2024年沪教版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪教版高一数学上册阶段测试试卷842考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、【题文】光线从点发出，经过轴反射，再经过轴反射，最后光线经过点则经轴反射的光线的方程为（）A.B.C.D.2、一半径为r的圆内切于半径为3r、圆心角为α（0＜α＜）的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为（）A.3：4B.2：3C.1：2D.1：33、求点P（-5，7）到直线12x+5y-3=0的距离（）A.1B.0C.D.4、已知向量a鈫�=(1,3)b鈫�=(3+1,3鈭�1)

则a鈫�

与b鈫�

的夹角为(

)

A.娄脨4

B.娄脨3

C.娄脨2

D.3娄脨4

5、化简sin(x+y)sinx+cos(x+y)cosx

等于(

)

A.cos(2x+y)

B.cosy

C.sin(2x+y)

D.siny

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、等比数列{an}中，已知a2＝1，a5＝8，则公比7、的定义域为____．8、函数y=1+log2x的反函数为____．9、已知函数下面四个命题：①函数的最小正周期为②③函数的图象关于直线对称；④函数是奇函数.其中正确命题的序号为.写出所有正确的命题的题号：。10、【题文】函数为奇函数，则增区间为_______11、【题文】[2014·汕头质检]一个正方体纸盒展开后如图所示；在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB⊥EF；

②AB与CM所成的角为60°；

③EF与MN是异面直线；

④MN∥CD.

以上四个命题中，正确命题的序号是________．12、根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为____．

13、已知角α的终边经过点（-3，4），则sinα+cosα=______．14、经过点(3,0)

且与直线x+y鈭�5=0

垂直的直线方程为______．评卷人得分三、计算题(共8题，共16分)15、计算：．16、+2．17、如图，DE∥BC，，F为BC上任一点，AF交DE于M，则S△BMF：S△AFD=____．18、计算：．19、一组数据：13，15，18，16，21，13，13，11，10．它们的众数是____，中位数是____．20、如果，已知：D为△ABC边AB上一点，且AC=，AD=2，DB=1，∠ADC=60°，求∠BCD的度数．21、+2．22、已知关于x的方程：

（1）求证：无论m取什么实数值；这个方程总有两个相异实根；

（2）若这个方程的两个实根x1、x2满足x2-x1=2，求m的值及相应的x1、x2．评卷人得分四、证明题(共1题，共4分)23、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分五、解答题(共3题，共24分)24、通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式为：M=lgA-lgA，其中，A是被测地震的最大振幅，A是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．

（1）假设在一次地震中；一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是30，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；

（2）5级地震给人的震感已比较明显；计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？（以下数据供参考：lg2≈0.3010，lg3≈0.4770）

25、先后随机投掷2枚正方体骰子，其中表示第枚骰子出现的点数，表示第枚骰子出现的点数。设点P的坐标为（Ⅰ）求点在直线上的概率（Ⅱ）求点满足的概率26、【题文】求证：评卷人得分六、综合题(共4题，共12分)27、已知关于x的方程（m-2）x2+2x+1=0①

（1）若方程①有实数根；求实数m的取值范围？

（2）若A（1，0）、B（2，0），方程①所对应的函数y=（m-2）x2+2x+1的图象与线段AB只有一个交点，求实数m的取值范围？28、已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧）；且A点坐标为（-4，4）．平行于x轴的直线l过（0，-1）点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系；并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？29、先阅读下面的材料再完成下列各题

我们知道，若二次函数y=ax2+bx+c对任意的实数x都有y≥0，则必有a＞0，△=b2-4ac≤0；例如y=x2+2x+1=（x+1）2≥0，则△=b2-4ac=0，y=x2+2x+2=（x+1）2+1＞0，则△=b2-4ac＜0．

（1）求证：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2

（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值；

（3）若2x2+y2+z2=2；求x+y+z的最大值；

（4）指出（2）中x2+y2+z2取最小值时，x，y，z的值（直接写出答案）．30、如图，抛物线y=x2-2x-3与坐标轴交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，D为顶点．

（1）D点坐标为（____，____）．

（2）BC=____，BD=____，CD=____；并判断△BCD的形状．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请写出符合条件的所有点P的坐标，并对其中一种情形说明理由；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】【解析】

