2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版第五章平面向量及其应用、复数教案

葛一平面向量的数量积及其应用

［考试要求］

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直

关系.

5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

［走进教材•夯实基础］回顾知识•激活技能

C梳理•必备知识

1.向量的夹角

已知两个非零向量。和瓦。是平面上的任意一点，作温仍=4则

就是向量。与b的夹角，向量夹角的范围是［0,与.

当夕=,时，。与力相互垂直，记作aD；

当＜9=0时,。与方共线且同向；

当一=兀时,。与b共线口反向.

2.平面向量的数量积

定义：已知两个非零向量用。，它们的夹角为仇则数量回吐空2叫做向

量。与方的数量积（或内积），记作a协，即。山=|a||b|cos仇规定：0“=Q.

3.投影向量

C4,B,D

设a,方是非零向量，它们的夹角是ae是与。方向相同的单位向量，Ab=

a,Cb=b,过菸的起点A和终点B,分别作C力所在直线的垂线，垂足分别为

4,Bi,得到4市|,我们称上述变换为向量。向向量b投影，A7&］叫做向量a在

向量b上的投影向量,记为lalcosJe.

提醒：设明方是非零向量，它们的夹角为0,则a在力上的投影向量为|〃|cos

b(a-b)b

喃一所•

4.向量数量积的运算律

(\)a-b=b-a.

(2)(Ad),b=X(a*b)=a-(Xb).

(3)(a+b)・c=a・c+〃・c.

5.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a=(xi,yi),b=(X2,yi),。为向量G,力的夹角.

(1)数量积：a-b=\a\\b\cos0=x\X2-\-y\y2.

(2)模：|a|=\fa-a=\]xiIn.

⑶夹角：3。=丽=这百色大，

(4)两非零向量a_Z.》的充要条件：。协=00的X2+yiy2=0.

(5)|a・b|W|a||b|(当且仅当a〃b时等号成立)台仅112十51)，2咫＜¥?+)不«^+货.

6.向量在平面几何中的应用

(1)要证A3=CZ),可转化为证明后2=3)2或冲|=|6|.

(2)要证两线段AB,CO平行，只要证存在唯一实数2W0,使等式牯=2C力成

立即可.

(3)要证两线段A8,C'O垂直，只需证油•6=0.

(4)求夹角问题，利用夹角公式cos。=箭.

[常用结论]

1.平面向量数量积运算的常用公式

(l)(a+b)・5-b)=02一庐；

⑵(a功)2=/±20协+方2；

(3)。山=，(a+5)2—(。一团2](该式又称作极化恒等式).

2.有关向量夹角的两个结论

2

两个向量。，〃的夹角为锐角0a且％b不共线;

两个向量a,b的夹角为纯角<=>a・bV()且%b不共线.

◎激活•基本技能

一、易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)两个向量的夹角的范围是0,5.()

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量.

()

(3)由。协=0可得a=0或b=0.()

(4)(。山)c=aS・c).()

［答案1(1)X(2)V(3)X(4)X

二、教材习题衍生

1.已知|a|=2,|加=6,〃山=一成，则。与》的夹角。等于()

•兀兀兀

A6cBT5C3nD-T2

nr八ab_6^5y［3

B［859=丽=2乂6=-2，

又因为0W0，，所以。=票］

2.若Q心=一6,|a|=8,与〃方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a

上的投影向量为.

一壬［向量〃在向量”上的投影向量为罂e=一轴

3.设均和&是互相垂直的单位向量,且0=3ei+2e2,b=-3ei+4e2,则。山

等于.

—1［因为同=|蝴=1,ere2=0t

222

所以。山=(3ei+2e2)•(—3ei+4e2)=-9|ei|+8|e2|+6ei^2=-9XP+8XI

+6X0=-L］

4.已知向量a,6满足〃山=0,|。|=1,|臼=1，贝lj|a—3例=.

V10］因为。协=0,|a|=l,\b\=lf

所以|a—3b|=.(a—36)2—60山+处?

