第05讲 平方根（知识串讲考点提升过关检测）-2025年人教版七年级《数学》寒假自学提升讲义

PAGE1第05讲平方根模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.理解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根;2.根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根;3.了解算术平方根的性质并用其解题；1.算术平方根定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数.【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1.性质：正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.算术平方根QUOTEQUOTE(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0；2）算术平方根本身具有非负性，即QUOTEQUOTE≥0；【小结】即在式子QUOTE中，a≥0且QUOTEQUOTE≥0.两个重要等式：1）QUOTE𝑎2=𝑎𝑎??，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.2.平方根定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”.【补充】平方根等于本身的数只有0.性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根.3.开平方定义：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.非负数a开平方用符号“±”表示，“”是一个运算符号.【注意】1）开平方是求一个非负数的平方根，因此被开方数必须是非负数；2）平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程；3）平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.考点一：求一个数的算术平方根1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算：4=【答案】2【分析】此题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：4=2故答案为：2．2．（22-23八年级上·河南南阳·期末）16的算术平方根等于（

）A．4 B．±4 C．2 D．±2【答案】C【分析】本题考查了算术平方根的意义，先化简16，再根据算术平方根的意义求解即可．【详解】解：∵16=4∴16的算术平方根等于4=2故选：C．3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（）A．3 B．9 C．3 D．−【答案】A【分析】本题考查了算术平方根，理解题意，按照数值转换器规定的运算计算是解题的关键．根据数值转换器输入x的值，直到输出y的值不是有理数为止．【详解】解：第一次输入x=81，则81=9第二次输入x=9，则9=3第三次输入x=3，则3不是有理数，所以输出y=3故选：A．考点二：利用算术平方根的非负性求解4．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）若a−17+b−12=0，则【答案】2【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此得到a−17=0，b−1=0，则a=17，b=1；对于两个实数a、b若a为非负数且满足a2【详解】解：∵a−17+b−12∴a−17=∴a−17=0，∴a=17，∴a−b=∴a−b的算术平方根为2，故答案为：2．5．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若x+8+|y+2|=0，则xy的值为【答案】16【分析】本题主要考查了非负数的性质、算术平方根的非负性、代数式求值等知识点，掌握算术平方根和绝对值的非负性成为解题的关键．先根据非负数的性质求出x、y的值，然后再代入代数式计算即可．【详解】解：∵x+8+|y+2|=0∴x+8=0,|y+2|=0∴x+8=0,y+2=0，∴x=−8,∴xy=−8×−2故答案为：16．6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足x−4+y+11=0，则x−y+1【答案】16【分析】此题主要考查了绝对值的性质以及算术平方根的性质．直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而得出答案．【详解】解：∵|x−4|+y+11∴x−4=0，y+11=0，解得：x=4，y=−11，则x−y+1=4−−11故答案为：16．7．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知x、y为实数，且y=x−2009+2009−x【答案】2010【分析】本题考查了算术平方根的被开方数非负，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键．由x−2009≥02009−x≥0得到x=2009，则y=1，即可求解x+y【详解】解：由题意得x−2009≥02009−x≥0则x=2009，∴y=1，∴x+y=2009+1=2010，故答案为：2010．考点三：估计算术平方根的取值范围8．（2024·湖南长沙·二模）若3<a<4，则满足条件的a可能是（A．8 B．9 C．15 D．18【答案】C【分析】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的意义成为解题的关键．先根据算术平方根的意义确定a的取值范围，然后结合选项即可解答．【详解】解：∵3<a∴9<∴9<a<16，即选项C符合题意．故选C．9．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）估计11−1的值在（

