自我相关的意义与对OLS估计式的影响

1自我相关的意义与对OLS估计式的影响2学习目标自我相关的意义与对OLS估计式的影响检测自我相关

存在自我相关的修正

Generalizedleastsquares(GLS)估计自我相关系数的方法ThefirstdifferencemethodEstimatedfromDurbin-WatsondStatisticsEstimatedfromOLSresiduals3自我相关与影响(1/10)

Thetermautocorrelationmaybedefinedas“correlationbetweenmembersofseriesofobservationsorderedintime(time-seriesdata)orspace(asincross-sectionaldata.”古典线性回归模型假设误差项无自我相关，也就是“thedisturbancetermrelatingtoanyobservationisnotinfluencedbythedisturbancetermrelatingtoanyotherobservation”簡單來說，就是影響某個觀察值的隨機因素與影響另個觀察值的隨機因素是否有關，倘若無關，则为无自我相关。比如说某季的产出因为罢工而减少，此干扰并未影响下一季的产出，或是某个家计单位的消费因为意外所得而增加，此干扰因素并未影响其他家计单位的消费。4自我相关与影响(2/10)存在自我相关(autocorrelation)

比如前例中某季的罢工会影响到下一季的產出(时间序列)或是某個家計單位的消費增加會影響到其他家計單位的消费(横断面)产生自我相关的原因Inertia(sluggishness):时间序列资料(GDP,employment,priceindexes等等)多数都存在着缓慢调整的现象。比如当景气从谷底复甦时，许多总体数据会慢慢向上攀升，因此successiveobservationsarelikelytobeinterdependentinvolvingtimeseriesdata.5自我相关与影响(3/10)SpecificationBias:Excludingvariables

当回归模型设定错误，遗漏了重要解释变量时，往往会造成残差项显现出相关性，比如说正确的模型为

其中应变数为每季的牛肉需求量，X2为牛肉价格X3

为消费者所得，

X4

为猪肉价格。若错误设定为则，theerrortermvwillreflectasystematicpatternthuscreating(false)autocorrelation.

6自我相关与影响(4/10)SpecificationBias:IncorrectFunctionalForm

当回归模型的函数形式设定错误时，往往会造成残差项显现出相关性，比如说正确的模型为

却错误地设定为则，hencevwillcatchthesystematiceffectofoutput2termonmarginalcost.Inthiscasevwillreflectautocorrelationbecauseoftheuseofanincorrectfunctionalform.7自我相关与影响(5/10)TheCobwebphenomenon:蛛网现象

许多农产品的生产都有所谓的蛛网现象假设t期的干扰因素造成供给增加，使得，则农夫可能决定减少t+1期的生产量:Iffarmersoverproduceinyeart,theyarelikelytoreducetheirproductionint+1.

Lag:应变数可能受到自身落后期的影响8自我相关与影响(6/10)Theaboveregressionisknownasautoregressionbecauseoneoftheexplanatoryvariablesisthelaggedvalueofthedependentvariable.Ifweignorethelaggedterm,theresultingerrortermwillreflectasystematicpatternduetotheinfluenceoflaggedconsumptiononcurrentconsumption.DataTransformationOriginalmodel

Transformedmodel

若原本模型的误差项为无自我相关，可证明转换之模型的误差项有自我相关。

9自我相关与影响(7/10)自我相关对OLS估计式统计性质的影响

在CLRM假设下，OLS估计式具有BLUE的良好性质，倘若其他假设仍成立，但无自我相关的假设不满足，则OLS估计式的性质为:仍为线性不偏。不再具有最小变异数(不满足效率性)。OLS估计式变异数的估计偏误，对于真实母体变异数之估计式

亦为偏误。经由信赖区间与假设检定所得推论也不可靠。

10自我相关与影响(8/10)

存在自我相关对OLS估计式之变异数的影响以简单回归模型与AR(1)为例，假设对误差项的设定为(Markov)first-orderautoregressivescheme,usuallydenotedasAR(1).:

thefirst-ordercoefficientofautocorrelation,orthecoefficientofautocorrelationatlag1.