3

=^/12+9X12=V1O.］

［细研考点-突破题型］重难解怒或击高考

□考点一平面向量数量积的运算，师生共研

［典例1］已知正方形48co的边长为1,点E是48边上的动点，则波.刀

的值为,阮•比的最大值为_______.重典

［四字解题］

读想算思

投影法数量积的几何意义数形结合

正方形A8CD且E是数量

基向量法数量积的运算三角形法则

AB边上的动点；求积的

几何问题代

Dk-Cb,瓦:戏1的最求解建系，求相关点的坐

坐标法数化，函数思

大值方法标，建立函数

想

11［法一（投影法）：设向量仍，DA的夹角为仇则励.仍=的.况=|历

MDA|COS由图可知，|gcos。=|浪|,所以原式等于|次F=l,要使国•力t最

大，只要使向量力t在向量成上的投影达到最大即可，因为的在向量碇上的投

影达到最大为|Z5t|=1，所以（D&Dt）max=|反］2=1.

法二（基向量法）：因为Dt=DA+碇且所以硝DA

=|次|2=1,/仇=（况+硝所以要使鹿戊最

大，只要|油最大即可，明显随着E点在A8边上移动，曲nm=l,故（励•力t）max

=1.

4

法三(坐标法)：以。为坐标原点，成与况所在直线分别为X,y轴，建立平

面直角坐标系，如图所示，可知£(x,l),OWxSl,所以/5fc=(x,l),CB=(O,1),

可得防@=XXO+1X1=1.因为觉=(1,0),所以无仇=乂因为OWxWl,所

以（砥力t）max=L］

⑨反思领悟平面向量数量积的三种运算方法

:已知向量的模与夹角时，可直接使用j

定义法一：数量积的定义求解，即。-b=\a\\b\

：l•cose(9是a与b的夹角)

j计算由基底袅示的向量的数量积时，：

基向量法一:应用相应运算律，最终转化为基向量：

:的数量积，进而求解:

:若向量选择坐标形式则向量的数曷；

坐标法

:积可应用坐标的运算形式进行求解：

［跟进训练］

1.(1)(2021.安徽合肥一模)在△ABC中，AB=2tAC=3,防=2次：，Ak=

或，则加)a=()

716_16

A.B,D

66°，TT

n3

(2)在RtAABC中，ZC=2,AB=4,AC=2f若劝=7瓦则&).球等于

(

A.-18B.-6小C.18D.6^3

(3)(2021•福州模拟)设向量ei=(l，0),e2=(0，1).若@=-2ei+7e2,b=

4ei+3e2,则。•力=,向量a在向量b上的投影向量为.

(1)C(2)C(3)13管,第［⑴在△ABC中，因为眇=2Dt,所以劝=

助+协=助+大配=大/+,助，又碇=或，所以昆=6+5助=5初一配，

所以劝.建=停42+$方).(多方一病)=—各变2+\稔2=—6+,=一号，故选C.

⑵法一（基向量法）：由NC=］,A8=4,AC=2,得CB=24,

5

333

C&cS=（cA+AZ））Cfe=cAcfe+5A^C/=T（cfe-cA）Cfe=TCfe2=18,故选c.

法二（坐标法）：如图，以C为坐标原点，CA,CB所在的直线分别为X轴，y

轴，建立平面直角坐标系，则C（0,0）,4（2,0）,伏0,2小）.由题意得NC84=*

又劝=|劝，所以0（—1,3小），则劭.幼=（-1,35>（0,2小）=18,故选C.

法三（投影法）：因为/。=多A8=4,AC=2f所以CB=2小,所以劝在国

上的投影为2小，乂劝=轲，所以初在C6上的投影为|x2小=34，则6在

球上的投影为3小，所以劭,摩=|曲劭|・cos（Ct）,Cfe>=2小X34=18,

故选C.

（3）因为向量ei=（l，0）,e2=（0，1）,

所以Q=-2ei+7e2=—2（1,0）+7（0,1）=（-2,7）,

b=4ei+3e2=4（L0）+3（0,1）=（4,3）,

所以〃•方=-2X4+7X3=13,

由a=（—2,7）,5=（4,3）可得：|。|=\4+49=小^,步|=#16+9=5,

所以3㈤…湍i=泼？

向量a在向量b上的投影向量为：

.、bu,13、，〃13,13〃I，、52.39

|a|cos〈a,力而=西乂^?义5=万万=石（仇+地）=芯0+石62=

偌，劭

考点二平面向量数量积的应用修维探究

，考向1平面向量的模

[典例2—1]（2021•全国甲卷）若向量a,力满足闷=3,一一加=5,ab=\,

则他尸.

