的身高，得到的数据如表:父亲身高166169170172173儿子身高168170171175176并利用相关知识得到儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为.根据该经验回归方程，已知某父亲身高为，预测其儿子身高为（）A. B. C. D.6.在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为，则的方差（）A1.5 B.7.5 C.20.5 D.37.57.甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（）A. B. C. D.8.现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（）A.264种 B.216种 C.192种 D.144种二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知离散型随机变量的分布列如下表所示:012则下列选项中正确的是（）A. B.C. D.10.已知函数，则下列选项中正确的是（）A.的值域为B.在处取得极小值为2C.在上是增函数D.若方程有2个不同的根，则11.现有数字下列说法正确的是（）A.可以组成个没有重复数字的六位数 B.可以组成个没有重复数字的六位偶数C.可以组成个六位数 D.可以组成个相邻两个数字不相同的八位数三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的单调递减区间为____________.13.在的展开式中，含项的系数为____________.14.若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步聚.15.某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名;接受乙种疗法的患者中治愈的有85名.（1）根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位:人）疗法疗效合计未治愈治愈甲乙合计并依据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好;（2）根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为，求的分布列及数学期望.参考公式:，其中.0.150.100.050.00500012.0722.7063.8417.87910.82816.如图，在正四棱锥中.（1）求证:;（2）若，求平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值.17.在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”.（1）若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为，求的分布列及数学期望;（2）若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.18设函数.（1）当时，求在上最大值;（2）讨论的单调性;（3）若，证明只有一个零点.19.若各项为正的无穷数列满足:对于，其中为非零常数，则称数列为指形数列;若数列满足:，且时，有，则称数列为凹形数列.（1）若，判断数列是不是指形数列?若是，证明你结论，若不是，说明理由;（2）若，证明指形数列也是凹形数列;（3）若指形数列是递减数列，令，求使得成立的最小正整数.广东省清远市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题注意事项:1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.通过计算样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强，及为正相关进行分析判断.【详解】因为相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强，且为正相关，所以时，线性相关程度最强，且为正相关，故选：A2.以下求导计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由基本初等函数的求导公式以及复合函数的求导法则代入计算，即可得到结果.【详解】，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误；故选：C3.某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩，如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级，则等级分数线大概为（）（参考数据:若，则A.134 B.120 C.116 D.110【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性计算得解.【详解】依题意，，显然，所以等级分数线大概为分.故选：D4.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即可.【详解】函数，求导得，则，所以所求切线方程为，即.故选：B5.生活经验告诉我们，儿子身高与父亲身高是线性相关的.有人调查了5位学生的身高和其父亲的身高，得到的数据如表:父亲身高166169170172173儿子身高168170171175176并利用相关知识得到儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为.根据该经验回归方程，已知某父亲身高为，预测其儿子身高为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图表，先求出，进而得到，即可求出结果.【详解】因为，，所以，解得，所以，当时，，故选：C.6.在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为，则的方差（）A1.5 B.7.5 C.20.5 D.37.5【答案】A【解析】【分析】根据题目可知，服从二项分布，从而得到方差公式计算即可.【详解】根据题目可知，服从二项分布，从而得到方差公式.故选：A7.甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】应用独立事件概率乘积公式结合比赛的规则求解即可【详解】因为比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利时前3局胜2局第4局胜共有种情况，所以甲通过4局比赛获得胜利的概率是故选：B8.现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（）A.264种 B.216种 C.192种 D.144种【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得.【详解】依题意，求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两类办法，用4种颜色，先涂点有种方法，再在中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方法，因此不同涂色方法数为；用3种颜色，先涂点有种方法，再涂有2种方法，因此不同涂色方法数为，所以不同的涂色方案有（种）.故选：A【点睛】思路点睛：涂色问题，可以按用色多少分类，再在每类中探求同色方案列式求解.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知离散型随机变量的分布列如下表所示:012则下列选项中正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用分布列的性质，即可判断出选项A和B的正误；再利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项C和D的正误.【详解】由题知，解得，所以选项A错误，选项B正确，对于选项C，，所以选项C正确，对于选项D，因为，所以选项D正确，故选：BCD.10.已知函数，则下列选项中正确的是（）A.的值域为B.在处取得极小值为2C.在上是增函数D.