2025年外研版高二数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高二数学下册阶段测试试卷972考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、设非零复数x，y满足x2+xy+y2=0，则的值为（）

A.2-2008

B.-1

C.1

D.0

2、【题文】已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A.B.C.－D.－3、【题文】已知sin2α=则cos2(α+)=（）A.B.C.D.4、【题文】已知则()A.B.C.D.以上都有可能5、（2015·安徽）已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是A.若垂直于同一平面，则与平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若不平行，则在内不存在与平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面6、已知向量夹角为60°，则m的值是（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、把一个正方体木块的表面涂成红色，然后分割成全等的64块小正方体，再把它们放入一个袋子中搅匀，从中任取两块，则这两块中有一块恰有一个面是红色，另一块没有红色的面的概率为____．8、【题文】在R上定义运算@/:@/则满足@/的的____是____.9、【题文】.设的外接圆半径为且已知则＝________．10、【题文】.若则____．11、已知点F1（-0），F2（0），动点P满足|PF2|-|PF1|=2，当点P的纵坐标为时，点P到坐标原点的距离为______．12、椭圆ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）与直线y=1-2x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为则的值为______．13、如图，在直三棱柱A1B1C1鈭�ABC

中，隆脧BAC=娄脨2,AB=AC=A1A=1

已知G

与E

分别是棱A1B1

和CC1

的中点，D

与F

分别是线段AC

与AB

上的动点(

不包括端点).

若GD隆脥EF

则线段DF

的长度的取值范围是______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）评卷人得分四、解答题(共4题，共24分)20、在△ABC中，a，b，c表示角A，B，C的对边，且P=．

求证：

（1）S△ABC=

（2）△ABC中，内切圆的半径为r，则r=．

21、【题文】（本小题满分12分）在△ABC中，分别为角A,B,C所对的三边。

（1）若求角A；

（2）若BC=A=设B=△ABC的面积为求函数的关系式及其最值，并确定此时的值。22、计算求值：

（1）计算（sin+cos）2dx；

（2）已知复数z满足z•-i（）=1-（），求z．23、一台机器使用的时间较长；但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：

。转速x（转/秒）24568每小时生产有缺点的零件数y（件）3040605070（1）如果y对x有线性相关关系；求回归直线方程；

（2）若实际生产中；允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？

附：最小二乘法估计公式分别为：==-

参考数值：=1380，=145．评卷人得分五、计算题(共3题，共6分)24、解不等式组．25、解不等式组：．26、在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），求f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）的值．评卷人得分六、综合题(共3题，共18分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．29、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】

将已知方程变形为+=-1，解这个一元二次方程，得=ω；

显然有ω3=1，1+ω=-ω2；

则原式=（）2+（）2=+=+==-1；

故选B．

【解析】【答案】将已知方程x2+xy+y2=0变形为+=-1，解得=ω，利用ω3=1，1+ω=-ω2；进行求解即可．

2、A【分析】【解析】＝(2,1)，＝(5,5)，所以在方向上的投。

影为＝【解析】【答案】A3、A【分析】【解析】===故选A.

【考点定位】本小题主要考查三角中的二倍角公式、诱导公式等公式的应用，属容易题，熟练基础知识是关键.【解析】【答案】A4、B【分析】【解析】

故选B【解析】【答案】B5、D【分析】【解答】由A，若与垂直于同一平面，则可以相交、平行，故A不正确；由B，若m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故B，不正确；由C，若不平行，但平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于交线的直线；由D项；其逆命题为‘’若m与n垂直于同一平面，则m，n平行‘’是真命题，故D项正确，所以选D

【分析】空间直线，平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图、现实实物判断法、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆命题真假，原命题与否命题等价。6、C【分析】解：∵向量夹角为60°，

∴===3．

∵∴==27m+3（5m-3）-20=0，解得m=．

故选C．

利用⇔=0和数量积运算即可解得m．

熟练掌握数量积运算、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．【解析】【答案】C二、填空题(共7题，共14分)7、略