A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】B【分析】本题考查无理数的估算．估算11的近似值，即可得到11−1【详解】解：∵9<11<∴2<11∴11−1故选：B．10．（23-24七年级下·贵州安顺·阶段练习）小明制作了一张边长为16cm的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3:2，面积为420(1)求此长方形信封的长和宽．(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．【答案】(1)长方形信封的长为370cm(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由见解析【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长．（1）设长方形信封的长为3xcm，宽为2xcm，根据面积为（2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可．【详解】（1）解：∵信封的长、宽之比为3:2，∴设长方形信封的长为3xcm，宽为2x由题意得3x⋅2x=420，∴x=70∴长方形信封的长为370cm，宽为（2）解：正方形贺卡的边长是16cm∵70>64，∴70>8∴270即信封的宽大于正方形贺卡的边长，∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．考点四：与算术平方根有关的规律探究问题11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知7.45=2.729，y=27.29，那么y=【答案】745【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质即可求解，解题的关键是掌握算术平方根的性质．【详解】解：∵7.45=2.729∴7.45×100=2.729×10，即745∴y=745，故答案为：745．12．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题．a…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…(1)表格中x=________，y=________．(2)①已知6≈2.45，则0.06②已知0.0012≈0.03464，2m≈34.64，求【答案】(1)0.1，10(2)①0.245；②600【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键．（1）利用算术平方根的定义即可得出答案；（2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案．【详解】（1）解：x=0.01故答案为：0.1，10；（2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，∴由6≈2.45可知0.06故答案为：0.245；②∵0.0012≈0.03464，2m∴可知0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64，∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m，∴0.0012×10∴m=600．13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如4等，有些数则不能直接求得，如5，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表：a…0.04440040000…a…x2yz…(1)表格中的三个值分别为：x=________；y=________；z=________；(2)用公式表示这一规律：当a=4×100n（n为整数）时，(3)利用这一规律，解决下面的问题：已知5.56≈2.358，则①0.0556≈_______；②【答案】(1)0.2，20，200(2)2×(3)0.2358，23.58【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．（1）利用算术平方根定义计算，填表即可；（2）归纳总结得到一般性规律，求出a的值即可；（3）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】（1）根据题意得：x=0.04y=400z=40000（2）当a=4×100n（n为整数）时，（3）若5.56≈2.358，则①0.0556②556=14．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）先计算下列各式：1=1，1+3=2，1+3+5=3（1）请写出：1+3+5+⋅⋅⋅+2n−1=（2）计算：4+12+20+⋯+404=【答案】n102【分析】本题主要考查了奇数求和，算术平方根，认真读题，寻找规律，掌握奇数求和的方法和算术平方根的定义是解答的关键．（1）总结规律，可以发现被开方数是奇数之和为n2（2）先把被开方数提取公因数4，再将括号内的按规律求和解答即可．【详解】解：（1）∵1=1，1+3=2，1+3+5=3∴1+3+5+⋅⋅⋅+故答案为：n；（2）4+12+20+⋯+404====2×51=102．故答案为：102．QUOTE=102考点五：算术平方根的实际应用15．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）阅读下列材料：在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：4×25=100=10，而4=2，25=5小明：(4×25)2=4×25，(4×25)2=(2×5)回答以下问题：(1)结合材料猜想，当a≥0，b≥0时，ab和a×(2)运用以上结论，计算：①16×36；②49×121；(3)解决实际问题：已知一个长方形的宽为8，长为32，求这个长方形的面积．【答案】(1)ab(2)①24；(3)16【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键．（1）由题意可得当a≥0，b≥0时，ab=（2）根据法则计算①16×36②49×121（3）由长方形的面积可知S=8【详解】（1）解：当a≥0，b≥0时，ab=（2）解：①16×36②49×121（3）解：根据题意得：长方形的面积为S=816．（24-25七年级上·全国·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，1×4=2，1×9=3，4×9=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2(1)试说明：2，8，50这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根；(2)已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值．【答案】(1)理由见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是20(2)9或64【分析】本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．（1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可；（2）分三种情况进行解答即可，即a<16，16<a<36，a>36，分别列方程求解即可．【详解】（1）解：∵2×8=4，2×50=10，∴2，8，50这三个数是“老根数”；其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20；（2）当a<16时，∵16，a，36，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，∴216a∴8a解得：a=9；当16<a<36时，依题意，得：216a∴8a∴2a解得：a=0，不合题意舍去；当a>36时，依题意，得：216×36∴6a解得：a=64，综上所述，a的值为9或64．17．