福建省南平市武夷山第二中学2022年高一数学理月考试卷含解析

福建省南平市武夷山第二中学2022年高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知,则()A． B． C． D．参考答案：A2.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12π B．π C．8π D．4π参考答案：A【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故选：A．3.同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=(

)A. B. C. D.1参考答案：B试题分析：由正弦定理得，故选B．5.函数与图象交点的横坐标所在的区间是（

）A．[1,2]

B．[0,1]

C.[－1,0]

D．[2,3]参考答案：A6.若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是A．

B．

C．4

D．参考答案：B7.下列各组向量中，可以作为基底的是（

）A.

B.C.

D.参考答案：B略8.如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A-B-C-M运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积为y,则y关于x的函数图象的形状大致是（

）参考答案：C9.满足的集合A的个数为（

）A．2个

B．3个

C．4个

D．7个参考答案：D10.在中,，则一定是(

)A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．等腰三角形

D．等边三角形参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则_____________.参考答案：略12.已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则的值为_____________。参考答案：略13.在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点为整点，若函数f（x）的图象恰好通过n（n∈N*）个整点，则称函数f（x）为n阶整点函数，有下列函数：①f（x）=sinx；②g（x）=x2；③h（x）=（）x；④φ（x）=lnx，其中一阶整点函数的是．参考答案：①④【考点】函数的图象．【分析】根据新定义的“一阶整点函数”的要求，对于四个函数一一加以分析，它们的图象是否通过一个整点，从而选出答案即可．【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，它只通过一个整点（0，0），故它是一阶整点函数；对于函数g（x）=x2，当x∈Z时，一定有g（x）=x3∈Z，即函数g（x）=x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数h（x）=，当x=0，﹣1，﹣2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数φ（x）=lnx，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数，故答案为：①④．【点评】本题主要考查新定义，函数的图象特征，属于中档题．14.若△ABC的面积为，则角=__________。参考答案：略15.化简的值为

.参考答案：316.已知样本9，10，11，，的平均数是10，标准差是，则=

.参考答案：略17.设全集为R，对a＞b＞0，集合M=，，则M∩CRN=

．参考答案：{x|b＜x≤}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由a＞b＞0，可得＞b，＜a，由基本不等式可得，＞，进而可得CRN，由交集的意义，分析可得答案．【解答】解：由a＞b＞0，可得＞b，＜a，由基本不等式可得，＞，由补集的运算可得CRN={x|x≤或x≥a}，由交集的意义，可得M∩CRN={x|b＜x≤}．【点评】本题考查集合间的混合运算，注意由不等式的性质，分析出集合间的关系，再来求解．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本小题满分10分）注意：第（Ⅲ）小题平行班学生不必做，特保班学生必须做。如图，四棱锥中，底面，底面是正方形，且=．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求与平面所成角的余弦值．（Ⅲ）（特保班做）设，探究：在侧棱上是否存在一点，使得．若存在，请指出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

参考答案：证明：（Ⅰ）∵底面，又∴∵底面是正方形，∴，又∴平面（Ⅱ）解：∵底面，∴为与平面所成角，由已知得，，在中，∴为所求．（Ⅲ）答：存在，且点是侧棱的中点．证明1：连结，∵分别是的中点，∴∵，，，∴平面，∴∴19.设函数f(x)=log2(4x)·log2(2x),≤x≤4,（1）若t=log2x,求t取值范围；（2）若f(x)=6，求x的值；（3）求f(x)的最值，并给出最值时对应的x的值.参考答案：（1）解：函数为增函数（2）函数可化为：又因此，从而：（3）由（2）得此二次函数开口向上，对称轴为，而，当时，即：时，当时，即：，20.（本小题满分14分）已知函数f(x)=（1）判断函数的奇偶性；（2）证明f(x)是R上的增函数。(3)求函数f(x)在[0，1]上的值域参考答案：（1）∵定义域为x,且f(-x)=是奇函数；（2）设x1,x2,且x1<x2,f(x1)-f(x2)=（∵，∴a<a且）∴f(x)是R上的增函数。(3)∵函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，∴函数f(x)在[0，1]上也是增函数．∴f(x)min＝f(0)=0，f(x)max＝f(1)=.ks5u∴函数f(x)在[0，1]上的值域为21.已知以点C（t，）（t∈R且t≠0）为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求证：△AOB的面积为定值．（2）设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）由题意可得：圆的方程为：=t2+，化为：x2﹣2tx+y2﹣=0．求出与坐标轴的交点，即可对称S△OAB．（2）由|OM|=|ON|，可得原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线，可得t，即可对称圆C的方程．（3）由（2）可知：圆心C（2，1），半径r=，点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又点B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=﹣=2，进而得出．【解答】（1）证明：由题意可得：圆的方程为：=t2+，化为：x2﹣2tx+y2﹣=0．与坐标轴的交点分别为：A（2t，0），B．∴S△OAB==4，为定值．（2）解：∵|OM|=|ON|，∴原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线，OC的斜率k==，∴×（﹣2）=﹣1，解得t=±2，可得圆心C（2，1），或（﹣2，﹣1）．∴圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，或（x+2）2+（y+1）2=5．（3）解：由（2）可知：圆心C（2，1），半径r=，点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又点B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=﹣=2，则|PB|+|PQ|的最小值为2．直线B′C的方程为：y=x，此时点P为直线B′C与直线l的交点，故所求的点P．22.已知函数f（x）=2cosxsin（x﹣）+sin2x+sinxcosx．（1）求函数y=f（x）的最小正周期；（2）若2f（x）﹣m+1=0在[，]有实根，求m的取值范围．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）为正弦型函数，由此求出y=f（x）的最小正周期；（2）把2f（x）﹣m+1=0化为f（x）=，根据函数f（x）在[，]上的最值列出不等式，即可求出m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+