专题07 线段中的四类动态模型解读与提分精练-2025年人教版七年级《数学》寒假培优分层作业

PAGE1专题07线段中的四类动态模型线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；定值问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1模型2.线段上动点问题中的定值模型 5模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 8模型4.阅读理解型（新定义）模型 12 17模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。2、线段的动态模型解题步骤：1）设入未知量t表示动点运动的距离；2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；3）根据题设条件建立方程求解；4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。例1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，点以每秒的速度从点沿向点运动，经过1秒后点以每秒的速度从点沿向点运动，当点到达点时，、同时停止运动，设点运动的时间为秒．(1)当时，求线段的长度；(2)当为何值时，线段的长为？(3)当为何值时，使得点恰好是、、中两点为端点的线段的中点？【答案】(1)(2)当为6或时，线段的长；(3)当为6，或时，使得点恰好是、、中两点为端点的线段的中点．【分析】本题考查的是线段的和差运算，一元一次方程的应用，理解题意，清晰的分类讨论是解本题关键．（1）先求解当时，，，再利用线段的和差运算即可得到答案；（2）利用线段的和差关系建立方程求解即可；（3）分三种情况：当点为的中点时，当点为的中点时，当点为的中点时，建立方程求解即可．【详解】（1）解：当时，，，∴．（2）由题意，，，当点在点左侧时，，解得；当点在点右侧时，，解得．综上所述，当为6或时，线段的长．（3）当点为的中点时，，解得；当点为的中点时，，解得；当点为的中点时，，解得．综上所述，当为6，或时，使得点恰好是、、中两点为端点的线段的中点．例2．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，已知数轴上A，B两点所表示的数分别为和8．(1)若点A，B分别以每秒1和3个单位长度的速度向左移动，直接写出移动多少秒时，A，B两点的距离恰好为8？(2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由．(3)在第（2）问的条件下，点P所表示的数是多少时，？【答案】(1)当移动1秒或9秒时，A，B两点的距离恰好为8(2)线段的长度不发生变化，其值为5，理由见详解(3)点所表示的数为或，【分析】（1）设A、B两点移动的时间为，然后根据题意可分当点B在点A的右侧和左侧进行分类求解即可；（2）此题可分两种情况讨论，即分和两种情况求得的长即可得到答案；（3）分当点在、两点之间运动和点在点的左侧运动两种情况求得的长，从而求得点所表示的数．【详解】（1）解：设A、B两点移动的时间为，由题意可知后点A、B在数轴上所表示的数分别为，当点B在点A的右侧时，则有，解得：；当点B在点A的左侧时，则有，解得：；综上所述：当移动1秒或9秒时，A，B两点的距离恰好为8；（2）解：线段的长度不发生变化，其值为5．∵M为的中点，N为的中点，∴，分下面两种情况：①当点在、两点之间运动时（如图）．；②当点在点的左侧运动时（如图）．．综上所述，线段的长度不发生变化，其值为5．（3）解：当点在、两点之间运动时，∵，∴，又，解得：，此时点所表示的数为；当点在点的左侧运动时，同理得：，，解得：．此时点所表示的数为．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴的知识，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．例3．（23-24七年级上·天津和平·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M，B出发以的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）(1)若，当点C、D运动了，求的值；(2)若点C、D运动时，总有，求的值；(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，直接写出的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本题主要考查了线段的和差问题和两点间的距离的计算，（1）计算出和的长，进而可得出答案；（2）由结合（1）问便可解答；（3）由，分两种情况讨论：①点N在线段上时，②点N在的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解；【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，∵，．（2）解：设运动时间为t，则，∵，又，，即，∴；（3）解：由（2）可得：，∵，，，点N在线段上时，如图，∵，∴，，即．当点N在线段AB的延长线上时，如图，∵，，∴，即．综上所述，的值为或．【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答．模型2.线段上动点问题中的定值模型例1．（24-25七年级上·广东·假期作业）在数轴上点A，，所表示的数分别是，6，．(1)求的长；(2)若点是的中点，用含的代数式表示的长；(3)若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值．【答案】(1)8(2)当时，；当时，．(3)是定值，理由见解析【分析】本题考查列代数式及数轴，熟知数轴上两点之间距离的计算公式是解题的关键．（1）根据数轴上两点之间距离的计算公式即可解决问题．（2）对点与点的位置进行分类讨论即可解决问题．（3）设运动时间为，用含有的代数式分别表示出及的长即可解决问题．【详解】（1）解：因为点，所表示的数分别是，6，所以．（2）解：因为点是的中点，所以，则点表示的数是2．当时，．当时，．（3）解：设运动的时间为，则点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为，因为的中点为，所以点所表示的数为．因为中点为，所以点所表示的数为，所以，，，所以．例2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．