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）在数学实践活动课上，指导老师准备了一块面积为16m2的正方形纸片ABCD（如图所示），准备给数学实践小组用来对教室重新进行装饰，现需要一块面积为方案一：沿着正方形边的方向裁出一块面积为15m方案二：沿着正方形边的方向裁出一块面积为15m2的长方形装饰材料，且长与宽的比为请你判断实践小组设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．（参考数据：54【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据题意分别求得两个方案中长方形的长和宽，和正方形的边长比较大小，进而即可求解．【详解】解：给定正方形纸片的面积为16m2，因此其边长为4m对于方案一：设裁出的长方形的长为x，宽为y，满足条件xy=15，同时x和y都必须小于等于正方形的边长4m若x=4m，则y=因此，方案一可行．此时，长方形的长为4m，宽为15对于方案二：设长方形的长为4x，宽为3x，其中x>0．根据题目，有4x⋅3x=15m2，解得x2=5根据题目给的参考数据54∴4x≈4.48m，3x≈3.3然而，长方形的长4.48m已经大于正方形的边长418．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）电流通过导线时会产生热量，满足Q=I2Rt(I>0)，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t(1)当导线电阻为5Ω，电流为3A时，通电时间为2s(2)当导线电阻为6Ω，通电时间为3s时，所产生的热量是72J【答案】(1)通电时间为2s所产生的热量是90J(2)这时电流是2A【分析】（1）把数值代入公式计算即可解题；（2）先把公式变形，然后代入求出结果即可；本题考查了代数式求值，算术平方根的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）由题得：当t=2s时，Q=∴通电时间为2s所产生的热量是90J（2）∵Q=I2Rt∴I=Q当Q=72J时，得I=∴这时电流是2A19．（22-23七年级下·山东临沂·期中）如图，用两个边长为8 cm

(1)求大正方形的边长；(2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为3:2且面积为12 【答案】(1)4(2)不能裁得一个长宽之比为3:2且面积为12 【分析】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键．（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；（2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可．【详解】（1）解：由题意得，大正方形的面积S=8∴大正方形的边长=16（2）设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x由题意，得3x⋅2x=12，即x=2此时3x=32∴不能裁得一个长宽之比为3:2且面积为12 QUOTE考点六：理解平方根的概念20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“1625的平方根是±A．1625=±45 B．1625=【答案】C【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据算术平方根和平方根的定义进行解题即可．【详解】解：“1625的平方根是±45故选：C．21．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知某数的一个平方根为12，则该数是，它的另一个平方根是【答案】14/0.25−1【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义，注意一个正数的两个平方根互为相反数．根据平方根的平方等于被开方数和一个正数的平方根互为相反数，即可求解．【详解】解：∵这个数的一个平方根为12∴这个数为122=故答案为：14；−22．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（

）A．−4的平方根是±2B．16的算术平方根是4C．平方根等于本身的数是0和1D．0的平方根与算术平方根都是0【答案】D【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可．【详解】因为负数没有平方根，所以A不符合题意；因为16的算术平方根是2，所以B不符合题意；因为平方根等于本身的数是0，1的平方根是±1，所以C不符合题意；因为0的平方根与算术平方根都是0，所以D符合题意；故选：D．QUOTE考点七：求一个数的平方根23．（22-23七年级上·浙江·期中）16的平方根是()A．4 B．−4 C．±4 D．±2【答案】C【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根的定义即可求解．解题的关键是掌握正数的平方根有两个，互为相反数．【详解】解：∵±42∴16的平方根是±4，故选：C．24．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）16的平方根是．【答案】±2【分析】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意：16的平方根和16的平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错．根据算术平方根和平方根的运算法则，直接计算即可．【详解】解：∵16=4，4的平方根是±2∴16的平方根是±2．故答案为：±2．QUOTE卤0.545考点八：求代数式的平方根25．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）已知x、y都是实数，且y=x−2+2−x【答案】±4【分析】本题考查算术平方根的非负数的性质及平方根，根据算术平方根的非负性得x−2≥0，2−x≥0，可得x的值，再代入等式求出y的值，再根据平方根的定义求解即可．解题的关键是掌握：任意非负数a的算术平方根是非负数，即a≥0【详解】解：∵y=x−2∴x−2≥0，2−x≥0，∴x=2，∴y=2−2∴yx∴yx的平方根为±426．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）若3≈1.73，30≈5.45，则0.3的平方根约为（A．0.545 B．0.173 C．±0.173 D．±0.545【答案】D【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根是解题的关键；根据题意30是0.3的100倍，进而可根据30≈5.45【详解】解：∵30≈5.45∴0.3的平方根为±0.545；故选D．27．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且2(x−3)2与3y−12互为相反数，则x2【答案】±5【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．