利用数形结合培养小学生数学应用意识的策略

摘要：“‘图’与和差”是数量关系单元主题中的内容，教师要引导学生在已有知识经验的基础上，利用动手操作和画图的方式来解决和差问题，借助画图来帮助学生分析和理解题意，培养学生数形结合的思想，激发学生学习数学的兴趣。教师可以引导学生从日常生活中发现和提出数学问题，探索分析和解决问题的方法，经历独立思考并与他人合作交流解决问题的过程。关键词：数量关系；数形结合；数学应用意识；解决问题“‘图’与和差”是数量关系单元主题中的内容，属于北师大版小学数学教材三年级上册第四单元“乘与除”相关知识的拓展内容。在这一单元中，教师应引导学生学习整十、整百数及两位数乘（或除以）一位数的口算，掌握基本的口算方法，并能够解决有关的实际问题。在“‘图’与和差”主题实践活动中，教师要引导学生经历整十、整百、整千数乘（或除以）一位数口算方法的探索过程，初步感受计算方法的多样性，提高计算的灵活性，逐步发展运算能力；在具体情境中，认识和差问题，通过理解题意，知道他们之间的联系与区别，发展抽象能力，进一步感受乘除法知识在现实生活中的广泛应用；结合具体的操作活动，体会和差问题的解决方法，认识到画图是解决问题的有效途径，培养学生“数”与“形”结合的思想，激发学习数学的兴趣。一、初步了解和差问题（一）创设情境，提出问题【教师导入】乐乐同学遇到了一个与和、差有关的问题，让我们一起来看一看——乐乐的爸爸在上班前对乐乐说，帮我把家里那根1米长的木条锯成两段，长的那段比短的要长20厘米。乐乐这个寒假刚刚学会了用锯来锯木头，于是就爽快地答应了爸爸。等爸爸走了以后，乐乐就拿着锯琢磨起来，想来想去却不知道应该从哪儿开始动手：从中间吧，不对，这样好像两根就一样长了；如果先从中间锯开，再把其中一段锯掉20厘米……好像也不行，那样剩下的两段合起来就不是1米了。从哪儿开始锯，才能让一根比另一根长20厘米呢？这可把乐乐急坏了，同学们能帮助他吗？（二）厘清题意，引发思考【解释说明】解决问题之前，先让我们一起来了解一下题目要求，要把1米长的木条锯成两段，长的那段要比短的那段长20厘米。也就是说，两段木条一共长1米，也就是100厘米，这是两段木条的长度和；锯成两段后，长的一段比短的要长20厘米，也就是两段的差是20厘米。如果我们知道长的一段和短的一段分别长多少厘米，就知道该在哪锯开木条了。现在就请同学们想办法做一做。给你提供两个方案：可以用纸条代替木条操作一下，也可以在纸上画图试试（学生两分钟思考，动手尝试）。【设计意图】教师采用了开篇点题的形式，让学生一开始就明确本节课的学习内容，初步认识了数形结合思想。教师把和差问题与学生生活中熟悉的情境结合起来，让学生在思考的过程中，理解和与差的关系。虽然三年级的学生已具备了一定的计算能力和分析理解问题的能力，但是对于和差问题接触的并不多，所以在弄清题意的环节，教师结合课件给予进一步的说明。二、动手操作理解和差问题（一）用纸条先求较小数，再求较大数【教师引入】请你利用准备好的长纸条，把它看成1米的木条，也可以说是多长的木条（100厘米长的木条）？这100厘米长的纸条里都包含什么（它既包含短的一段木条，又包含长的一段木条，而且长的一段比短的一段长20厘米）？学生用小剪刀将长出的这20厘米剪掉，观察原来的纸条还剩下多少厘米（100减去20还剩下80厘米）。学生明确：这80厘米里面，正好是两个短段的长度和，再用80除以2就得到了短段的长度，在计算的时候就可以利用刚刚学过的整十数除以一位数的方法进行计算：把80看成8个十，除以2是平均分成两份，每份就是4个十，就是40厘米。教师追问：再求长段的长度，可以怎么做呢（可以用短段的40厘米加上长段比短段长的20厘米。也可以用它们的和100厘米减短段的长40厘米，都可以求出长段的长度是60厘米）？【设计意图】教师借助纸条想办法，让学生在动手操作过程中，体会和与差的关系。学生利用1米长的木条（也就是100厘米长的木条），换算成厘米为单位。在弄清题意时，学生已经明确了这100厘米是长、短木条的和，在这一部分中，用剪刀减掉20厘米，也就是它们的差。这时候，学生观察思考剩下的木条是哪一部分。结合屏幕上的纸条变化，学生能轻松地看出是两个短木条的和，已知两个相同加数的和，求其中的一个数，进而得出80÷2这个算式。