6

22

3班[由|〃一"=5得(。一S2=25,即a-2a-b+b=25f结合⑷=3,。力=1,

得32—2X1+1川2=25,所以协|=3班.]

考向2平面向量的夹角

[典例2-2]⑴(2019・全国I卷)已知非零向量a,b满足间=2步|,且3—

力)_LA,则。与力的夹角为()员邳

A76i一B3兀C-T2兀D一T5兀

(2)若向量a=(%3),b=(l,4),c=(2,l),已知2a—3。与c的夹角为钝角，则

&的取值范围是.

[(1)法一:因为(。一。)_1_力，所以(。一。)功

=。山一族F=0,又因为|a|=2|b|,所以2|"2cos〈。，b)-|ZF|2=0,即COS〈G,b>

=z,又知〈%b)e[0,7：],所以〈%b〉=?,故选B.

4J

法二：如图，令。A=a,Oh=b,则成=况一。方=a一力，因为(a—》)>!_〃，

所以/。84=90。,

7T7T

又⑷=2|帆所以乙4。8=1即〈o,b>=].故选B.

(2)因为2a-3b与c的夹角为钝角，

所以(2〃-38)・eVO,即(2上一3,-6)-(2,1)<0,

3

所以软一6—6<0,所以ZV3.若2。-3力与c反向共线，则一^―=一6,解

9

得-

--2此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是(一8,一2

/9、

U!--3

\牙/

，考向3平面向量的垂直

[典例2-3](1)(2020・全国II卷)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下

列向量中，与b垂直的是()三屈

A.a~\-2bB.2a+bC.a—2bD.2a-b

7

(2)已知向量初与At的夹角为120°,且|筋|=3,冈石=2.若#=/1初+/,

且祝，则实数4的值为.

(1)D⑵卷[⑴法一：由题意，得°协=|川・麻0$60。=3.对于人，(a+2b)协

=。协+2力2=舁2=卷#0,故A不符合题意；对于B,(2°+力)协=2。•力+〃=/+

—3

--

22

2

不符合题意；对于D,(2a-b)-b=2ab-b=l-l=0y所以(20—。)工尻故选D.

法二：不妨设啾b=(l,0),则a+2T|,哪2a+b=(2,®

Q—2力=(一尚，2],2a—b=(0f小),易知，只有(2a—。)协=0,即(2a—&)_£0,

故选D.

(2)因为#_L於，所以分比=0.

又初=工+祀，觉=加一劝,

所以。山+祀)4At—油)=0,

即(2-1)祀•初一址洋+祀2=0,

所以(2—1)曲|劝|cos120。-92+4=0.

/p7

所以(2—1)X2X3X(—21—9丈+4=0.解得丸=五.]

令反忠领悟1.求平面向量模的方法

(1)若a=(x,y),利用公式同=4』+优

(2)利用同=而.

2.求平面向量的夹角的方法

H*h

(1)定义法：858=砌，。的取值范围为[0,7C].

(2)坐标法：若。=(加，yi),b=(X2,yi),则cos

(3)解三角形法：把两向量的夹角放到同一三角形中.

[跟进训练]

8

2.(1)(2021•郑州市第一次质量预测)设a,b为单位向量，且|a—4=1,则

+2例=()际>

A.3B.小C.7D.木

(2)设平面向量〃=(一2,1),〃=(九2),若。与b的夹角为锐角，则A的取值

范围匙)重⑥

A.(T2)U(2,+8)

B.(-8,-4)U(-4,1)

C.(1,+8)

D.(—8,1)

(3)(2021•全国乙卷)已知向量a=(1.3),8=(34),若3一协_LA,则2=

________

(1)D(2)B(3)|[⑴法一：因为明b是单位向量，所以⑷=1,|b|=l.

由|。一臼=1得|。一肝=1,即同2-2a协+|肝=1,可得a・b=3,所以|a+2bl

=d02+4a协+4庐=71+2+4=巾，故选D.

