2024高考数学一轮复习专练31数列求和含解析文新人教版VIP

PAGE专练31数列求和命题范围：数列求和常用的方法[基础强化]一、选择题1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－22．[2024·山东临沂高三测试]等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(n＋1)B．n(n－1)C.eq\f(nn＋1,2)D.eq\f(nn－1,2)3．[2024·河南平顶山高三测试]数列1，eq\f(1,1＋2)，eq\f(1,1＋2＋3)，…，eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)，…的前n项和为()A.eq\f(n,n＋1)B.eq\f(2n,n＋1)C.eq\f(4n,n＋1)D.eq\f(n,2n＋1)4．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))))的前2018项的和为()A.eq\r(2018)＋1B.eq\r(2018)－1C.eq\r(2019)＋1D.eq\r(2019)－15．已知数列{an}满意an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为()A．250B．200C．150D．1006．已知数列{an}满意：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2024＝()A．3B．2C．1D．07．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，令bn＝eq\f(1,a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}的前n项和Tn为()A.eq\f(n＋1,2n＋2)B.eq\f(3,4)－eq\f(2n＋3,2n＋1n＋2)C.eq\f(n－1,n＋2)D.eq\f(3,4)－eq\f(2n＋3,n＋1n＋2)8．[2024·资阳一中高三测试]已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an＋2，n是奇数，,2an，n是偶数，))则数列{an}的前20项和为()A．1121B．1122C．1123D．11249．设函数f(x)＝eq\f(1,2)＋log2eq\f(x,1－x)，定义Sn＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))，其中，n∈N*，n≥2，则Sn等于()A.eq\f(nn－1,2)B.eq\f(n－1,2)－log2(n－1)C.eq\f(n－1,2)D.eq\f(n－1,2)＋log2(n－1)二、填空题10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a3＋a11＝6，则S9＝________.11．设数列{an}满意a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前10项的和为________．12．[2024·全国卷Ⅰ]数列{an}满意an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________.[实力提升]13．数列1,1＋2,1＋2＋22,1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和为()A．2n－1B．n·2n－nC．2n＋1－nD．2n＋1－n－214．已知数列{an}满意2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,log2anlog2an＋1)))的前n项和为Sn，则S1·S2·S3·…·S10＝()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,11)D.eq\f(2,11)15．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.16．[2024·湖南郴州高三测试]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满意Sn＝2an－1(n∈N*)，则数列{nan}的前n项和Tn为________．专练31数列求和1．CSn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝eq\f(21－2n,1－2)＋eq\f(1＋2n－1n,2)＝2n＋1－2＋n22．A∵a2，a4，a8成等比，∴aeq\o\al(2,4)＝a2a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，得a1＝d＝2，∴Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝n(n＋1)．3．B∵eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(2,1＋nn)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴Sn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1)4．D∵eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，∴S2018＝eq\r(2)－1＋eq\r(3)－eq\r(2)＋…＋eq\r(2019)－eq\r(2018)＝eq\r(2019)－15．D当n＝2k－1时，a2k＋a2k－1＝2，∴{an}的前100项和S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝50×2＝100，故选D.6．A∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2024＝336×0＋a2024＋a2024＝a1＋a2＝3.故选A.7．B因为a1＋a2＋…＋an＝eq\f(n3＋2n＋1,2)＝n(n＋2)，所以bn＝eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，故Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))＝eq\f(3,4)－eq\f(2n＋3,2n＋1n＋2)，故选B.8．C由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为eq\f(1×1－210,1－2)＋10×1＋eq\f(10×9,2)×2＝1123.选C.9．C∵f(x)＋f(1－x)＝1＋log2eq\f(x,1－x)＋log2eq\f(1－x,x)＝1，又Sn＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))，∴Sn＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－2,n)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))，∴2Sn＝n－1，∴Sn＝eq\f(n－1,2).10．18解析：设等差数列{an}的公差为d.∵a1＋a3＋a11＝6，∴3a1＋12d＝6，即a1＋4d＝2，∴a5＝2，∴S9＝eq\f(a1＋a9×9,2)＝eq\f(2a5×9,2)＝18.11.eq\f(20,11)解析：∵an＋1－an＝n＋1，∴当n≥2时，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，∴an－a1＝eq\f(2＋nn－1,2)，∴an＝1＋eq\f(n＋2n－1,2)＝eq\f(n2＋n,2)(n≥2)又当n＝1时a1＝1符合上式，∴an＝eq\f(n2＋n,2)∴eq\f(1,an)＝eq\f(2,n2＋n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴S10＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,10)－\f(1,11)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,11)))＝eq\f(20,11).12．7解析：令n＝2k(k∈N*)，则有a2k＋2＋a2k＝6k－1(k∈N*)，∴a2＋a4＝5，a6＋a8＝17，a10＋a12＝29，a14＋a16＝41，∴前16项的全部偶数项和S偶＝5＋17＋29＋41＝92，∴前16项的全部奇数项和S奇＝540－92＝448，令n＝2k－1(k∈N*)，则有a2k＋1－a2k－1＝6k－4(k∈N*)，∴a2k＋1－a1＝(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k＋1－a2k－1)＝2＋8＋14＋…＋6k－4＝eq\f(k2＋6k－4,2)＝k(3k－1)(k∈N*)，∴a2k＋1＝k(3k－1)＋a1(k∈N*)，∴a3＝2＋a1，a5＝10＋a1，a7＝24＋a1，a9＝44＋a1，a11＝70＋a1，a13＝102＋a1，a15＝140＋a1，∴S奇＝a1＋a3＋…＋a15＝8a1＋2＋10＋24＋44＋70＋102＋140＝8a∴a1＝7.13．D由题意，得an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1，∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)－n＝eq\f(2－2n＋1,1－2)－n＝2n＋1－n－2.14．C∵2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈∴2a1＋22a2＋…＋2n－1an－1＝n∴2nan＝1(n≥2)，当n＝1时也满意，故an＝eq\f(1,2n)，故eq\f(1,log2anlog2an＋1)＝eq\f(1,log22－nlog22－n＋1)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，Sn＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，∴S1·S2·S3·…·S10＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(9,10)×eq\f(10,11)＝eq\f(1,11)，选C.15．－eq\f(1,n)解析：∵an＋1＝SnSn＋1＝Sn＋1－Sn，∴eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－1，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))为等差数列，∴eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,S1)＋(n－1)×(－1)＝－n.∴Sn＝－eq\f(1,n).16．(n－1)2n＋1解析：∵S