【详解】解：∵2(x−3)2与∴2(x−3)∴x−3=0，3y−12=0，解得：x=3，y=4，则x2故x2+y故答案为：±5．28．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知1−3b与2a+1互为相反数，求−3b+2a+6的平方根．【答案】±2【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得1−3b=0,2a+1=0，求出a、b值，即可求解．【详解】解：∵1−3b≥0，2a+1则当1−3b与2a+1互为相反数时，只能是1−3b=0,2a+1=0，解得：a=−1∴−3b+2a+6=−3×1∴其平方根为±2．29．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c满足：a−5+(1)a，b，c的值．(2)a+b+c的平方根．【答案】(1)a=5,b=−4,c=3(2)a+b+c的平方根为±2【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键；（1）根据题意易得a−5=0，（2）根据（1）可得a+b+c的值，然后根据平方根可进行求解．【详解】（1）解：∵a−5+b+4+∴a−5=0，解得：a=5，b=−4，c=3；（2）解：由（1）得：a=5，b=−4，c=3，∴a+b+c=5−4+3=4，∴4的平方根为±2，即a+b+c的平方根为±2．30．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知2a+1的算术平方根是5，10+3b的平方根是±4，c是19的整数部分，求a−5b+c的平方根．【答案】±【分析】根据算术平方根及平方根确定a=12，b=2，再由估算算术平方根的整数部分确定c=4，将其代入代数式，然后计算平方根即可．【详解】解：∵2a+1的算术平方根是5，∴2a+1=25，解得：a=12．∵10+3b的平方根是±4，∴10+3b=16，解得：b=2．∵c是19的整数部分，而4<19∴c=4，∴a−5b+c=12−5×2+4=6，∴a+5b−c的平方根为±6【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键．考点九：已知一个数的平方根求这个数31．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根是a+5和4a−15，则x的值为【答案】49【分析】本题考查数的平方根，解一元一次方程．根据一个数的两个平方根互为相反数即可求出a的值，从而可求出x的值．【详解】解：∵实数x的两个不同的平方根为a+5和4a−15，∴a+5+4a−15=0，解得：a=2，∴x=2+5故答案为：49．32．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知某数的一个平方根是−5，则这个数是【答案】5【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数，掌握平方根的定义是解题关键．直接根据平方根的定义可得结果．【详解】解：∵−∴平方根是−5故答案为：5．33．（24-25八年级上·广东佛山·期中）若一个正数a的两个平方根分别是3b−5和−2b+2．(1)求a和b的值；(2)求a+3b的平方根．【答案】(1)a=16，b=3(2)a+3b的平方根为±5【分析】本题考查的是平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．（1）先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可；（2）先求出a+3b的值，再求出其平方根即可．【详解】（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是3b−5和−2b+2，∴3b−5+−2b+2∴b=3，∴a=3b−5（2）解：∵a=16,b=3,∴a+3b=16+3×3=16+9=25，又25的平方根是±5，∴a+3b的平方根为±5．34．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）已知一个数x的算术平方根为a+3，x的平方根为±(2a−15)，求这个数x是．【答案】441或49【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，算术平方根，先根据题意可得关于a的方程，求出解即可．【详解】根据题意，得a+3=±(2a−15)解得a=18或a=4，∴a+3=21或a+3=7，则x=212=441所以这个数是441或49．故答案为：441或49．考点十：利用平方根解方程35．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）解方程(1)4x(2)42x−1【答案】(1)x=±3(2)x=2或x=−1．【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可；（2）利用平方根的定义解方程即可；本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键．【详解】（1）解：44xx2解得：x=±3（2）42x−12x−1=±32x−1=3或2x−1=−3解得：x=2或x=−1．36．（21-22七年级下·贵州黔南·期中）解方程：(1)25x(2)2【答案】(1)x=75(2)x=4或x=−6【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键：（1）先将方程整理为x2（2）先将方程整理为x+12【详解】（1）解：25x25x2x=75或（2）解：22x+12x+1=5或x+1=−5，x=4或x=−6．37．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中的x：(1)9x(2)(x+1)2(3)2(x−1)【答案】(1)x=±(2)x=−9或x=7(3)x=−3或x=5【分析】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提．（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可；（2）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可；（3）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．【详解】（1）解：移项得，9x两边都除以9得，x2由平方根的定义得，x=±5（2）移项得，(x+1)2合并同类项得，(x+1)2由平方根的定义得，x+1=±8，即x=−9或x=7；（3）移项得，2(x−1)两边都除以3得，(x−1)2由平方根的定义得，x−1=±4，即x=−3或x=5；考点十一：平方根的应用38．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，用两个面积为50cm(1)求拼成的大正方形纸片的边长；(2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为2:1且面积为72cm【答案】(1)10(2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键．