法二：设。是坐标原点，温=%仍=伙图略)，因为⑷=1,向=1,|0一川

=1,所以△OA8是等边三角形，所以〃协=1,

所以|。+2"="层+4。仍+4"=dl+2+4=S，故选D.

(2)法一：因为。与》的夹角为锐角，所以cos〈a,b〉£(0,1).

a-b—22+2

又。=(—2,1),6=(九2),所以cos〈。，b〉丽=4“2+『。1)，整

-2A+2>0,2<1,

理得1)।,所以"

U2+8A+16>0,加一4,

所以A的取值范围为(-8,-4)U(-4,1).故选B.

4协>0,

法二：因为。与b的夹角为锐角，所以J，丁2在

1%)不共线.

又。=(一2,1),5=&2),

9

-2A+2>0,〃vi

所以｛A2所以《一\

二U^-4,

所以2的取值范围为（一8,-4）U（-4,1）.故选B.

（3）法一:〃一劝=（1—32,3—42）,■；（a-劝）_1_瓦.■.（。一劝）6=0,即（1—32,

3

3-42）«（3,4）=0,・•・3-92+12—162=0,解得人=亍

/7»/>

法二：由（。一劝）_Lb可知，（〃一找）协=0,即。山一劝2=o,从而2=-p-=

3

(1,3>(3,4)_15-

32+42-255'

考点三数量积的最值（范围）问题伽生共册

[典例3]（2017.全国II卷）已知△4RC是边长为2的等边三角形，P为平面

ABC内一点，则可•（成+也的最小值是（）

图①

法一：（极化恒等式）结合题意画出图形，如图①所示，设8C的中点为Q,

AD的中点为E,连接AD,PE,PD,则有协+无=2协,

则用•（附+成）=2可.协=2（成+或）•（成一或）=2（瓦：2一成之）.而成2=

隙4

当点P与点E重合时，曲有最小值0,故此时成•（曲+电取得最小值,

最小值为-2EA2=-2X^=—

10

法二：(坐标法)如图②，以等边三角形4BC的底边3c所在直线为x轴，以

边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,®8(-1,0),C(l,0),

设P(x,y),则国=(一x,小一y),PS=(—1—x,—y)fP&=(1—x,—y)f所以

环(或+或)=(—x,小一y>(—2r,—2y)=2X2+—1,当x=0,y=^

时，用•(品+曲取得最小值，最小值为一|.故选B.］

~T~

令反思领悟设a,b是平面内的两个向量，则有。协=4［(。+炉-(a—6)2］；

极化恒等式的几何意义是在AABC中，若A。是8C边上的中线，则瓶At=AZ)2

-BD2.

具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向

量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底

边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥

梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.

［跟进训练J

3.在半径为1的扇形A。巴中，若NAOB=60。，。为弧4B上的动点，

与OC交于点P，则办协的最小值是________.gOM)

一正［法一：(极化恒等式)如图①，取。8的中点。，连接P。，则办加=

PD1-0b1=Pb1-^即求PD的最小值.

图①

11

由图可知，当PO_LA8时，PDmin=

则仍•初的最小值是一七

法二：(坐标法)

以08所在的直线为x轴，过点A且垂直于08的直线为)，轴，建立如图②

所示的平面直角坐标系，

则乖,坐)，0(-今0J,

麻0),

可得直线A5的方程为2J+¥)，=1,

设G，坐(l-2x)),

则方=Q+3,坐(L2x)),

Bp={x-^,坐(1—2X)),

31

当时，力仍取得最小值一束.]

o10

□考点四平面向量的应用枷生共研

[典例4](1)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30。的斜面上，物体处于

平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G,沿着斜面向上的摩擦力Fi,垂直

斜面向上的弹力尸2.已知|*|=80N,则G的大小为,尸2的大小为

12

（2）如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB=LAC=3,油与At的夹

角为60。，贝匹M%|=

(1)160N8MN(2)

根据题意，FI+F2=-G,如图所示：ZCAO=90°,ZAOC=30°,AC=80,

・・・OC=160,。4=8即，

・・・G的大小为160N,尸2的大小为8s份N.

（2）VA/为BC的中点,

AKl=g(A^+At),

・・・l曲F=；（油+宿2=?冲F+|祝p+2牯.祀）

=((1+9+2X1X3cos600)=?，|A7A|=^^.]