(1)直接写出木棒的长；(2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长；(3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值．【答案】(1)；(2)或；(3)，定值为．【分析】（）根据题意可得的长等于的三分之一，即可求解；（）设，分点在点左侧和右侧两种情况列方程求解即可；（）由式子的值为定值可判断出木棒和木棒重叠，分别求出点与点重合和点与点重合的时间，即可求出的取值范围，由木棒和木棒重叠可得的值为定值即为的值；本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，并运用分类讨论的方法分别列出方程是解题的关键．【详解】（1）解：由题意可得，；（2）解：设，当点在点左侧时，，∵，∴，解得，∴；当点在点右侧时，，∵，∴，解得，∴；∴的长为或；（3）解：由题意可得，当木棒和木棒重叠时，式子的值为定值，定值即为，当点与点重合时，，解得；当点与点重合时，，解得；∴当时，式子的值为定值，定值为．例3．（2024七年级上·重庆·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且(1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．【答案】(1)或(2)(3)是，见解析【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则．（1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长；（2）设，则，根据线段中点定义得，，，从而得，由此可得的长；（3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论．【详解】（1）解：∵，，，，解得：，，若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，如图1①所示：，，；②当点C在点B的右侧时，如图1②所示：，；综上所述：线段的长为或．（2）解：设，如图2所示：，∵点分别是线段的中点，，，∴，∴；（3）解：为定值，理由如下：设，∵点D与点B重合，点C在点D的左侧，∴点C在线段上，又∵点P在线段的延长线上，如图3所示：∴，∴，∴．∴为定值．模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型例1．（2023·江苏南通·七年级月考）如图，数轴上点A，C对应的实数分别为和4，线段，，，若线段以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1cm/秒的速度向左匀速运动．(1)问运动多少秒时？(2)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间？(3)P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式．若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1秒或2秒；(2)秒；(3)存在，或5．【分析】（1）分点B在点C的左边和点B在点C的右边两种情况讨论；（2）所走路程为这两条线段的和，用路程，速度，时间之间的关系可求解；（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．【详解】（1）设运动t秒时为2单位长度，①当点B在点C的左边时，由题意得：，解得：；②当点B在点C的右边时，由题意得：，解得：．综合①②得：当运动1秒或2秒时；（2）∵，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是4，，而（秒），线段与线段运动秒后相遇，又，（秒），线段与线段从开始相遇到完全离开共经过秒长时间；（3）存在，设运动时间为t秒，①当时，点B和点C重合，，点P在线段AB上，，，当时，，即；此时，②当时，点C在点A和点B之间，，当点P在线段BC上时，，，，，有，故时，，③当时，点A与点C重合，，，，，，有，故，此时，综上，线段PD的长为或5．【点睛】本题以线段和差为题考查了一次方程的应用；读懂题意，分类列方程解决问题是解题的关键．例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为．【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______．【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点．①点表示的数是______（用含的代数式表示）；②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间；③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值．【分析】（）根据题意，求出，再根据结论解答即可求解；（）根据题意，表示出秒后点表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可；根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解；根据两点之间的距离公式求出，得到，当时即可求出常数的值，进而求出定值．【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数，∴，，∴；线段的中点表示的数为；故答案为：；；（）秒后，点表示的数为，点表示的数为，∵点是线段的中点，∴点表示的数是，故答案为：；当点为中点时，则，解得，不合，舍去；当点为中点时，则，解得；当点为中点时，则，解得；∴运动时间的值为或；当点在点左侧时，，，∴，当时，∴，此时，定值．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线段中点计算公式是解题的关键．例3．（2024·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．(1)若点P在线段AB上的运动，当时，；(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．【答案】(1)(2)8或24(3)，见解析【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解；（2）分点在线段上运动和线段的延长线上运动进行讨论，从而求解；（3）先将和表示出来，再求出线段、、之间的数量关系．（1）解：∵M为AP的中点，，∴，∵线段，N为BP的中点，∴．故答案是：2；（2）解：①当点P在线段AB上，时，如图，∵，，∴，解得：．②当点P在线段AB的延长线上，时，如图，∵，，∴，解得：．综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24．