（1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案；（2）设长方形纸片的长为2xcm，宽为xcm，由题意得到【详解】（1）解：∵用两个面积为50cm∴大正方形的边长为50+50=（2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．理由如下：设长方形纸片的长为2xcm，宽为xcm，根据题意得2x⋅x=72，解得x=6或x=−6（负值，舍去），即长方形的长为6×2=12cm∵10<12，不符合题意，∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．39．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：秒）和高度ℎ（单位：米）近似满足公式ℎ=12gt2，其中g为重力加速度，g≈10米/平方秒．物体落地时产生的动能=物体质量×(1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？(2)一个0.5千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1秒，2≈1.41【答案】(1)大约需要4秒(2)大约2.8秒【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键．（1）将ℎ=80米代入ℎ=12gt2（2）先求出ℎ=40米，再将ℎ=40米代入ℎ=12gt2【详解】（1）解：把ℎ=80米代入ℎ=12gt2解得：t=4（负值舍去），答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒；（2）解：由题意得：0.5×10ℎ=200，解得ℎ=40，把ℎ=40代入ℎ=12gt2解得t=22∴t≈2.8秒，答：该物品坠落地面用了大约2.8秒．40．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为5:3．(1)求这块长方形空地的周长；(2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为2:1），花坛的总面积为1176平方米，宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？【答案】(1)这块长方形空地的周长为160米(2)宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行【分析】本题考查了平方根的应用；（1）设长方形空地的长为5x，则宽为3x，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长；（2）设花坛2的宽为y，则长为2y，正方形花坛1的边长为2y，根据总面积为1176平方米列式，利用平方根的性质求出x，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可．【详解】（1）解：设长方形空地的长为5x，则宽为3x，由题意得：5x⋅3x=1500，∴x=10（负值已舍去），∴5x=50，3x=30，∴这块长方形空地的周长为2×50+30（2）设花坛2的宽为y，则长为2y，正方形花坛1的边长为2y，由题意得：2y2解得：y=14（负值已舍去），∴花坛2的宽为14，正方形花坛1的边长为28，∵30−28=2<2.5，∴宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行．41．（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：d=7t−12(t≥12)，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，(1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？【答案】(1)21(2)37【分析】本题考查了平方根的应用：（1）将t=21代入关系式计算即可；（2）将d=35代入关系式求解即可．【详解】（1）解：当t=21时，d=7=7×3=21（厘米），答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米．（2）解：当d=35时，即7t−12t−12=25t=37，答：冰川约是在37年前消失的．QUOTE5−11．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）一个正方形的面积是25，则这个正方形的边长是（

）A．5 B．±5 C．5 D．±【答案】A【分析】本题主要考查的是算术平方根的概念以及正方形的面积的计算，掌握算术平方根的概念是解题的关键．根据算术平方根的概念以及正方形的面积公式计算即可．【详解】已知一个正方形的面积是25，则这个正方形的边长为25=5∴这个正方形的边长是5．故选：A．2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）若a−22+b+3=0，则A．−1 B．0 C．1 D．2024【答案】C【分析】本题主要考查了非负数的性质、乘方运算等知识点，掌握几个非负数的和为零、则每个非负数的和都为0成为解题的关键．根据偶次幂以及算术平方根的非负性确定a、b的值，然后代入代数式运用乘方运算求解即可．【详解】解：∵a−2∴a−2=0.b+3=0，解得：a=2,∴a+b2024故选C．3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）a与b互为相反数，c是最大的负整数，d是正数且倒数等于它本身，x是平方等于4的数，则x+2c−a+bd的值为（A．1 B．−5 C．0或−4 D．1或5【答案】C【分析】本题主要考查相反数、倒数、平方根及代数式的值，熟练掌握相反数、平方根及倒数的意义是解题的关键；由题意易得a+b=0,c=−1,d=1,x=±2，然后代入进行求解即可．【详解】解：由题意得：a+b=0,c=−1,d=1,x=±2，当a+b=0,c=−1,d=1,x=2时，则x+2c−a+b当a+b=0,c=−1,d=1,x=−2时，则x+2c−a+b故选C．4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知x，y为实数，且x−3+|y+1|=0，则x−yA．−2 B．2 C．4 D．−4【答案】C【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．【详解】解：∵x−3+∴x−3=0，y+1=0，∴x=3，y=−1，∴x−y=3−−1故选：C．5．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列选项中计算正确的是（