笈反思领悟

用向量方法«眸决平面几何（物理）问题的步骤

<^>>_-把几何（物理）问题中的相关量用向itt表示出来

转化为向量问题的模通过

向fit的运算使问题得以解决

把结果还原为儿何（物理）问题

［跟进训练］

4.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假

设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为B，尸2,且的|=|尸2|,

13

Fi与Fi的夹角为。.给出以下结论:

①。越大越费力，。越小越省力；

②。的范围为［0,兀］;

JT

③当夕=］时，|Fi|=|G|；

④当e=空时，I尸h=|G|.

其中正确结论的序号是.

①④［对于①，由G=（尸I+斤2）为定值，所以|G|2=|尸产+|五井+

IGI2

2

2|FI|X|F2|XCOS6>=2|FI|（1+COS0,解得|FIF=厂小.由题意知/£（0,兀）

时，y=cos9单调递减，所以IMF单调递增，即。越大越费力，6越小越省力，

①正确；对于②，由题意知，0的取值范围是（0,7t）,故②错误；对于③，当0

=方时，|尸仔=嚷所以甲1|=乎臼，故③错误；对于④，当。，时，|尸IF=|G|2,

所以I尸I|=|G|,故④正确.故正确的结论为①④.］

命题新视角

4.突出考查平面向量数量积

核心概念的内涵与外延

数学概念是数学的本质，是推导公式和定理的主要依据，也是解题的一把钥

匙，高考试题所考查的核心概念均源于教材，且高考注重对核心概念及教材知识

的考查，如2020年新高考卷I第7题考查数量积的概念的应用，2021年新高考

卷I第8题考查事件相互独立性的概念理解.所以在一轮复习时,教师一定要重

视对教材核心概念的复习，引导学生认真研读教材，注意细节，真正认清概念的

内涵与外延.

［典例5］（2020・新高考I卷）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一

点，则力•息的取值范围是（转）

14

A.(—2,6)B.(—6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

A［法一(坐标法)：如图，

取4为坐标原点,A3所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则4(0,0),5(2,0),

。(3,小),F(-l,小).设P(x,y),则#=(%,y),油=(2,0),且一l<xV3.

所以办•初=(x,y)-(2,0)=2xe(-2,6).故选A.

,>

法二(投影法)：A7A^=|A7||A^|.COSZPAB=2\Ap\cosZPABf

又|#|cos/B48表示初在AS方向上的投影，

结合几何图形(图略)，当点P与尸重合时投影最小，当尸与点C重合时，

投影最大，

又祝•劝=2小X2Xcos30。=6,

办A&=2X2COS120°=-2,

故当点P在正六边形ABCDEF内时，-2<力区力<61

令素养提能

平面向量中的范围、最值问题的两种解题思路

一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的

最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；

二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数

最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程

的有关知识来解决.

一f跟进训练］

5.在△ABC中，AB=6,。为△A8C的外心，则劭•油等于()

A.&B.6C.12D.18

D［如图，过点O作OZ)_LA8于D,

15

可知A£)=：AB=3,

则柩秸=(乱+帅)•劝

=初益+仍初

=3X6+0=18.］

教材引申

1.平面向量与三角形的“四心”

向量具有数形二重性，借助几何直观研究向量，优化解题过程，进而提高解

题效率.

设。为△ABC所在平面上一点，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

则

⑴O为△43C的外心物弦|=|附|=|况］=云气.

(2)0为△A5C的重心08+加+灰1=().

(3)0为△A8C的垂心00A•仍=仍仇=沈苏.

(4)0为△A3C的内心台+bOh+cOt=0.

►类型1平面向量与三角形的“重心”问题

［典例6］已知A,B,。是平面上不共线的三点，。为坐标原点，动点尸满

足办=%(1一幻温+(1一》通+(1+2力.犹］,2eR,则点p的轨迹一定经过

()

A.△ABC的内心B./XABC的垂心

C.△ABC的重心D.4B边的中点

C［取AB的中点。，则2帅=8+加，

0>=|l(1-A)OA+(1-A)02?+(14-2/l)0tj,

JO>=1［2(1-2)Ot)4-(l4-2A)Ot］

16

2(1-2)f,1+2、

------j------OD-^—^OCf

2(1-A)1+22

3+31,:,P,C,。三点共线,

・,•点P的轨迹一定经过△ABC的重心.］

>类型2平面向量与三角形的“内心”问题

［典例7］在△ABC中，AB=5,AC=6,cosA=1,。是△ABC的内心，若

办仍+），犹，其中X,>00,1］,则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）

A.当^B.MmC.4小D.6^2

B［根据向量加法的平行四边形法则可知，动点尸的轨迹是以05,OC为

邻边的呼行四边彩及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍.

