高三数学9-3空间点、直线、平面之间的位置关系

重点难点重点：①平面的概念与基本性质②空间直线、平面之间的各种位置关系难点：①应用平面基本性质证明点共线、线共点、点线共面等②应用公理4及等角定理解决有关问题③异面直线的判定、异面直线所成的角知识归纳1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：不共线的三点确定一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线即交线．2．空间两条直线(1)空间两条直线的位置关系有相交、平行、异面．(2)平行直线①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(3)异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．②两条异面直线所成的角：对于两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直．异面直线所成的角的范围是(0，]．3．直线和平面的位置关系(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点直线和平面相交或平行统称直线在平面外．4．平面与平面位置关系(1)平行——没有公共点；(2)相交——有一条公共直线．误区警示1．等角定理是求空间中两条直线所成角的基础，运用定理时，应注意“这两个角相等或互补”，只有在“方向相同”时才相等．2．同一平面内两条直线不平行则必相交，但在空间中则不然，平面几何中的一些结论在空间中未必成立．一、共线与共面问题证明共线时，所共的直线一般定位为两个平面的交线；证明共面问题时，一般先由已知条件确定一个平面(有平行直线的先用平行直线确定平面)，再证共它元素在该平面内．二、平移转化法求异面直线所成角的关键——平移直线异面直线所成角的大小，是用过空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的．因此，平移直线是求异面直线所成角的关键．这里给出几种平移直线的途径．(1)在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实际情况构造辅助平面，在辅助平面内平移直线构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之一；这种方法常常是取两条异面直线中的一条和另一条上一点确定一个平面，在这个平面内过这个点作这条直线的平行线，或在两条异面直线上各选一点连线，构造两个辅助面过渡．[例1]如下图所示，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．(2)利用平行平面平移直线构成可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之二；这种方法常见于两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可利用面面平行的性质，将一条直线平移到另一条所在的平面内．[例2]

如右图所示，正方体AC1中，B1E1＝D1F1＝，求BE1与DF1所成角的余弦值．(3)整体平移几何体，构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之三．这种方法常常是将原有几何体上再拼接上同样的一个几何体(相当于将原几何体作了一个平移)创造平移直线的条件．[例3]

如下图长方体AC1中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，N在A1B1上，且B1N＝4.求BD1与C1N所成角的余弦值．解析：如图所示，将长方体AC1平移到BCFE－B1C1F1E1的位置，则C1E∥BD1，C1E与C1N所成的锐角(或直角)就是BD1与C1N所成的角．[例1]如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG

GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.(1)求AH

HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点．∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．设EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，∴P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．如图，在四面体ABCD中作截图PQR，PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求证M、N、K三点共线．点评：证明共线问题：(1)可由两点连一条直线，再验证其它各点均在这条直线上；(2)可直接验证这些点都在两个平面的交线上.[例2]如下图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解析：(1)不是异面直线．理由：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点．∴MN∥A1C1.又∵A1A綊D1D，而D1D綊C1C，∴A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC⊂平面CC1D1，∴B∈面CC1D1D，这与ABCD－A1B1C1D1是正方体相矛盾．∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．点评：(1)见中点，应充分构造利用中位线性质转化为平行关系．(2)判定两条直线异面可用：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线，或用反证法．(3)异面直线的判定高考一般不会出大题，但在选择题中可能会涉及．已知m、n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，则l (

)A．与m、n都相交B．与m、n中至少一条相交C．与m、n都不相交D．与m、n中的一条直线相交解析：若m、n都不与l相交，∵m⊂α，n⊂β，∴m∥l、n∥l，∴m∥n∥l，这与m、n为异面直线矛盾，故l与m、n中至少一条相交．答案：B[例3]

(08·江西)设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是(

)A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析：如图，m是α的斜线，PA⊥α，l⊂α，l⊥AB，则l⊥m，α内所有与l平行的直线都垂直于m，故A错；即可知过m有且仅有一个平面PAB与α垂直，假设有两个平面都与α垂直，则这两个平面的交线m应与α垂直，与条件矛盾，∴B正确；又l′⊄α，l′∥l，∴l′∥α，∵l⊥m，∴l′⊥m，∴C错；又在平面α内取不在直线AB上的一点D，过D可作平面与平面PAB平行，∴m∥β，∵平面PAB⊥α，∴平面β⊥α.答案：B(文)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则(

)A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面解析：若存在过P的直线a，a∥l，a∥m，则l∥m矛盾，∴A错；若点P与m确定的平面α∥l，则过P与l、m都相交的直线不存在，故C错；若过P点的平面α∥l，α∥m时，在α内存在无数条过P点的直线与l、m都异面，故D错．设a是与l、m都垂直相交的直线，P不在a上时，则过P点与a平行的直线有且仅有一条，P在a上时，仅有一条．答案：B(理)(09·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号________(写出所有真命题的序号)．解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正确．由线面平行的判定定理可知，(2)正确．对(3)来说，l只垂直于α和β的交线l，得不到l是β的垂线，故也得不出α⊥β.对(4)来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α.也就是说当l垂直于α内的两条平行直线时，l不一定垂直于α.答案：(1)(2)[例4]已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为 (

)分析：三棱柱中AA1∥CC1，故∠A1AB即所求．由A1在底面射影为BC中点知，△A1AD，△A1BD都是直角三角形，结合各棱长都相等，可解△A1AB.答案：D(2009·四川)如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．解析：取BC的中点N，连接AN，则AN⊥平面BCC1B1，∵BM⊂平面BCC1B1，∴AN⊥BM，又在正方体BCC1B1中，M，N分别为CC1与BC的中点，∴B1N⊥BM，又B1N∩AN＝N，∴BM⊥平面AB1N，∴BM⊥AB1，∴AB1与BM所成的角是90°.答案：90°1．(文)(2010·浙江理，6)设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 (

)A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m[答案]

B[解析]

两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选B.一、选择题(理)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列结论：①a∥b，b⊂α⇒a∥α；②α∥β，a∥β，a⊄α⇒a∥α；③α∩β＝a，b∥α，b∥β⇒b∥a；④a∥α，b⊂α⇒a∥b.其中正确的有 (

)A．1个

B．2个

C．3个

D．4个[答案]

B[解析]

①可能有a⊂α；④可能有a与b异面，故只有②③正确．2．将正方体纸盒展开如图所示，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是(

)A．平行B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角[答案]

D3．(08·浙江)对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得(

)A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α[答案]

B[解析]

a、b异面时，A错，C错；若D正确，则必有a⊥b，故排除A、C、D，选B.4．(文)(08·陕西)如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A，B到l的距离分别是a和b.AB与α，β所成的角分别是θ和φ，AB在α，β内的射影分别是m和n.若a>b，则(

)A．θ>φ，m>nB．θ>φ，m<nC．θ<φ，