学习一元函数微分学教材课程

二、一元函数导数与微分导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。微分指明,当自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。（一）导数与微分（1）导数概念导数的定义左导数与右导数,导数的几何意义与物理意义,可导与连续的关系（2）求导法则与导数的基本公式导数的四则运算反函数的导数导数的基本公式（3）求导方法复合函数的求导法隐函数的求导法对数求导法由参数方程确定的函数的求导法求分段函数的导数（4）高阶导数高阶导数的定义高阶导数的计算（5）微分微分的定义微分与导数的关系微分法则一阶微分形式不变性

2．要求（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，会求反函数的导数。4）掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定函数的求导方法，会求分段函数导数。（5）理解高阶导数概念,会求简单函数n阶导数。（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。1.变速直线运动某一时刻的瞬时速度问题质点运动的路程S是时间t的函数：S=S(t).从时刻t到t+t时间段内，质点走过的路程为：ΔS=S(t+Δt)-S(t)在时间间隔Δt内，质点运动的平均速度为:平均速度与Δt的取值有关，一般不等于质点在时刻t的速度v，但Δt的值愈小，愈接近于t时刻的速度v(t)。因此,取极限t0,质点在时刻t的瞬时速度:1.问题的提出例自由落体运动的瞬时速度问题如图,取极限得自由落体运动的路程S是时间t的函数：例f(x)=x2,M(1,1),则M点处的切线方程:y-1=k(x-1)2.曲线的切线问题其它形式1.导数的定义说明一：如果存在，处导数为无穷大在处不可导则称可导与不可导如果不存在，在处可导则称如果则称在关于导数的说明：说明二：如果函数

在区间

导函数内每一点都有导数，

函数

在区间

，

导函数，即内有一也可记作

，

导数与导函数的区别与联系区别：是一常数。

是一函数。

联系：即

函数

在点

处的导数

就是导函数

在处的值，注：通常，导函数也简称为导数．

说明三：导数的几何意义函数在点处的导数就是函数所表示的曲线在点处切线的斜率．平行于x轴的切线垂直于x轴的切线x轴切线切线方程为法线方程为例7解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为说明四：

若物体的运动方程为则物体在时刻的瞬时速度为路程关于时间的变化率，即速度、加速度的表示法，时间的变化率，物体在时刻的加速度为加速度是速度v(t)关于案例

图中所显示的是某地某年中每天最高温度的函数曲线，指出大概什么时候温度的变化率为零。天天案例1[温度曲线]从某一时刻开始到时刻通过该导线横截面的电量为则为的函数设有非稳恒电流通过导线．案例2

[电流强度]求时刻的电流强度案例3

[冷却速度]当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就会不断冷却。若物体的温度与时间的函数关系为请表示出物体在时刻的冷却速度？案例4

[非均匀杆的线密度]设有一细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为于是分布在区间上的质量m是x的函数对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度。如果细棒是不均匀的，如何确定细棒在点线密度物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的变化率为物体的瞬时速度.交流电路:电量对时间的变化率为电流强度.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的变化率为物体的线(面,体)密度.电流对时间的变化率为电磁感应.右导数:说明五：单侧导数左导数:例:总结1、导数的概念2、导数的几何意义函数在点处的导数就是函数所表示的曲线在点处切线斜率3、导数的概念的应用电流强度、冷却速度等2.由定义求导数步骤:例1解例2解例3解更一般地例如,例4解例5解导数公式例6解3.可导与连续的关系定理凡可导函数都是连续函数.证举例0例如,但是,连续函数未必可导.01例如,例如,011/π－1/π例8解小结1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.已知解：例已知解：例（02一、07）设f(x)在点x=a处可导，求.解：（01一5）设f‘(0)=2.解：(02一6)设f(x)在x=x0的某个领域内有定义，则f(x)在x=x0处导数可定义为（）而f(x)在x=a间断，因此f(x)在x=a不可导。已知f(x)在x=1处可导，试确定a,b的值.解：∵可导必连续（二）求导法则和导数的基本公式定理证(3)推论1.例题分析例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例5解同理可得练习3.设函数f(x)在x=0的某邻域内可导,且4.求证:双曲线xy=a2(a>0)上任一点处切线与坐标轴构成的三角形面积为常数.解2.解1.解3.解4.证明:在曲线上任曲一点(x,y),2.反函数的导数定理即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证于是有例1解同理可得例2解特别地3、复合函数的求导法则定理即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)（三）求导方法证推广例3解例4解例5解例6解例7解例(02二5）函数y=f(sinx2)且f(x)可导,求y’=()例(03二7）函数y=f(lntanx)且f(x)可微,求y’=()1.常数和基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu==可导，则（1）vuvu¢¢=¢

