2025年沪科版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高一数学上册月考试卷520考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知数列满足其前项和为则（）.A.B.C.D.2、【题文】函数且的图象必经过点（）A.（0，1）B.（1，1）C.（2，0）D.（2，2）3、已知定义在R上的函数+2（t∈R）为偶函数，记a=f（-log34），b=f（log25），c=f（2t），a，b，c大小关系为（）A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a4、在函数的图象上有一点P（t，cost），此函数图象与x轴及直线x=t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S关于t的函数关系S=g（t）的图象可以是（）A.B.C.D.5、已知向量与的夹角为120°，则等于（）A.5B.4C.3D.16、一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是（-2），则cx2+bx+a＜0的解集是（）A.（-3，）B.（-∞，-3）∪（+∞）C.（-2，）D.（-∞，-2）∪（+∞）评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、已知则=____.8、如图，正方体AOCD-A'B'C'D'的棱长为2，则图中的点M坐标为____．

9、数列{}的前n项和为（1）求{}的通项公式；（2）设求数列的前n项和10、若函数的定义域为则函数的定义域为____；11、【题文】若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是____cm3．

12、函数f（x）=log（x2﹣4x﹣5）的单调递减区间为____．评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)13、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．14、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．15、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．16、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．17、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．18、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．19、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．20、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、解答题(共1题，共10分)21、某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时；列表并填入的部分数据如下表：

。x__________________ωx+φ0π2πAsin（ωx+φ）020-2______（1）请将上表数据补全；并直接写出函数f（x）的解析式；

（2）将函数f（x）图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调减区间．评卷人得分五、作图题(共4题，共40分)22、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．23、作出下列函数图象：y=24、作出函数y=的图象．25、请画出如图几何体的三视图．

评卷人得分六、综合题(共2题，共18分)26、如图；⊙O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．设AD=x，BC=y．

（1）求证：AM∥BN；

（2）求y关于x的关系式；

（3）求四边形ABCD的面积S．27、已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2；f（x）=x的两实根为α；β．

（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；

（2）若a、b均为负整数；且|α-β|=1，求f（x）解析式；

（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】试题分析：由于该数列为等比数列，由等比数列的前项和公式得考点：等比数列的前项和公式.【解析】【答案】D2、D【分析】【解析】当x＝2时，y＝

故函数过点（2，2）【解析】【答案】D3、C【分析】解：定义在R上的函数+2（t∈R）为偶函数；

则有f（-x）=f（x），即+2=+2；

分析可得t=0，即+2=在区间（0，+∞）上为减函数；

a=f（-log34）=f（log34），b=f（log25）；c=f（2t）=f（0）；

又由0＜log34＜log25；

则有b＜a＜c；

故选：C．

根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（-x）=f（x），即+2=+2，分析可得t=0，即可得f（x）的解析式，将其写成分段函数的形式，分析可得其在区间（0，+∞）上为减函数，进而可得a=f（-log34）=f（log34），b=f（log25）；c=f（2t）=f（0），比较自变量的大小，结合函数的单调性即可得答案．

本题考查函数奇偶性与单调性的综合，关键是分析求出t的值．【解析】【答案】C4、C【分析】解：在上阴影部分部分的面积为=sint+1，

故g（x）的图象可由函数y=sinx，x向上平移一个单位得到．

故选C．

求出函数关系S=g（t）；根据函数解析式作出函数图象．

本题主要考查了定积分的知识以及利用图象变换作函数图象．【解析】【答案】C5、B【分析】解：∵向量与的夹角为120°，

∴

∵

∴

∴=-1（舍去）或=4；

故选B．

本题是对向量数量积的考查；根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，再根据和的模两边平方，联立解题，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．

两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．【解析】【答案】B6、A【分析】解：∵关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是（-2）；

∴∴b=-a，c=-a；

∴不等式cx2+bx+a＜0可化为-ax2-ax+a＜0，即2x2+5x-3＜0；

解得x∈（-3，）．

故选：A．

根据一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集，求出b、c与a的关系，化简不等式cx2+bx+a＜0；求出解集即可．

本题考查了一元二次不等式的知识，解题关键是利用根与系数的关系得出第二个不等式的各项的系数，在解答此类题目时要注意与一元二次方程的结合【解析】【答案】A二、填空题(共6题，共12分)7、略

【分析】【解析】试题分析：因为可以令2x+1=3,x=1,可知那么利用左右对应相等，得到的f(3)=1-2=-1,故填写-1.考点：函数的解析式【解析】【答案】-18、略

【分析】

∵D（2；-2，0），C′（0，-2，2），∴线段DC′的中点M（1，-2，1）．

故答案为（1；-2，1）．

【解析】【答案】写出点D；C′的坐标，再利用中点坐标公式即可得出中点M的坐标．

9、略

【分析】【解析】试题分析：考点：等差数列，数列的求和【解析】【答案】（1）（2）10、略

【分析】因为要使原式有意义则满足3-2x解得x的取值范围是故答案为【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】4012、（5，+∞）【分析】【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣4x﹣5＞0；即x＞5或x＜﹣1．

设t=x2﹣4x﹣5，则当x＞5时，函数t=x2﹣4x﹣5单调递增；

当x＜﹣1时，函数t=x2﹣4x﹣5单调递减．

∵函数y=logt；在定义域上为单调递减函数；

∴根据复合函数的单调性之间的关系可知；

当x＞5时；函数f（x）单调递减；

即函数f（x）的递减区间为（5；+∞）．

故答案为：（5；+∞）

【分析】先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解即可．三、证明题(共8题，共16分)13、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．14、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．15、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．16、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．17、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．18、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=19、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．20、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、解答题(共1题，共10分)21、略

【分析】解：（1）由表知，ω+φ=①，ω+φ=②，联立①②解得ω=1，φ=-

令x-=0，π，2π可求得x=填表如下：

。xωx+φ0π2πAsin（ωx+φ）020-20函数f（x）的解析式为

（2）函数

令

得

∴函数g（x）的单调减区间是

（1）由表知，ω+φ=①，ω+φ=②，联立可求ω，φ，令x-=0；π，2π可求相应的x；

（2）根据图象变换易求g（x）；利用正弦函数的单调性可求得g（x）的减区间；

本题考查“五点法”作y=Asin（ωx+φ）的图象及其图象变换、单调性，属中档题．【解析】0五、作图题(共4题，共40分)22、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．23、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．24、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可25、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．六、综合题(共2题，共18分)26、略

【分析】【分析】（1）由AB是直径；AM；BN是切线，得到AM⊥AB，BN⊥AB，根据垂直于同一条直线的两直线平行即可得到结论；

（2）过点D作DF⊥BC于F；则AB∥DF，由（1）AM∥BN，得到四边形ABFD为矩形，于是得到DF=AB=2，BF=AD=x，根据切线长定理得DE=DA=x，CE=CB