若方程有2个不同的根，则【答案】AB【解析】【分析】根据题意，求导可得，即可得到函数的单调性以及值域，即可判断ABC，再结合函数图像即可判断D【详解】因为函数，则，令，即，解得或（舍），当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增，故C错误；则时，函数有极小值即最小值，即，故B正确；且，，则函数值域为，故A正确；由函数的单调性以及值域可得函数的大致图像，如图所示，结合图像可知，若方程有2个不同的根，则，故D错误；故选：AB11.现有数字下列说法正确的是（）A.可以组成个没有重复数字的六位数 B.可以组成个没有重复数字的六位偶数C.可以组成个六位数 D.可以组成个相邻两个数字不相同的八位数【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据分步乘法计数原理即可求解；对于B，根据分类加法计数原理即可求解；对于C，分析出六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况，再根据分类加法计数原理即可求解；对于D，利用插空法和分步乘法计数原理，并减去0在首位的情况即可求解.【详解】对于A，由题意，可选取的数字为：0，1，2，3，4，5，且首位不能为0，第一步，先排首位有种不同排法，第二步，再排其他5位数，有种排法，所以由分步乘法计数原理可知，可以组成个没有重复数字的六位数，故A正确；对于B，由题意，末位只能为：0，2，4，当末位为0时，有种排法；当末位为2时，有种排法；当末位为4时，有种排法，所以由分类加法计数原理可知，可以组成312个没有重复数字的六位偶数，故B错误；对于C，由题意，六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况.当六位数中有1个1时，由A选项知有600种排法；当六位数中有2个1时，分为有0与无0两种情况，有0时，有种排法，无0时，有种排法；当六位数中有3个1时，分有0与无0两种情况，有0时，有种排法，无0时，有种排法，所以由分类加法计数原理可知，可以组成个六位数，故C错误；对于D，因为相邻两个数字不相同，即3个1不能相邻，故用插空法：第一步，先排，除1外的5个数字，有，每种排法留出6个空位，第二步，再将3个1插入6个空位，有种排法，所以由分步乘法计数原理可知，共有2400种排法，又因为0不能在首位，而0在首位时，有种排法，所以可以组成个相邻两个数字不相同的八位数，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查有限制条件的排列、组合和不相邻问题，解题关键是遵循特殊位置优先排、不相邻问题插空排.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的单调递减区间为____________.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，再解不等式得解.【详解】函数的定义域为R，求导得，由，得，解得，所以函数的单调递减区间为.故答案为：13.在的展开式中，含项的系数为____________.【答案】10【解析】【分析】根据条件，得到展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为展开式的通项公式为，令，得到，所以含项的系数为，故答案为：.14.若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】将导数方程参变分离，转化为与由两个交点的问题，利用导数讨论的单调性，观察变化趋势，作出草图，由图象即可得解.【详解】的定义域为，，令，得.令，则令，则，即，即.当时，单调递增；当时，单调递减.，又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0，作出的草图如图，由图可知，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.【点睛】思路点睛：关于函数零点个数求参数问题，通常参变分离，转化为两个函数图象相交问题，借助导数研究函数单调性，作出草图即可得解，其中需要注意观察函数的变化趋势.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步聚.15.某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名;接受乙种疗法的患者中治愈的有85名.（1）根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位:人）疗法疗效合计未治愈治愈甲乙合计并依据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好;（2）根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为，求的分布列及数学期望.参考公式:，其中.0.150.100.050.0050.0012.0722.7063.8417.87910.828【答案】（1）答案见解析；乙种疗法的效果比甲种疗法好（2）答案见解析；【解析】【分析】（1）根据题意，由条件可完善列联表，再由的计算公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由分层抽样的公式可得抽取到未治愈的人数为2人，治愈的人数为6人，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望.【小问1详解】疗法疗效合计未治愈治愈甲3565100乙1585100合计50150200假设：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异，根据列联表中的数据可得，根据小概率值的独立性检验，乙种疗法的效果比甲种疗法好.【小问2详解】由分层抽样可得，从200名患者中抽取8名患者，其中抽取到未治愈的人数为人，抽取到治愈的人数为人，且抽取到未治愈患者人数为，则，则，，，则分布列为012则期望.16.如图，在正四棱锥中.（1）求证:;（2）若，求平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，连接，利用线面垂直的性质、判定推理即得.（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面CPD与平面PBD的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】在正四棱锥中，连接，连接，则平面，而平面，则，由正方形，得，又平面，因此平面，而平面，所以.【小问2详解】由（1）知，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，则，，设平面的法向量为，则，令，得，显然平面的法向量，设平面CPD与平面PBD的夹角为，则，所以平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值为.17.在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”.（1）若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为，求的分布列及数学期望;（2）若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.【答案】（1）分布列见解析，期望为；（2）.【解析】【分析】（1）求出取出1个“粽子”是绿豆馅的概率，再求出的可能值，利用二项分布概率求出分布列及期望.（2）根据给定条件，利用全概率公式计算得解.【小问1详解】依题意，抽取到绿豆馅的“粽子”的概率，的可能取值是，，，，，，所以的分布列为：0123数学期望.【小问2详解】记甲同学取出的“粽子”是2个蛋黄馅的“粽子”、蛋黄馅的和绿豆馅的“粽子”各1个，2个绿豆馅的“粽子”的事件分别为，乙同学取出1个绿豆馅的“粽子”的事件为，，，因此，所以取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.18.设函数.（1）当时，求在上的最大值;（2）讨论的单调性;（3）若，证明只有一个零点.【答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先代入a的值，再求导函数得出单调性求出最大值；（2）先求导函数，再根据判别式分类讨论得出单调性即可；（3）先判