试题分析：由题意可知，点关于轴的对称点与点关于轴的对称点的连线即为经轴入射光线的所在直线，易得根据对称性，可知反射光线的方程为即

考点：直线方程.【解析】【答案】A.2、B【分析】解：设⊙O与扇形相切于点A；B；

则AO=r，CO=2r

∴CO=2AO=2；

∴∠ACO=30°；

∴扇形的圆心角为60°=

∴扇形的面积为•3r•3r=πr2；

∵圆的面积为πr2；

∴圆的面积与该扇形的面积之比为2：3．

故选：B．

首先求出扇形圆心角；进而利用扇形面积公式求出扇形面积，即可得出圆的面积与该扇形的面积之比．

此题主要考查了相切两圆的性质以及扇形弧长、面积公式等知识，根据已知得出扇形圆心角是解题关键．【解析】【答案】B3、D【分析】解：点P（-5，7）到直线12x+5y-3=0的距离d==

故选：D．

利用点到直线的距离公式即可得出．

本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．【解析】【答案】D4、A【分析】解：隆脽

向量a鈫�=(1,3)b鈫�=(3+1,3鈭�1)

隆脿|a|鈫�=1+3=2|b|鈫�=(3+1)2+(3鈭�1)2=22

隆脽a鈫�?b鈫�=1隆脕(3+1)+3(3鈭�1)=4

隆脿

若a鈫�b鈫�

的夹角为娄脠

则cos娄脠=a鈫�鈰�b鈫�|a|鈫�鈰�|b|鈫�=42脳22=22

隆脽娄脠隆脢[0,娄脨]隆脿娄脠=娄脨4

故选：A

设a鈫�b鈫�

的夹角为娄脠

根据向量模的公式，分别算出|a|鈫�=2

且|b|鈫�=22

再算出a鈫�?b鈫�=4

并利用夹角公式得到cos娄脠=a鈫�鈰�b鈫�|a|鈫�鈰�|b|鈫�=22

结合向量夹角的范围即可得到a鈫�

与b鈫�

的夹角大小．

本题给出向量a鈫�b鈫�

的坐标，求它们的夹角，着重考查了向量模的公式、数量积公式和夹角公式等知识，属于基础题．【解析】A

5、B【分析】解：sin(x+y)sinx+cos(x+y)cosx=cos(x+y鈭�x)=cosy

故选：B

根据两角差的余弦公式化简即可．

本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题．【解析】B

二、填空题(共9题，共18分)6、略

【分析】试题分析：考点：等比数列的性质.【解析】【答案】27、略

【分析】

∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围；

∴x+4≥0；x+2≠0即x≥-4，x≠-2

故答案为：{x|x≥-4；x≠-2}

【解析】【答案】根据题目中使函数有意义的x的值；即使分母不等于0，偶次根式里恒大于等于0，建立关系式，解之即可．

8、略

【分析】

由y=log2x+1；

⇒x=2y-1即：y=2x-1

函数y=log2x+1的值域为{y|y∈R}；

∴函数y=log2x+1的反函数为y=2x-1．

故答案为：y=2x-1（x∈R）．

【解析】【答案】先将x用y表示；然后x与y互换，可求出反函数，然后根据原函数的值域确定反函数的定义域即可．

9、略

【分析】【解析】

因为故①函数的最小正周期为成立②成立③函数的图象关于直线对称；成立④函数是奇函数，应该是偶函数，错误。【解析】【答案】①②③10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】作成纸盒如图；可知，①③正确．

【解析】【答案】①③12、56【分析】【解答】解：模拟执行程序；可得。

S=0；I=0；

满足条件I＜6；执行循环，I=2，S=4

满足条件I＜6；执行循环，I=4，S=20

满足条件I＜6；执行循环，I=6，S=56

不满足条件I＜6；退出循环，输出S的值为56．

故答案为：56．

【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，一直求出不满足循环条件时S的值．13、略

【分析】解：∵角α的终边经过点（-3；4）；

∴x=-3，y=4，r==5

∴sinα=cosα=-

∴sinα+cosα=-=

故答案为：

利用三角函数的定义；求出sinα；cosα，即可得到结论．

本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．【解析】14、略

【分析】解：直线x+y鈭�5=0

的斜率为鈭�1

隆脿

与直线x+y鈭�5=0

垂直的直线斜率为k=1

隆脿

经过点(3,0)

且与直线x+y鈭�5=0

垂直的直线方程为y=x鈭�3

隆脿

直线方程为x鈭�y鈭�3=0

．

故答案为：x鈭�y鈭�3=0

．

直线x+y鈭�5=0

的斜率为鈭�1

与直线x+y鈭�5=0

垂直的直线斜率为k=1

由此能出经过点(3,0)

