2024高考数学一轮复习统考第11章概率第1讲随机事件的概率学案含解析北师大版

PAGE10-第十一章概率第1讲随机事务的概率基础学问整合1．概率(1)在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事务A发生的频率会在某个常数旁边摇摆，即随机事务A发生的频率具有eq\o(□,\s\up1(01))稳定性．我们把这个常数叫做随机事务A的eq\o(□,\s\up1(02))概率，记作eq\o(□,\s\up1(03))P(A)．(2)频率反映了一个随机事务出现的频繁程度，但频率是随机的，而eq\o(□,\s\up1(04))概率是一个确定的值，因此，人们用eq\o(□,\s\up1(05))概率来反映随机事务发生的可能性的大小，有时也用eq\o(□,\s\up1(06))频率作为随机事务概率的估计值．(3)概率的几个基本性质①概率的取值范围：eq\o(□,\s\up1(07))0≤P(A)≤1.②必定事务的概率：P(A)＝eq\o(□,\s\up1(08))1.③不行能事务的概率：P(A)＝eq\o(□,\s\up1(09))0.④概率的加法公式假如事务A与事务B互斥，则P(A∪B)＝eq\o(□,\s\up1(10))P(A)＋P(B)．⑤对立事务的概率若事务A与事务B互为对立事务，则A∪B为必定事务．P(A∪B)＝eq\o(□,\s\up1(11))1，P(A)＝eq\o(□,\s\up1(12))1－P(B)．2．事务的关系与运算名称定义符号表示包含关系若事务Aeq\o(□,\s\up1(13))发生，则事务Beq\o(□,\s\up1(14))肯定发生，这时称事务B包含事务A(或称事务A包含于事务B)eq\o(□,\s\up1(15))B⊇A(或eq\o(□,\s\up1(16))A⊆B)相等关系若B⊇A，且eq\o(□,\s\up1(17))A⊇B，则称事务A与事务B相等eq\o(□,\s\up1(18))A＝B并事务(和事务)若某事务发生eq\o(□,\s\up1(19))当且仅当事务A发生或事务B发生，则称此事务为事务A与事务B的并事务(或和事务)eq\o(□,\s\up1(20))A∪B(或eq\o(□,\s\up1(21))A＋B)交事务(积事务)若某事务发生当且仅当eq\o(□,\s\up1(22))事务A发生且事务B发生，则称此事务为事务A与事务B的交事务(或积事务)eq\o(□,\s\up1(23))A∩B(或eq\o(□,\s\up1(24))AB)互斥事务若A∩B为eq\o(□,\s\up1(25))不行能事务，则称事务A与事务B互斥A∩B＝∅对立事务若A∩B为eq\o(□,\s\up1(26))不行能事务，A∪B为eq\o(□,\s\up1(27))必定事务，则称事务A与事务B互为对立事务A∩B＝∅且A∪B＝Ω1．从集合的角度理解互斥事务和对立事务(1)几个事务彼此互斥，是指由各个事务所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事务A的对立事务eq\x\to(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事务A所含的结果组成的集合的补集．2．概率加法公式的推广当一个事务包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，则从中随意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.eq\f(1,7) B.eq\f(12,35)C.eq\f(17,35) D．1答案C解析设“从中随意取出2粒都是黑子”为事务A，“从中随意取出2粒都是白子”为事务B，“从中随意取出2粒恰好是同一色”为事务C，则C＝A∪B，且事务A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即从中随意取出2粒恰好是同一色的概率是eq\f(17,35).2．(2024·宁夏固原检测)抽查10件产品，设事务A为“至少有2件次品”，则事务A的对立事务为()A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品答案B解析∵“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又事务A“至少有2件次品”，∴事务A的对立事务为“至多有1件次品”．3．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参与演讲竞赛，事务“至少有一名女生”与事务“全是男生”()A．是互斥事务，不是对立事务B．是对立事务，不是互斥事务C．既是互斥事务，也是对立事务D．既不是互斥事务，也不是对立事务答案C解析“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种状况，这两种状况加上“全是男生”构成全部基本领件，且不能同时发生，故事务“至少有一名女生”与事务“全是男生”互为对立事务，且是互斥事务，故选C.4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产状况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是正品(甲级品)的概率为()A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08答案C解析记抽检的产品是甲级品为事务A，是乙级品为事务B，是丙级品为事务C，这三个事务彼此互斥，因此所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.05－0.03＝0.92.5．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数n554496071352017190男婴数m2883497069948892则这一地区男婴诞生的概率约是________(保留四位小数)．答案0.5173解析男婴诞生的频率依次约是：0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.由于这些频率特别接近0.5173，因此这一地区男婴诞生的概率约是0.5173.6．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机选择一人表演节目．若选到女同学的概率为eq\f(2,3)，则这班参与聚会的同学的人数为________．答案18解析设该班到会的女同学有x人，则该班到会的共有(2x－6)人，所以eq\f(x,2x－6)＝eq\f(2,3)，解得x＝12，故该班参与聚会的同学有18人．核心考向突破考向一事务的概念例1从6件正品与3件次品中任取3件，视察正品件数与次品件数，推断下列每对事务是不是互斥事务；假如是，再推断它们是不是对立事务．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．解从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种状况：①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品．(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事务但不是对立事务．(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种状况，它与“全是次品”既不是互斥事务也不是对立事务．(3)“至少有2件次品”包括”1件正品2件次品”“全是次品”2种状况；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”“全是正品”2种状况，它们既是互斥事务也是对立事务．1．精确把握互斥事务与对立事务(1)互斥事务是不行能同时发生的事务，但可同时不发生．(2)对立事务是特殊的互斥事务，特殊在对立的两个事务不行能都不发生，即有且仅有一个发生．2．判别互斥、对立事务的方法判别互斥、对立事务一般用定义推断，不行能同时发生的两个事务为互斥事务；两个事务，若有且仅有一个发生，则这两事务为对立事务，对立事务肯定是互斥事务．[即时训练]1.(2024·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事务是()A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”答案D解析A中的两个事务是包含关系，不是互斥事务；B中的两个事务是对立事务；C中的两个事务都包含“一个黑球一个红球”的事务，不是互斥关系；D中的两个事务是互斥而不对立的关系．考向二随机事务的概率与频率例2(2024·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的运用状况，从全校全部的1000名学生中随机抽取了100人，发觉样本中A，B两种支付方式都不运用的有5人，样本中仅运用A和仅运用B的学生的支付金额分布状况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅运用A27人3人仅运用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都运用的人数；(2)从样本仅运用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变更．