2024高考数学一轮复习专练37证明含解析文新人教版

PAGE专练37证明命题范围：证明方法：分析法、综合法、反证法[基础强化]一、选择题1．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是()A．ac2<bc2B．a2>ab>b2C.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)D.eq\f(b,a)>eq\f(a,b)2．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.证明过程如下：∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立．∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.此证法是()A．分析法B．综合法C．分析法与综合法并用D．反证法3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根4．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是()A．①—分析法，②—综合法B．①—综合法，②—分析法C．①—综合法，②—反证法D．①—分析法，②—反证法5．设a，b，c是不全相等的正数，给出下列推断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b，a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中正确推断的个数为()A．0B．1C．2D．36．在△ABC中，sinAsinC<cosAcosC，则△ABC肯定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定7．[2024·济南测试]用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数，用反证法证明时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数8．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因应是()A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<09．[2024·长春测试]设a，b，c都是正数，则a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)三个数()A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2二、填空题10．假如aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，则a，b应满意的条件是____________．11．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时应假设__________________．12．若P＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋8)＋eq\r(a＋5)(a≥0)，则P，Q的大小关系是______________．[实力提升]13．[2024·河北邯郸测试]设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负14．用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b不都能被5整除C．a，b至少有一个能被5整除D．a，b至多有一个能被5整除15．设a，b∈R，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．16．设a，b是互不相等的正数，给出下列不等式：①(a＋3)2>2a2＋6②a2＋eq\f(1,a2)≥a＋eq\f(1,a)；③|a－b|＋eq\f(1,a－b)≥2.其中恒成立的是________．专练37证明1．B∵a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab①，又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2②，由①②得，a2>ab>b2.2．B由已知条件入手证明结论成立，满意综合法的定义．3．A“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的否定是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.4．B依据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法，故选B.5．C∵a，b，c是不全相等的正数，∴a－b，b－c，c－a至少有一个不为0，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0，故①正确；②明显正确；a，b，c不全相等，可能全不相等，即a≠b，b≠c，c≠a同时成立，故③不正确．6．CsinAsinC<cosAcosC⇒cos(A＋C)>0⇒cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos(A＋C)<0⇒B为钝角⇒△ABC肯定是钝角三角形．7．B“至少有一个”的否定是“一个也没有”即“都不是”，故选B.8．C由a>b>c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a>0，c<0.要证eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a只要证(－a－c)2－ac<3a2，即证a2－ac＋a2－c2>0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，即证a(a－c)－b(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.故求证“eq\r(b2－ac)<eq\r(3a)”索的因应是(a－c)(a－b)>0，故选C.9．D假设a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)都小于2，则有a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)<6.又∵a>0，b>0，c>0，∴a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥2eq\r(a·\f(1,a))＋2eq\r(b·\f(1,b))＋2eq\r(c·\f(1,c))＝6，这与假设冲突．∴a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)三个数至少有一个不小于2.10．a≥0，b≥0且a≠b解析：aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，即：(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))>0，需满意a≥0，b≥0且a≠b.11．x≠－1且x≠1解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．12．P>Q解析：P2－Q2＝2eq\r(a2＋13a＋42)－2eq\r(a2＋13a＋40)>0，∴P2>Q2，∴P>Q.13．A由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)在R上单调递减，∵x1＋x2>0，∴x1>－x2，∴f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，∴f(x1)＋f(x2)<0.14．C“都不能”的否定为“至少有一个能”，故假设的内容应为“a，b至少有一个能被5整除”．15．③解析：取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，则a＋b＝eq\f(7,6)>1，而a<b<1，∴①推不出；取a＝b＝1，则a＋b＝2，∴②推不出；取a＝－3，b＝－2，则a2＋b2＝13>2，ab＝6>1，而a<0，b<0，∴④⑤推不出．对于③可用反证法证明：假设a，b都不大于1，即a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2冲突，故a，b中至少有一个大于1.16．②解析：对于①，(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－