（3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，，∵，，∴．【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．模型4.阅读理解型（新定义）模型例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．（1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；（2）若，点是线段的巧点，则最长为______；【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由．【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用．（1）根据“巧点”的定义解答即可；（2）点为线段的巧点，则最长时，满足，即，即可求解；（3）根据“巧点”的定义，分为或或，三种情况，分别计算即可求解．【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点，∴，∴点是线段的的“巧点”，故答案为：是．（2）解：点在线段上，点为线段的巧点，∴则最长时，满足，即，∴，故答案为：．（3）解：秒后，，，，∵为、的巧点∴或，或，当时，，解得：，当时，，解得：，当时，，解得：，∴当为或或时，为、的巧点．例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作．【理解与应用】(1)已知点在线段上．若，，则________；若，，则_________．(2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动．①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当为何值时，；③若时，，则___________．【答案】(1)；18(2)①；②；③或【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段的数量关系，解题关键在于理解新定义，根据新定义列出方程即可．（1）根据新定义，列出式子即可．（2）①设，，表示出，列式子求解．②根据定义，，表示出，即可求解．③分两种情况进行讨论，一个是当在的左侧时，一个当在的右侧时，根据新定义列出式子，进行求解．【详解】（1）解：若，，则，若，，则，∵，∴．∵∴．故答案为：；18；（2）①，．∵，∴．∴．∴；②∵，，∴，则．∴，，∵，∴，故；③∵．∴，．分两种情况：当在的左侧时，∵，∴．∴．可知，，则；当在的右侧时，．，则；综上所述，或；故答案为：或．例3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…．(1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为、；②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）；(3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由．【答案】(1)①5，；②M点为，N点为(2)为，为(3)存在，n为5，为【分析】（1）①由题意可得，从而得到，再由，可得，即可求解；②根据，可得，即可．（2）由（1）中②可得两点的值，再进行一次“准相向运动”计算，根据点和也关于AB中点1对称，且k值不变即可求解．（3）根据题意可得，根据，可得点，到的中点的距离相等，从而表达出对应和的值，从特殊取值过程中，研究n和点以及点的关系，总结出一般规律进行解题．【详解】（1）解：①∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同，∴．∴．∴．∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴，又∵，，∴M点为5，N点为，故答案为：5，．②∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同，∴．∴．∴．∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴，且AB中点所对应的数为1，又∵，∴中点所对应的数也为1，∵，，∴M点为，即，N点为，即；（2）解：由（1）中②可得M点为，N点为，点和也关于中点1对称，∴．∴，∴．∴为，为．（3）解：存在，理由：∵，A，B两点完成了n次“准相向运动”，∴，∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴的中点所表示的数为1，∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同，∴．∴．∴，∴点，到的中点的距离相等，当n为1时，根据（1）得：此时点为5，为，当n为2时，为，为，当n为3时，为，为，当n为4时，为，为，以此类推发现n为奇数时，为正数，而正数的规律是，令，∴，∴，∴．．当表示的数为65时，，解得：．又∵和关于1对称，∴为．答：存在次数n使得为65，此时n为5，为．【点睛】本题考查列代数式的表达能力，数轴上表示数，利用数轴上线段中点解决相关问题，乘方，数的规律总结能力以及数轴相关知识运用，难度偏大，利用数形相结合是解题的关键．1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（）甲：当点B与点O重合时，；乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则；丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙【答案】D【分析】甲：画出图形，利用线段的和差可判断甲的说法；乙：画出图形，设点P表示的数为x，则，可判断乙的说法；丙：设点B表示的数是m，则点C表示的数是，利用中点公式表示出M、N表示的数即可求解．【详解】甲：如图1，当点B与点O重合时，，故甲的说法错误；乙：如图2，当点C与点A重合时，设点P表示的数为x，则，∴，故乙的说法正确；丙：点B表示的数是m，则点C表示的数是，∵O是原点，点A表示的数是4，M，N为线段的中点，∴点M表示的数是，点N表示的数是，∴，故丙的说法正确．故选D．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的计算，整式的加减等知识，数形结合是解答本题的关键．2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为．【答案】5【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．∵，即与重合，∴与C之间的距离为．故答案为：5【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键．3．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒．