现从样本仅运用B的学生中随机抽查1人，发觉他本月的支付金额大于2000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅运用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变更？说明理由．解(1)由题知，样本中仅运用A的学生有27＋3＝30(人)，仅运用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不运用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都运用的学生有100－30－25－5＝40(人)．所以估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都运用的人数为eq\f(40,100)×1000＝400.(2)记事务C为“从样本仅运用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则P(C)＝eq\f(1,25)＝0.04.所以从样本仅运用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月支付金额大于2000元的概率为0.04.(3)记事务E为“从样本仅运用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”．假设样本仅运用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变更，则由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以认为有变更．理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事务一般不简洁发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变更．所以可以认为有变更．答案示例2：无法确定有没有变更．理由如下：事务E是随机事务，P(E)比较小，一般不简洁发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变更．1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事务出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来描述随机事务发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事务概率的估计值．2．随机事务概率的求法利用概率的统计定义可求事务的概率，即通过大量的重复试验，事务发生的频率会渐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．[即时训练]2.(2024·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟变更投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变更．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变更，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率削减0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解(1)由题意，知样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000.第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，故所求概率为eq\f(50,2000)＝0.025.(2)设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事务B.没有获得好评的电影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部)．由古典概型的概率公式，得P(B)＝eq\f(1628,2000)＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，削减其次类电影的好评率．精准设计考向，多角度探究突破考向三互斥、对立事务的概率角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))互斥事务的概率例3(2024·唐山模拟)某保险公司利用简洁随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解(1)设A表示事务“赔付金额为3000元”，B表示事务“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事务“投保车辆中新司机获赔4000元”．由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq\f(24,100)＝0.24，由频率估计概率，得P(C)＝0.24.角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))对立事务的概率例4(2024·扬州摸底)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．解(1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．(2)记A为事务“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事务“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10).求困难的互斥事务的概率的一般方法(1)干脆法：将所求事务的概率分解为一些彼此互斥的事务的概率的和，运用互斥事务的概率求和公式计算．(2)间接法：先求此事务的对立事务的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，即运用逆向思维，特殊是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便．[即时训练]3.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事务分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事务为M，则M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,1000)＋eq\f(1,100)＋eq\f(1,20)＝eq\f(61,1000).故1张奖券的中奖概率为eq\f(61,1000).(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事务N，则事务N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事务，P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq\f(989,1000).(2024·河南洛阳联考)某售报亭每天以每份0.6元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，假如当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．(1)若售报亭一天购进280份报纸，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量x(单位：份)的函数关系式；(2)售报亭记录了100天报纸的日需求量，整理得下表：日需求量x/份240250260270280290300频数10201616151310①假设售报亭在这100天内每天都购进了280份报纸，求这100天的日平均利润；②若某天售报亭购进了280份报纸，以这100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天的利润不超过100元的概率．解(1)当x≥280且x∈N*时，y＝280×(1－0.6)＝112；当x<280且x∈N*时，y＝(1－0.6)x－0.5×(280－x)＝0.9x－140.综上，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(112，x≥280且x∈N*，,0.9x－140，x<280且x∈N*.))(2)①由(1)得这100天中，日利润为76元的有10天，日利润为85元