由于本单元刚刚学过整十数除以一位数的口算方法，学生能够熟练地说出计算过程，巩固了本单元的学习内容。（二）利用纸条先求较大数，再求较小数【教师引入】利用纸条还有一种方法，我们把准备好的长纸条当成长1米的木条，也就是长100厘米。这100厘米长的纸条里既包含长的一段木条，又包含短的一段木条，而长的一段比短的一段长出20厘米。我们把准备好的那条较短的纸条（长20厘米）用透明胶粘到长纸条上，现在纸条的长度就是多少了（100+20等于120厘米）？学生发现这120厘米长的纸条正好是两个长段的长度和，120除以2，可以根据第四单元学过的口算方法，把120看成12个十，除以2，每份得到了6个十就是60，长段的木条长60厘米。用长短两段的和100厘米减长段的60厘米就得到了短段的长度，也就是100-60=40（厘米），或者是60-20=40（厘米）。【设计意图】学生利用准备好的小纸条，先是减掉它们的差，求出较小数，再求出较大数。然后，学生利用小纸条把它们的和与差连接起来，求出较大的数，再求出较小的数，从而轻松解决了问题。三、利用画图分析解决问题【教师引入】想要锯成长短两段，就是求长段和短段各长多少厘米？画图时，我们把长短两段用两条线段表示，然后把重要的数学信息标注在图上，100厘米是长段与短段的和，20厘米是它们的差。像这样的已知两个数的和与差，求这两个数的问题，我们称为和差问题。请你也尝试画个图来解决这个问题，边画图边写出相应的算式。学生在练习本上画图并列出算式。学生用画图表示和差关系，先求较小数，再求较大数。学生将长段长出的20厘米先去掉，这时的和也会随着减少20厘米，算式是100-20=80（厘米），这80厘米就是两条短段木条的和。求其中一段短木条的长度，用80再除以2得到了短段木条的长度是40厘米，计算方法是把80看成8个十，平均分成两份，其中的一份就是4个十，就是40厘米。长的那段我们可以用40+20=60（厘米），当然也可以用他们的和100减掉其中短木条的长度40厘米，剩下60厘米。学生用画图表示和差关系，先求较大数，再求较小数。通过画图学生可以看出，两段相差20厘米，可将短线延长到与长线相等，就是补齐差的20厘米，这样和也会增加20厘米，则100+20厘米就是两条长段木条的和，用120厘米除以2就得到了长段木条的长度。把120看成12个十，平均分成两份，其中一份就是6个十，也就是我们得到的60厘米。短的那段可用他们的和100厘米减去60厘米，也就是100-60得到40厘米。或者用长段的60厘米，减掉差的20厘米，剩下的就是短段的长度40厘米。【设计意图】学生在活动中经历动手操作的过程，对于和差问题的解决已经有了一定的认识，利用纸条代替木条，学生的体验非常清晰。进一步简化操作的流程，利用画图的方式，既直观又清晰。通过画图学生可以清晰地看出长段木条和短段木条的关系，从而明确地提出什么是和差问题。凸显出画图是解决和差问题的有效途径，同时为理解数形结合打下基础。四、巩固练习和总结提升（一）学以致用，巩固练习【教师引入】数学知识的学习离不开巩固练习，接下来我们来挑战一下自己。【练习】妈妈买了一个西瓜和一个菠萝，共花了60元，西瓜比菠萝贵26元，西瓜和菠萝各多少元？学生用两条不同长度的线段表示西瓜和菠萝的价钱，通过已知条件，长的线段代表西瓜的价钱，短的线段代表菠萝的价钱。它们的价钱和是60元，价钱差是26元。西瓜比菠萝贵26元，可将西瓜的钱数去掉26元，同时和也随着减少26元，算式就是60减26等于34元。34元相当于两个菠萝的价钱，学生再用34÷2就得到了一个菠萝的价钱，也就是17元。【教师引入】34除以2口算起来有点难度，能不能用我们已经学过的两位数除以一位数的除法来算一下呢？【学生计算】把34分成20和14，20除以2等于10，14除以2等于7，10加7等于17。所以一个菠萝的价钱是17元。那么，西瓜的价钱是60-17=43（元）。学生的线段图画得非常清晰，通过画图可以很轻松地理解题意和分析问题：利用和与差的关系，先得出两个菠萝的价钱，然后再求出一个菠萝的价钱，从而西瓜的价钱就轻松得出来了。（二）回顾反思，分享成果教师引导学生明确：关于和差问题，我们利用动手操作和画图的方式，得到了两种解题的方法。一种方法是在两数之和里补上两个数的差，得到了两个较大的数，再除以2从而求出一个较大数；另一种方法是可以从两数的和中减去两个数