（1）当点到达终点时，点在边；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为；（3）点、相遇时，秒．【答案】7.2【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置；（2）由题意知，；（3）由题意知，，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，∵，∴当点到达终点时，点运动路程为，∵，∴点在边上，故答案为：；（2）解：由题意知，，故答案为：；（3）解：由题意知，，解得，，故答案为：7.2．【点睛】本题考查动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位/秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动秒时，．【答案】2或18【分析】设线段运动的时间为t秒，则，，，，．分两种情况计算：①当M点在N点左侧时，②当M点在N点右侧时，分别将和用含有t的式子表示出来，根据列方程即可求出t的值．本题主要考查了线段的中点、线段的和差、直线上的动点问题，解题的关键是正确的把各条线段用含有t的式子表示出来，并且注意分类讨论．【详解】，设线段运动的时间为t秒，则，，，，∵点N是线段的中点，．①当M点在N点左侧时，，，，解得．②当M点在N点右侧时，，，，，解得．综上，线段运动2秒或18秒时，．故答案为：2或18．5．（23-24七年级上·云南·期末）如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发．(1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可）(2)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？(3)当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可）【答案】(1)(2)经过2秒，秒，P、Q两点相距；(3)【分析】（1）根据，求得，得到，求得，根据线段中点的定义得到，求得，由此即得到结论；（2）分点P、Q相遇前和点P、Q相遇后两种情况，设运动时间为t秒，然后分别根据线段的和差、速度公式列出等式求解即可得；（3）先画出图形，再根据线段的和差、线段的中点定义求出和的长，从而即可得出答案．【详解】（1）解：∵点P在线段上时，，，∴，而，∴，∴，∵点Q是线段的中点∴，而，∴，∴点Q的运动速度为；（2）解：设运动时间为t秒则，∵点Q运动到O点时停止运动∴点Q最多运动时间为依题意，分以下两种情况：①当点P、Q相遇前，，即，解得②当点P、Q相遇后，，，解得：，经检验不符合题意，舍去；当时，与重合，停止运动，此时，当再运动时，相距，此时，综上，经过2秒，秒，P、Q两点相距；（3）解：如图，设，点P在线段上，则，即，点E、F分别为和的中点，，则．【点睛】本题考查了线段的和差、线段的中点定义，一元一次方程的应用等知识点，较难的是题（2），依题意，正确分两种情况讨论是解题关键．6．（23-24七年级上·天津和平·期末）已知线段，线段CD在直线AB上运动（在的左侧，在的左侧）．(1)若满足；①当点与点重合时，；②、分别是、BD的中点，当时，求的长；(2)当线段CD运动到点距离点一个单位长度时，若有一点在点右侧且位于线段AB的延长线上，试求的值．【答案】(1)①；②；(2)8或4【分析】（1）①本题考查了线段的和差，解题的关键是根据平方非负性求出a，b得值；②本题考查了线段得和差，解题的关键是正确画图，注意两种情况；（2）本题考查了线段的和差，解题的关键是正确画图，注意两张情况．【详解】（1）解：，，，①当D点与B点重合时，；②如下图1，分别为线段的中点，，；如上图2，分别为线段的中点，，；（2）如下图，由题意得：，；如下图，，．7．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）。(1)若，当点C、D运动了，此时，；（直接填空）(2)当点C、D运动了，求的值；(3)若点C、D运动时，总有，则；（直接填空）(4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值．【答案】(1)；(2)(3)(4)或1【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．（1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得；（2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得；（3）根据已知得，然后根据，代入即可求解；（4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得．【详解】（1）解：根据题意知，，，∵，，∴，∴，，故答案为：；．（2）解：当点C、D运动了时，，，∵，∴；故答案为：；（3）解：根据C、D的运动速度知：，∵，∴，即，∵，∴，∴，故答案为：；（4）解：①当点N在线段上时，如图1，