在△ABC中，设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理*=

b1-^-c2—2bccos4,得。=7.

设△ABC的内切圆的半径为一，则

^hcsin4=；（〃+/?+c）r,解得

所以S"oc=4x〃Xr=；X7X^^=^^.

故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S^BOC=^^.］

►类型3平面向量与三角形的“外心”问题

［典例8］在△ABC中，。为其外心，o\ot=^,且小0+币

0,则边AC的长是.

小一1［设△ABC外接圆的半径为R,

:。为△A6C的外心，

：.\0A\=\0k\=\0t\=R,

又小况+S仍+求=0，

则/以十元=一由防，

・・・382+双2+2小3.元=7防2,

17

从而况•元二

又出戊=小，所以R2=2,

又况仇=|两的cosN40C=R2cosNA0C=小,

cosNA0C=｝，NAOcW，

2o

在△AOC中，由余弦定理得

AC2=OA2+OC2~2OAOCCOSZAOC

=R2+R2-2R2X竽=(2-S)R2=4-2小.

所以AC=，5—1J

►类型4平面向量与三角形的“垂心”问题

［典例9］已知。是平面上的一个定点，A,B,。是平面上不共线的三个点,

（iRAT

动点尸满足办=8+2二-----+—T-—，/£（0，+8）,则动点尸的轨迹

Ji4B|cosB|AC|cosC>

一定通过△ABC的（）

A.重心B.垂心C.外心D.内心

-fT.，A一B,A一C、

B［因为办=8+2:-------+---------,

J48|cosB|AC］cosC）

“ff—fAB,AC

所以#=办一次=2--------+---------,

JAB|cosB|AC|cosCz

/\

所,,以f配f#=求f<--A-B---+,--A-C----

JAB|cosB|AC|cosC>

=2（一的+|由）=0,

所以觉J_#，所以点P在BC的高线上，即动点尸的轨迹一定通过△ABC

的垂心.］

18

融虚解三角形

第1课时余弦定理、正弦定理

［考试要求］掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问

［走进教材•夯实屏础］回顾知识•激活技能

€＞梳理•必备知识

1.正弦、余弦定理

在△A3C中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接

圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

片=按+，-22C_COS_4；

q=-^=q=2R

内容从=+〃2-2cccos_3;

sinAsinBsinC

c2=次+廿—2ab_cos_C

0?+c2—

(l)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；cosA-&;

(2)a:b:c=sinA：sin8：sinC；。+〃2—"

变形cosB-弥；

a+b+c________a___

⑶sinA+sinB+sinCsinAd+乂一»

cosC—2ah

2.三角形常用面积公式

(1)S=%•儿(总表示边a上的高);

(2)S=^absincsin8=3bcsin4；

(3)S=gr(a+b+c)(r为内切圆半径).

［常用结论1

1.三角形内角和定理

在△4BC中，A+B+C=TC;变形：2^=2~2

19

2.三角形中的三角函数关系

(l)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+B)=—cosC;

A+8CA+8C

(3)sin-—=cos~2；(4)cos-石—=sin]

3.三角形中的射影定理

在△ABC中,。=法成c=fej觌4±公殴&

4.三角形中的大角对大边

在△4BC中，->*>4尔为in4>sinB.