且与直线x+y鈭�5=0

垂直的直线方程．

本题考查直线方程的求法，考查直线方程、两直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【解析】x鈭�y鈭�3=0

三、计算题(共8题，共16分)15、略

【分析】【分析】利用负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【解析】【解答】解：原式=-2+2×-3++1=-3．16、略

【分析】【分析】分别根据负整数指数幂、二次根式的化简、0指数幂及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解析】【解答】解：原式=-（+1）+2×-+1

=--1+-+1

=-．17、略

【分析】【分析】作DG⊥BC，AH⊥BC，则由题中条件可小求出△BDF与△ABF的比值，进而可得出结论．【解析】【解答】解：分别过点D；A作BC的垂线；交BC于点G、H；

∵DE∥BC；

则S△BDF=S△BFM=•BF•DG；

S△ABF=•BF•AH；

又，即=；

∴====；

∴=．

故答案为：2：3．18、略

【分析】【分析】求出=2，sin45°=，（3-π）0=1，=4，代入求出即可．【解析】【解答】解：原式=2-4×+1+4；

=2-2+1+4；

=5．19、略

【分析】【分析】本题考查了众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解析】【解答】解：13出现的次数最多；故众数是13；

按照从小到大的顺序排列为10；11，13，13，13，15，16，18，21；

∴中位数是13；

故答案为13、13．20、略

【分析】【分析】过C作CE⊥AB于E，要想求∠BCD的度数，只需求出∠BCE的度数即可．设DE=x，在Rt△DCE中，∠ADC=60°，可求出CE的长；在Rt△AEC中，可根据勾股定理列出等式，从而求出x的值，继而得出BE=CE，求出∠BCE的值．【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E；

设DE=x；则AE=2-x；

在Rt△DCE中；∠ADC=60°；

∴CE=x；

在Rt△AEC中；

根据勾股定理得：AE2+CE2=AC2；

∴（2-x）2+（x）2=（）2；

解得：；

∴BE=CE=；

又∠BEC=90°；

∴∠BCE=45°；又∠DCE=90°-∠ADC=90°-60°=30°；

∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=15°．21、略

【分析】【分析】分别根据负整数指数幂、二次根式的化简、0指数幂及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解析】【解答】解：原式=-（+1）+2×-+1

=--1+-+1

=-．22、略

【分析】【分析】（1）由于题目证明无论m取什么实数值；这个方程总有两个相异实根，所以只要证明方程的判别式是非负数即可；

（2）首先利用根与系数的关系可以得到x1+x2，x1•x2，然后把x2-x1=2的两边平方，接着利用完全平方公式变形就可以利用根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可解决问题．【解析】【解答】（1）证明：∵=2m2-4m+4=2（m-1）2+2；

∵无论m为什么实数时，总有2（m-1）2≥0；

∴2（m-1）2+2＞0；

∴△＞0；

∴无论m取什么实数值；这个方程总有两个相异实根；

（2）解：∵x2-x1=2；

∴（x2-x1）2=4，而x1+x2=m-2，x1•x2=-；

∴（m-2）2+m2=4；

∴m=0或m=2；

当m=0时，解得x1=-2，x2=0；

当m=2时，解得x1=-1，x2=1．四、证明题(共1题，共4分)23、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．五、解答题(共3题，共24分)24、略

【分析】

（1）=lg30000=lg3+lg104≈4.5

因此；这次地震的震级为里氏4.5级．

（2）由M=lgA-lgA可得即．

当M=8时，地震的最大振幅为

当M=5时，地震的最大振幅为

所以，两次地震的最大振幅之比是：

答：8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍．

【解析】【答案】（1）把最大振幅和标准振幅直接代入公式M=lgA-lgA求解；

（2）利用对数式和指数式的互化由M=lgA-lgA得把M=8和M=5分别代入公式作比后即可得到答案．

25、略

【分析】【解析】【答案】1/426、略

【分析】【解析】证：过作

∴

过作

∴

∴

【解析】【答案】证明见解析六、综合题(共4题，共12分)27、略

【分析】【分析】（1）根据若方程为一元一次方程；求出m的值即可，再根据若方程为一元二次方程，利用根的判别式求出即可；

（2）分别从当m-2=0，以及当m-2≠0时分析，得出若方程有两个不等的实根，以及若方程有两个相等的实根，利用根的判别式以及方程的根得出答案．【解析】【解答】解：（1）若方程为一元一次方程；则m-2=0，即m=2；