∵，又∵∴，∴∴；②当点N在线段的延长线上时，如图2，

∵，又∵，∴，∴；综上所述：或1．8．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：数轴上有点A，表示的数为a，且满足关于x的方程为一元一次方程．数轴上还存在线段和线段（点M始终在点N左边，点P始终在点Q左边）．(1)当三点重合，且，时，求的值及所表示的数．(2)如图，若线段的中点为，线段的中点为，求的值．(3)在（1）的条件下，点M从A点出发，使线段以1个单位每秒的速度向右匀速运动，点P从A点出发，使线段以3个单位每秒的速度向右匀速运动，当点P与点N重合时，线段以原速返回向左运动，当点Q与点M相遇时，线段再次以原速向右运动……当点N所表示的数为时，求点P与点N共相遇了多少次？【答案】(1)；点表示的数为；点表示的数为(2)(3)【分析】（1）根据一元一次方程的定义可求出的值，由三点重合，，可得，，进而可求出点所表示的数；（2）由线段的中点为，线段的中点为可得：，；再通过线段的和差关系可得，即可得出结果；（3）计算出从点与点第一次重合到点与点第二次重合所需时间为秒；即从点与点第一次重合后的每秒，点与点相遇一次；依次计算即可；【详解】（1）解：∵关于x的方程为一元一次方程∴解得：∵三点重合∴，∴点表示的数为：；点表示的数为：（2）解：∵线段的中点为，线段的中点为∴，∴∴（3）解：在（1）的条件下表示的数为，当点所表示的数为时；∴线段的总运动时间为：（秒）点与点第一次重合所用时间为：（秒）从点与点第一次重合到点与点第二次重合所需时间为：（秒）即从点与点第一次重合后的每秒，点与点相遇一次；故点与点共相遇：（次）答：当点所表示的数为时，求点与点共相遇了次．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、线段的和差关系、图形运动中的周期规律；熟练掌握上述基础知识是解题的关键．9．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）如图，M是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，N是线段的中点，，设点M运动时间为t秒．(1)当时，①______，②此时线段的长度______；(2)用含有t的代数式表示运动过程中的长；(3)在运动过程中，若中点为C，则的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，请说明理由．【答案】(1)①2，②；(2)当时，，当时，；(3)的长度不变，为【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义，列代数式：（1）①根据路程等于速度乘以时间进行求解即可；②根据线段的和差关系和线段中点的定义可得答案；（2）分当时，当时，两种情况讨论求解即可；（3）根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系可得．【详解】（1）解；①由题意得，；②∵，，∴，∵N是线段的中点，∴；（2）解：当时，，当时，；（3）解：∵点C和点N分别是的中点，∴，∴，∴的长度不变，为．10．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，满足，，且为最大的负整数，点为线段上一点，将射线沿点对折后落在射线上，点的对应点为，点为的中点．(1)求的值；(2)动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点运动，同时动点从点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向点运动．设运动的时间为秒，当，相遇时，求的值．【答案】(1)2．(2)．【分析】本题考查的是负整数的定义，线段中点的定义，一元一次方程的几何应用，理解题意是关键．（1）先求解，，由中点的定义可得，再建立方程求解即可；（2）当点，相遇时，结合，再建立方程求解即可．【详解】（1）解：，，且为最大的负整数，，，．由题意，得，．为的中点，，即，解得．的值为2．（2）解：根据题意，得，，．当点，相遇时，由，，解得．当，相遇时，．11．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）数轴上A，两点对应的数分别是，12，线段在数轴上运动，点在点的左边，且，点始终是的中点．(1)如图1，当线段运动到A，之间时，若，则______；______；(2)如图2，当线段运动到点，分别在点A两侧时，设在数轴上对应的数为．①＝______（用含的代数式表示）；②求与的数量关系；(3)当线段运动到点在数轴上表示数的位置时，动点从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向运动；当点或点中有一点到达点时，另一点也随之停止运动．求运动多长时间时，，两点间的距离为1个单位长度？【答案】(1)4，4(2)①；②(3)1秒或3秒【分析】（1）两点间的距离公式求出的长，，求出的长，进而求出的长，进一步求出的长即可；（2）①中点，求出的长，再用表示出即可；②用表示出，即可得出与的数量关系；（3）分两种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．【详解】（1）解：∵A、B两点对应的数分别是、12，∴，∵，∴，∵点F是的中点，∴，∴，∴．故答案为：4，4；（2）解：①∵点F是的中点，在数轴上对应的数为，，∴，∴．故答案为：；②∵，，∴；（3）解：∵点C运动到数轴上表示数，，∴点E表示的数为；，，当点P向数轴正方向运动，且与Q没有相遇时，由题意可得：，解得；当点P向数轴正方向运动，且与Q相遇后时，由题意可得：，解得；综上所述：运动1秒或3秒时，P、Q两点间的距离为1个单位长度．【点睛】本题考查两点间的距离公式，线段中点有关的计算，列代数式，一元一次方程的应用．掌握两点间的距离公式，正确的列出代数式和方程，是解题的关键．12．（23-24七年级上·重庆长寿·期末）如图，P是定长线段上一点，两点分别从出发以、的速度沿直线先向左运动（C在线段上，D在线段上）．