假设

则11自我相关与影响(9/10)

Asaresult,undertheAR(1)schemethevarianceofuiisstillhomoscedastic,butuiiscorrelatednotonlywithitsimmediatepastvaluebutitsvaluesseveralperiodsinthepast.

meansthevarianceofunderAR(1)scheme.

12自我相关与影响(10/10)

若，前两式相等。否则有自我相关时，OLS估计式变异数有偏误。

13检测自我相关(1/10)检测自我相关的概念和检测异质变异雷同，皆是透过OLS回归所得到的残差来进行。GraphicalMethod

Therearevariouswaysofexaminingtheresiduals.

Plotresidualsagainsttime(figure12.8)

Plotstandardizedresidualsagainsttime(figure12.8)standardizedresidualsaretheresidualsdividedbythestandarderroroftheregression

OrPlotagainst

,akindofempiricaltestoftheAR(1)scheme.14检测自我相关(2/10)RunsTest

Arethe5runsobservedinourillustrativeexampleconsistingof46observationstoomanyortoofewcomparedwiththenumberofrunsexpectedinastrictlyrandomsequenceof46observations?

Runs:definedanrunasanuninterruptedsequenceofonesymbol

Underthenullhypothesisthattheresidualsareindependent,thenumberofrunsRis(asymptotically)normallydistributedwith()15检测自我相关(3/10)因此，虚无假设成立之下，R的95%信赖区间为若the

number

of

runs

R落于信赖区间，则在5%显著水平下，不拒绝残差为随机的虚无假设。

Rejectthehypothesisthattheresidualsarerandomwith95%confidence.Inotherwords,theresidualsexhibitautocorrelation.

16检测自我相关(4/10)Durbin-Watsondtest

此检定法由DurbinandWatson提出，检定量d的公式如下:

d:theratioofthesumofsquareddifferencesinsuccessiveresidualstotheRSS

虽然Durbin-Watsondstatistic是常用的自我相关检定量，但必须注意使用该检定量背后的假设。

17这些假设包括回归模型必须包含截距项、随机项自我相关的形式必须为AR(1)、随机项为常态分配、回归模型中的解释变量不包括被解释变量的落后期等。

如何根据d值判断是否存在自我相关?

令则

:samplefirst-ordercoefficientofautocorrelation检测自我相关(5/10)18由于相关系数值在于-1与1之间，可知。

若，:ifthereisnoserialcorrelation,disexpectedtobeabout2;若

，:perfectpositivecorrelationintheresiduals;若

，:perfectnegativecorrelationintheresiduals.因此若d值愈接近零，显示可能有positiveautocorrelation，愈接近2可能是noautocorrelation愈接近于4愈可能有negativeautocorrelation。Criticalvalues:DurbinandWatson提出criticalvalues表(lowerlimit与upperlimit

)检测自我相关(6/10)19

本例d=0.2175，查表，(at5%significantlevel)，因此wecannotrejectthehypothesisthatthereispositiveserialcorrelationintheresiduals.

检测自我相关(7/10)TheDurbin-Watsondstatistic.2021检测自我相关(8/10)

Breusch-GodfreyTest此检定法属于LM(Lagrangemultiplier)test，比Durbin-Watson更为一般化，可使用于更高阶的自我相关模式，以及解释变量含应变数落后期等。考虑一个简单回归模型假设

虚无假设为22检测自我相关(9/10)

step1:跑原始回归得到残差

step2:将残差对解释变量与残差落后期跑辅助回归，得到判定系数step3:样本数大时，若检定值大于卡方临界值，则拒绝虚无假设，即有自我相关的现象。23检测自我相关(10/10)

AdrawbackofBGtestisthatthevalueofp,thelengthofthelag,cannotbespecifiedapriori.Sometimeswecanusetheso-calledAICandSICtoselectthelaglength.

以前例来说，假设

aAR(6)scheme

远超过

的临界值，theconclusionisthatatleastoneofthesixautocorrelationsmustbenonzero.24存在自我相关的修正(1/3)检测出有自我相关之后，修正方法大致可分