若方程为一元二次方程；则m-2≠0；

∵关于x的方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根；

又∵a=m-2，b=2；c=1；

∴b2-4ac=22-4（m-2）≥0；

解得：m≤3；

∵m-2≠0；

∴m≠2；

∴m≤3且m≠2；

综上所述；m≤3；

（2）设方程①所对应的函数记为y=f（x）=（m-2）x2+2x+1；

①当m-2=0，即m=2时，y=f（x）=（m-2）x2+2x+1；

即为y=2x+1；

y=0，x=-；即此时函数y=2x+1的图象与线段AB没有交点；

②当m-2≠0；即m≠2，函数为二次函数，依题意有；

a．若方程有两个不等的实根；

此时二次函数与x轴两个交点，根据函数y=（m-2）x2+2x+1的图象与线段AB只有一个交点；

得出x=1和2时对应y的值异号；

则f（1）•f（2）＜0；

∴（m+1）（4m-3）＜0即-1＜m＜；

当f（1）=0时；m=-1；

方程为3x2-2x-1=0，其根为x1=1，x2=-；

当f（2）=0时，m=；

方程为3x2-8x+4=0，其根为x1=x2=；

∴-1≤m＜；

b．若方程有两个相等的实根；

则△=4-4（m-2）=0，m=3，方程为x2+2x+1=0，其根为x1=x2=-1；

此时二次函数与线段AB无交点；

综上所述，方程①所对应的函数的图象与线段AB只有一个交点的实数m的取值范围是：-1≤m＜．28、略

【分析】【分析】（1）设二次函数的解析式是y=ax2；把A（-4，4）代入求出a代入一次函数求出k，即可得到答案；

（2）求出B；O的坐标；求出OA和O到直线y=-1的距离即可得出答案；

（3）作MN的垂直平分线，△FMN外接圆的圆心O在直线上，求出MN、DN，根据勾股定理求出O'F=O'N的圆心坐标的纵坐标Y，求出y取何值时r最小，即可求出答案．【解析】【解答】解：（1）设二次函数的解析式是y=ax2（a≠0）；

把A（-4；4）代入得：4=16a；

a=；

∴y=x2；

把A（-4；4）代入y=kx+1得：4=-4k+1；

∴k=-；

∴y=-x+1；

答：一次函数与二次函数的解析式分别为y=-x+1，y=x2．

（2）答：以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系是相切．

证明：得：，；

∴B（1，）；

AB的中点O的坐标是（-，）；

OA==；

O到直线y=-1的距离是+1==0B；

∴以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系是相切．

（3）解：作MN的垂直平分线；△FMN外接圆的圆心O在直线上；

由于平移后的抛物线对称轴为x=2；对称轴交x轴于D；

F（0，1）平移后二次函数的解析式是y=（x-2）2-t，即y=x2-x+1-t；

当y=0时，x2-x+1-t=0；

设M（e；0），N（f，0），N在M的右边；

则e+f=-=4，e•f==4-4t；

∴MN=f-e==4；

MD=2；

设圆心坐标（2；y），根据OF=ON；

∴=；

y=-2t；

r==；

当t=时；半径有最小值2，圆面积最小为4π；

答：当t为时，过F，M，N三点的圆的面积最小，最小面积是4π．29、略

【分析】【分析】（1）首先构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2=（a12+a22++an2）x2+2（a1b1+a2b2++anbn）x+（b12+b22++bn2），由（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2≥0，即可得f（x）≥0，可得△=4（a1b1+a2b2++anbn）2-4（a12+a22++an2）（b12+b22++bn2）≤0，整理即可证得：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2；

（2）利用（1）可得：（1+4+9）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2；又由x+2y+3z=6，整理求解即可求得答案；

（3）利用（1）可得：（2x2+y2+z2）（+1+1）≥（x+y+z）2，又由2x2+y2+z2=2；整理求解即可求得答案；

（4）因为当且仅当==时等号成立，即可得当且仅当x==时，x2+y2+z2取最小值，又由x+2y+3z=6，即可求得答案．【解析】【解答】解：（1）构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2=（a12+a22++an2）x2+2（a1b1+a2b2++anbn）x+（b12+b22++bn2）≥0；

∴△=4（a1b1+a2b2++anbn）2-4（a12+a22++an2）