(1)若运动到任一时刻时，总有，请说明；(2)在（1）的条件下，Q是直线上一点，且，求的值；(3)在（1）的条件下，若运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段上），分别是的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【答案】(1)见解析(2)或(3)②正确，【分析】本题考查了两点间的距离，（1）设C，D运动的时间是秒，先表示出，进而求解即可；（2）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段的延长线上时，分别求解即可；（3）若C、D运动5秒后，设，则．求得，当M、N分别是的中点时，的值不变．设当C点停止后D点继续运动秒．分别表示出，继而求出，进而表示出，即可求解．能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键．【详解】（1）设C，D运动的时间是秒．∵，∴，∴，∴，∴；（2）当点Q在线段上时，∵，∴，∵，∴，∴，∴；当点Q在线段的延长线上时，∵，∴，∴；综上，的值为或1；（3）②的值不变，正确，理由如下：若C、D运动5秒后，则，，由（1）知，设，则．∵，∴，解得，∴，当M、N分别是的中点时，的值不变．设当C点停止后D点继续运动秒．则，∴，∴，∴．13.（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知数轴上从左向右依次有四点、、、，其中，点对应的数是．(1)若，则点对应的数是______；(2)如图2，在（1）的条件下，若一小球甲在数轴上从点处以单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点和点处各放一块挡板，其中，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒，问：为何值时，甲、乙两小球之间的距离为个单位．(3)在（2）的条件下，将线段、分别绕点、点竖直向上折起，连接线段，围成如图3的长方形中，点从点出发，以单位/的速度沿点－－－匀速运动，最终到达点．设点运动时间为秒，问：为何值时，的面积为？【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）根据，，得到，再利用两点之间的距离公式即可求解；（2）由题意可得甲、乙碰到板子的时间均为，分为碰板前后两种情况讨论，①甲、乙碰到板子前（），得到，解得，符合题意；②甲、乙碰到板子后（），得到，解得，符合题意，由此即可解答；（3）先分别计算出当点运动到点、、时的时间值，再分类讨论当运动到、、上的情况，根据面积公式列方程求出时间即可．【详解】（1），，，，点对应的数是，点对应的数是，故答案为：；（2），，即，由题意可得甲、乙碰到板子的时间均为，分类讨论，分为碰板前后两种情况，①甲、乙碰到板子前（），甲距离点：，乙距离点：，解得：，，符合题意；②甲、乙碰到板子后（）甲与点的距离为：，乙与点的距离为：，，解得：，，符合题意，综上所述，或为时，甲、乙两小球之间的距离为个单位；（3）当点运动到点时，，当点运动到点时，，当点运动到点时，，①当点在运动时，，，即，解得：，符合题意；