)(,（2）uccu¢=¢)(（3）vuvuuv¢+¢=¢)(,

（4）)0()(2¹¢-¢=¢vvvuvuvu.(是常数)3.反函数、复合函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）;利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.复合函数的求导法则例1解例2解4、隐函数的导数定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?例11)解解得隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.2)设y=y(x)由方程ey=xe

f(y)

确定,f二阶可导,f

1,求y

.解方程两边对x求导:eyy

=e

f(y)+xe

f(y)f

(y)y

故(02二6）函数y=y(x)由方程所确定,求解：3)(04四2）函数y=y(x)由方程所确定,求解：例2解所求切线方程为显然通过原点.例3解解：有隐函数求导法从而，在点(x0,y0)的切线斜率于是切线方程：例2、证明星形线上任一点的切线介于两坐标轴之间的一段等于定长a。解：有隐函数求导法从而，在点(x0,y0)的切线方程在两坐标轴上的截距为5、对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:例4解等式两边取对数得例(03三2）解等式两边取对数得例5解等式两边取对数得法一法二例(01三2）解5、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得例1（03一11）解例2（04二5）解例3解

所求切线方程为例4设其中f可导,且解：例5求对数螺线在点处的切线的直角坐标方程。解：曲线在点处的切线的斜率为因此，所求切线方程为即点的直角坐标为例6解例7解（四）高阶导数问题:变速直线运动的加速度.定义记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,高阶导数求法举例例1解1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例2解例3解注意:

求n阶导数时,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)例4解例5解例6解同理可得2.n阶导数的运算法则:莱布尼兹公式例7解3.间接法:常用高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.例8解例（01二2）设f(x)=x3+3x求f(4)(0)=________ln43例（04二4）设f(x)=x3+5x2+e2x求y(10)=________1024e2x解解例101)例92)解练习2、设连续，且，求.解答可导不一定存在故用定义求（五）微分实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:一般函数y=f(x)是否也有y=f(x+x)-f(x)=Ax+o(x)?A是什么?如何求?1.微分的定义定义(微分的实质)由定义知:2.可微的条件定理证(1)必要性(2)充分性例1解MNT）几何意义:(如图)P例:已知曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y+1=0,求x=1处的微分.3.微分的法则求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则例2解例3解4.一阶微分形式的不变性结论：微分形式的不变性例4解例3解例5解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.于是xdy-ydx=xdx+ydy,.例6设由确定y为x的函数,求dy.解应用微分的运算法则及一阶微分形式的不变性,有5.微分在近似计算中的应用计算函数增量的近似值计算函数的近似值误差估计计算函数增量的近似值例1解计算函数的近似值例1解常用近似公式证明例2解

案例1[金属立体受热后体积的改变量]某一正立方形金属体的边长为2米，当金属受热边长增加解体积的微分为将代入上式，得体积改变量米时，体积的微分是多少？体积的改变量又是多少？案例2[电压改变量]设有一电阻负载欧，现负载功率P从400瓦变到401瓦，求负载两端电压的改变量。解由电学知，负载功率即故所以电压的改变量为（伏）误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差