）A．4=±2 B．±19=±13【答案】B【分析】本题考查了算术平方根，平方根和有理数的乘方，熟练掌握它们的性质是解题的关键；根据平方根，算术平方根和有理数的乘方法则逐项判断即可．【详解】A．4=2B．±1C．23D．−3故选：B．6．（2024·山东滨州·模拟预测）在有理数−3，−3，(−3)2，(−3)2中，负数的个数有（A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【答案】A【分析】本题考查化简绝对值，有理数的乘方和算术平方根，负数的判定，解题的关键是掌握以上知识点．首先化简绝对值，有理数的乘方和算术平方根，然后根据负数的概念求解即可．【详解】解：−3=3，(−3)2=9∴负数有−3，共1个．故选：A．7．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是m+1和2m−16．则这个正数为（

）A．4 B．36 C．−6 D．±6【答案】B【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得m+1+2m−16=0，则m=5，再根据平方根的定义即可求出答案．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是m+1和2m−16，∴m+1+2m−16=0，∴m=5，∴m+1=6，∴这个正数为62故选：B．8．（24-25八年级上·四川成都·开学考试）下列说法错误的是（

）A．±3是9的平方根 B．16的平方根为±4C．25的平方根为±5 D．负数没有平方根【答案】B【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可．【详解】解：A、±3是9的平方根，正确，故本选项不符合题意；B、16=4的平方根为±2C、25的平方根为±5，正确，故本选项不符合题意；D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意．故选：B．9．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如果a2=−42，那么A．4 B．−4 C．16 D．4或−4【答案】D【分析】本题主要考查了乘方运算、平方根等知识点，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．先计算乘方，再根据平方根的定义求解即可．【详解】解：∵a2∴a=±16=±4，即4或故选：D．10．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知20.24=4.499，202.4=14.227，则202400=A．44.99 B．449.9 C．142.27 D．1422⋅7【答案】B【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由202400=20.24×10000得到202400=100【详解】解：∵202400=20.24×10000，20.24=4.499∴202400=100故选：B．11．（23-24七年级下·全国·单元测试）如果2a−3和a−3是正数A的平方根，则A为（

）A．1或9 B．1或−3 C．1 D．−3【答案】A【分析】此题主要考查了平方根．首先根据正数有两个平方根，它们可能互为相反数或相等，则列方程求解即可．【详解】解：当两数互为相反数时，2a−3+a−3=0，解得：a=2，∴2a−3=1，a−3=−1，则这个正数为1；当两数相等时，2a−3=a−3，∴a=0，∴a−3=−3，这个正数是9．故这个正数为1或9，故选：A．12．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①13，②13+23，③13+23【答案】10351【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出13【详解】解：13131313……观察发现13∴1故答案为：10，351．13．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）−2的立方等于；−23的倒数是【答案】−8−32【分析】本题考查了平方根的定义，倒数，立方的计算．根据定义及运算法则逐一计算即可得到结果．【详解】解：−2的立方等于−8；−23的倒数是−3故答案为：−8；−32；14．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若a−20242+b+2023=2，其中a,b【答案】5,3,1【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a,b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．先根据绝对值和算术平方根的非负性分两种情况进行讨论得出a,b的值，再代入进行计算即可求解．【详解】∵a−20242+b+2023又∵a−20242≥0，∴当a−20242=0，解得a=2024，b=−2019，此时a+b=∴当a−20242=1，解得a=2025或a=2023，b=−2022，此时a+b=2025−2022=3∴a−20242+b+2023=2时，a+b=5故答案为：5,3,1．15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图是第十四届国际数学教育大会ICME−14会微的主题图案，它包含着丰富的数学元素，展现我国古代数学的文化魅力，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0∼7共8个基本数字．而八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：3×83+7×82+4×81+5×80【答案】37509【分析】本题考查了有理数的运算以及利用平方根解方程等知识，根据题意列出关于n的方程是解答本题的关键．根据十进制换算成八进制的方法即可作答；根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的方程，解方程即可求解．【详解】解：因为8的4次方就是4096，3次方是512，所以2024写成8进制就是4位数，且首位是3，其值为3乘以8的3次方，然后剩下2024−512×3=488，而7×8∴488−448=40=5×8，∴3×∴十进制数2024换算成八进制数是3750根据题意有：1×n整理得：n+22解得n=9，n=−13（负值舍去），故n的值为9．故答案为：3750，9．16．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：a−3(1)a，b，c的值；(2)求a2【答案】(1)a=3，b=−2，c=2024(2)1【分析】本题考查了绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性、代数式求值，掌握绝对值、偶次幂、算术平方根的非负性是正确解题的关键．（1）根据绝对值、偶次幂以及算术平方根的非负性进行计算即可；（2）将a，b，c的值代入计算即可；【详解】（1）解：∵a−3∴a−3=0，b+2=0，∴a=3，b=−2，c=2024（2）解：∵a=3，b=−2，c=2024∴a====1．17．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知x=1