②当点在运动时，，，由（2）得，，即，解得：，符合题意；③当点在运动时，，，，即，解得：，不符合题意；综上所述，为或时，的面积为．【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，线段的和差关系，三角形的面积，解题的关键是掌握两点之间的距离公式，理解题意找到其中蕴含的等量关系，学会用分类讨论的思想解决问题．14．（23-24七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．

(1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先求出，，根据，求出，，最后求出结果即可；（2）设运动时间为，则，，求出，，根据，得出，求出，再根据求出结果即可；（3）当点P在O、B之间时，根据，得出，，求出，根据求出，根据，得出，求出，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得，进而可得结果．【详解】（1）解：当运动时间为时，，，∵，∴，∴，∵，∴；

（2）解：设运动时间为，则，，∴，，∵，∴，∴∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，，，∵，∴点P在点O右边，当点P在O、B之间时，∴，∵，∴，∴，∴．

当点P在点B右边时，∵，，∴，∴；综上，或．【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果．15．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点．(1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______；(2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离；(3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？【答案】(1)，(2)之间的距离(3)或时，等式成立【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点等知识．运动过程中用含的式子表达线段的长度是解决本题的关键．（1）用含式子表示，即可求解；（2）由题意先求和，根据中点定义求出和，即可求得的距离；（3）分两种情况：当点到达点之前时，当点到达点返回时，分别表示、，代入题中等式，即可求出时间．【详解】（1）解：，，又，，．（2）如图，点的运动速度为，点的运动速度为，运动时间为，，，又、是线段、的中点，，，．（3）当点到达点之前时，即时，由题意得，，，，又，，解得：；当点到达点返回时，即时，由题意得，，，又，，解得：，综上所述，当或时，等式成立．16．（23-24七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．

(1)______，______；(2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)，(2)当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由见详解【分析】本题考查了绝对值的非负性，线段的中点、和差的计算，（1）根据几个非负性项之和为0，则每一个非负性均为0，据此即可求解；（2）分当点P在线段上时；当点P在点N左侧，点Q在线段上时；当点P、点Q均在点N左侧时，三种情况讨论，画出图形，根据线段的中点、和差即可计算求解．【详解】（1）∵，又∵，，∴，，∴，，故答案为：，；（2）当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由如下：设点P表示的数为x，∵，，∴，当点P在线段上时，如图，

∵点P表示的数为x，点N表示的数为，点M表示的数为，∴，，∴，∵Q为的中点，∴，∴，∴，∴；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，即，如图，

∴，，∴，∵Q为的中点，∴，且，∴，则：，∴，∴，∴，∵，∴，∴；当点P、点Q均在点N左侧时，如图，

∴，，∴，∵Q为的中点，∴，且，∴，∴，∴，∴，综上所述：当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，．17．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为．【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段(1)若，则______；(2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”）【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置(3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度；(4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值【答案】(1)(2)(3)(4)或【分析】（1）根据线段之间的数量关系代入解答即可；（2）根据线段的圆周率点的定义及相关线段的大小比较即可解题；（3）由题意可知，点C表示的数是，设M点离O点近，且，根据题意可得关于x的一元一次方程，求解即