©激活-基本技能

一、易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()

(2)在△A8C中，若sinA>sinB,则A>8.()

.,aa-\-b-c

(3)在△AABC中，-r-7=.,.-()

sinAsinA4+sinBD—sinC

(4)当从+，一〃2>。时，aABC为锐角三角形；当。2+c2—〃2=o时，XABC

为直角三角形；当〃+/一〃2<o时，△ABC为钝角三角形.()

[答案](1)X(2)V(3)V(4)X

二、教材习题衍生

ITJT

1.已知5c中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,若A=q8=a，

4=1,贝1J/?=()

A.2B.1C.小D.y/2

•匹

_a_____b,asinB‘1n4也、仄

D[r由后=蓊得2X2=&.]

s,n6

2.在△ABC中，若a=2,c=4,8=60°,则Z?等于()

A.2^3B.12C.2巾D.28

A[由余弦定理从=”+/_2讹85B,得从=4+16-8=⑵所以b=2p]

3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60°,力=#,

c=3,贝!]A=.

20

75。［由正弦定理，得sin”处产=遍产普，所以3=45。或

135°,因为Xc,所以BvC,故8=45°,所以4=75°.］

4.在AABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,且a=4,b=5,c=6,

则cosA=,AABC的面积为.

I与区［依题意得cosA=归京卫=1，

_______万

所以sinA=yj1-cos2A=+，

所以/XABC的面积为gbcsinA=

［细研考点•突破题型］重难解惑直击高考

□考点一利用正、余弦定理解三角形帆生共研

［典例1］(1)已知△ABC的内角△B,。所对的边分别为a,b,c,若:sin

2A=asin且。=2力，则落于()

A.2B・3C.y［2D.小

(2)在①"。~~~；②cosA=yf3sinA—}；(3>J3cos4=sinA这三

c-bsinA—sinBv丫2

个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

问题：己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是小b,c,h-c=4f△

ABC的外接圆半径为2小，且________,求角A及△ABC的边8c上的高瓦

(1)D［由正弦定理及。sin2A=asin得2sinBsinAcosA=sinAsin又

sinA#=0,sinB#=0,则cosA=J.又c=2b,所以由余弦定理得/=〃+/—2Z?ccos

A=/?2+4Z?2—4/?2X|=3Z>2,得号=小.故选D.］

(2)［解］选择①：

由^~7=——裂土―得(〃+6)(sinA-sin8)=sinC(c-b),

c-bsinA—sinB7

由正弦定理，得(a+b)(a-b)=c(c-b),

整理得。2=〃+廿一匕的

21

b2+c2-a2_be

所以cosA=

2bc~2bc

又0<A<TC，所以A=全

由正弦定理得。=4小sinW=6,

由余弦定理得a2=b2-^-c2—bc=(b—c)2+bc=16+bc=36,

所以儿=20,

所以△ABC的面积S=^bcsinA=gah,

..420义哗历

“、，，besinA25y3

所以

h=------a------=-76—=V3-.

选择②：

由cosA=，5sinA—\,

得小sinA—cos4=1,即sin(人一

jrjrjr

因为A£(0,7c),所以A—彳=不所以A=§.

由正弦定理得Q=4，5sin鼻=6,

由余弦定理得«2=/?2+c2—c)2+/?c=164-/?c=36,

所以儿=20,

所以/XABC的面积S=gbcsinA,

,.人20X哗rr

-,besinA2573

所以h=-------------=------7

a63

选择③：

广AAA

因为43cosy=sinA=2sin5cosy,

又cos4WO,所以sin理，因此A=空.

♦J•J

由正弦定理得〃=4d5sin"y=6,

由余弦定理得/=。2+/+加=(6-0)2+3儿=16+3从=36,

22

所以儿=冬

所以△ABC的面积S=^bcsinA=%h,

型Xgl

的力匕"csinA325s

所以〃一。一6一9.

令反思领悟利用正、余弦定理解三角形的策略

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余

元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方

程，通过解方程求得未知元素.

(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题

时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关

系.

［跟痴I丽

1.(2021.福建莆田二模)在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为〃，b,c,

2rf

A=28,cosCA-CB=88.

(1)求cosC的值；

(2)求△AB。的周长.

［解］(1)由dCS=88,得McosC=88,

1

VA=2B,/.cosA=cos2B=2cos~9B—1=一§,

VA,BG(0,兀)，sinB>0,AsinB=^/l-cos2B=^,

s…后胡=呼，

故cosC=cos［n—(A+B)］=-cos(A+3)=-cosAcosB+sinAsinB,

则cos0=岗+竽X坐考

22

(2Y：abcosC=88,