【分析】

所有的取法共有种；因为各个面都没有涂颜色的小正方体共有8个，恰有一个面是红色的正方体共有4×6=24个；

故这两块中有一块恰有一个面是红色，另一块没有红色的面的概率为=

故答案为．

【解析】【答案】所有的取法共有种；因为各个面都没有涂颜色的小正方体共有8个，恰有一个面是红色的正方体共有4×6=24个，由此求得所求事件的概率．

8、略

【分析】【解析】解：因为R上定义运算@/:@/则。

@/

【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

试题分析：由

考点：二倍角公式，同角三角函数基本关系式，凑配角【解析】【答案】211、略

【分析】解：∵点F1（-0），F2（0）；

动点P满足|PF2|-|PF1|=2；

∴动点P是双曲线x2-y2=1的左支上的一点；

∵∴xP2=1+=

∴点P到坐标原点的距离d==．

故答案为：．

利用双曲线定义和两点间距离公式求解．

本题考查点到原点的距离的求法，是基础题，解题时要注意双曲线定义的灵活运用．【解析】12、略

【分析】解：设：点A（x1，y1），B（x2，y2）；

把y=1-2x代入椭圆ax2+by2=1得：（a+4b）x2-4bx+b-1=0；

△=（-4b）2-4（a+4b）（b-1）=4a+16b-4ab①．

x1+x2=x1x2=．

=

===1-（x1+x2）=1-=．

设M是线段AB的中点，∴M（）．

∴直线OM的斜率为==．

则=．代入①满足△＞0（a＞0，b＞0）．

故答案为：．

设出A，B两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和，则A，B中点坐标可求，由斜率公式列式可得的值．

本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了一元二次方程的根与系数关系，训练了斜率公式的应用，是中档题．【解析】13、略

【分析】解：以A

为原点，AB

为x

轴，AC

为y

轴，AA1

为z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)E(0,1,12)G(12,0,1)F(x,0,0)D(0,y,0)

GD鈫�=(鈭�12,y,鈭�1)EF鈫�=(x,鈭�1,鈭�12)

隆脽GD隆脥EF隆脿GD鈫�鈰�EF鈫�=鈭�12x鈭�y+12=0

即x+2y鈭�1=0

隆脿DF=x2+y2=5y2鈭�4y+1=5(y鈭�25)2+15

隆脽0<x<10<y<1

隆脿0<y<12

当y=25

时，线段DF

长度的最小值15=55

当y=0

时；线段DF

长度的最大值是1

而不包括端点；故y=0

不能取1

．

隆脿

线段DF

的长度的取值范围是[55,1)

．

故答案为：[55,1)

．

以A

为原点；AB

为x

轴，AC

为y

轴，AA1

为z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出线段DF

的长度的取值范围．

本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．【解析】[55,1)

三、作图题(共6题，共12分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．四、解答题(共4题，共24分)20、略

【分析】

（1）因为三角形的三边a、b；c的对角分别为A、B、C；由余弦定理得；

cosC=

S=absinC

=ab

=ab

=

设p=（a+b+c）

则p-a=（-a+b+c），p-b=（a-b+c），p-c=（a+b-c）；

上式=

=

所以，三角形ABC面积S=．

（2）△ABC中，内切圆的半径为r，则=S△ABC=

=

即

所以r=．

【解析】【答案】（1）利用余弦定理与三角形的面积公式；直接通过因式分解，用三角公式和公式变形来证明．

（2）通过三角形的面积公式直接求出内接圆的半径．

21、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解：（1）由得即又0＜A＜∴A=60º。

（2）∵∴

同理：

∴=

∵∴0＜＜∴＜＜当=即时，有最大值因此，当时，函数取得最大值无最小值。22、略

【分析】

（1）把被积函数平方；然后展开，求出各被积函数的原函数，分别代入积分上限和下限后作差得答案；

（2）设出复数z，代入z•-i（）=1-（）；由复数相等的条件列式求解．

本题考查了微积分基本定理，考查了复数相等的条件，是基础的计算题．【解析】解：（1）

=

=

=

=

（2）设z=a+bi（a，b∈R）；

则由z•-i（）=1-（）；得。

a2+b2-i[3（a-bi）]=1+3i．

∴a2+b2-3b-3ai=1+3i．

∴．

解得：或．

∴z=-1或-1+3i．23、略

【分析】

（1）先求出横标和纵标的平均数，代入求系数b的公式；利用最小二乘法得到系数，再根据公式求出a的值，写出线性回归方程，得到结果．

（2）允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个；即线性回归方程的预报值不大于89，写出不等式，解关于x的一次不等式，得到要求的机器允许的转数．

本题考查线性回归分析，考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，考查不等式的解法，是一个综合题目．【解析】解：（1）=5，=50，=1380，=145

∴==6.5，=-=17.5

∴回归直线方程为：=6.5x+17.5；

（3）由y≤89得6.5x+17.5≤89；解得x≤11

∴机器的运转速度应控制范围为（0，11]．五、计算题(共3题，共6分)24、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x−1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式组得解集为（3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}，﹣1）∪[1，3+{#mathml#}17

{#/mathml#}）【分析】【分析】分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．25、解：由|x﹣1|＜3解得﹣2＜x＜4；

由＞1得﹣1=＞0；

解得3＜x＜5；

所以，不等式解集为（3，4）．【分析】【分析】根据不等式的解法即可得到结论．26、解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：C63C40=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是C62C41=60；f（2，1）=60；

含x1y2的系数是C61C42=36；f（1，2）=36；

含x0y3的系数是C60C43=4；f（0，3）=4；

∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120【分析】【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．六、综合题(共3题，共18分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）28、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也