云南省昆明市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 含解析

昆明市2023-2024学年高二期末质量检测数学考试时间:7月4日8:30-10:30注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.2.已知向量，若，则（）A B. C. D.3.已知命题，命题，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题4.已知函数，且，，，则的一个解析式为（）A. B. C. D.5.某人连续投一枚骰子次，记录向上的点数得到一组样本数据，若该组样本数据的平均数为，则（）A.极差可能为 B.中位数可能为 C.方差可能为 D.众数可能为6.已知为抛物线的焦点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（）A. B. C.1 D.7.已知正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A B. C. D.8.函数，，则下列说法错误的是（）A.，使得为偶函数B.，使得曲线为中心对称图形C.，存在极值D.，存在两个零点二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等比数列公比为，前项和为，为等差数列，则（）A. B. C.为等差数列 D.为等比数列10.已知函数，，则下列说法正确的是（）A若，则B.若，则C.若在上单调递增，则的范围为D.函数有两个极值点11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，则列说法正确的是（）A.若的周长为24，则的面积为48B.C.D.若为锐角，则点的纵坐标范围是三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则______.13.已知，则______.14.甲、乙两人先后在装有颗黑球的1号盒子与装有颗白球的2号盒子（，）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取1颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取1颗），最后不能按规则取的人输.例如:当时，甲先手不论如何取球，乙后手取球均有必定获胜的策略．若，且后手取球者有必定获胜的策略，则满足条件的一组数组可以为______.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.16.如图，在四棱锥中，.（1）证明:平面;（2）若直线平面，求平面与平面的夹角的大小.17.已知椭圆的短轴长为2，离心率为.（1）求的方程;（2）过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.18.如图，甲、乙、丙、丁四名同学分别站在一个正方形的四个顶点进行传球训练，每次由一人随机将球传给另外三人中的一人，任意一人持球时，传给位于相邻顶点同学的概率为，传给位于对角线顶点同学的概率为，传球3次为一轮.（1）已知第一次由随机一名同学将球传出，若，设事件为“一轮中每人各持一次球”.（i）求及事件的概率;（ii）设三轮传球中，事件发生的次数为，求的分布列与数学期望;（2）已知第一次由甲将球传出，在一轮传球中，乙、丙两人，谁两次持球的可能性更大?19.已知函数的定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”，已知.（1）若是函数关于的“数列”，求的值;（2）若是函数关于的“数列”，记.（i）证明:等比数列;（ii）证明:.昆明市2023-2024学年高二期末质量检测数学考试时间:7月4日8:30-10:30注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算可得，再根据复数的几何意义可得复数的模.【详解】由，得，则，故选：A.2.已知向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平面向量共线的坐标表示计算求解即可.【详解】因为向量，，所以，解得.故选：B3.已知命题，命题，则（）A.和都是真命题 B.和都是真命题C.和都是真命题 D.和都是真命题【答案】D【解析】【分析】判断出命题、命题、命题、命题的真假可得答案.【详解】，所以命题是假命题，是真命题，当时，，所以，所以命题是假命题，是真命题，对于A，和都是真命题，错误；对于B，和都是真命题，错误；对于C，和都是真命题，错误对于D，和都是真命题，正确.故选：D.4.已知函数，且，，，则的一个解析式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据各解析式分别代入即可.【详解】A选项：，成立，，，则，A选项错误；B选项：，，B选项错误；C选项：，成立，，，则，C选项正确；D选项：，，D选项错误；故选：C.5.某人连续投一枚骰子次，记录向上的点数得到一组样本数据，若该组样本数据的平均数为，则（）A.极差可能为 B.中位数可能为 C.方差可能为 D.众数可能为【答案】C【解析】【分析】根据平均数的公式可得，且，再根据各个数据特征值的概念及公式分别判断即可.【详解】根据平均数的公式可得，且，A选项：若极差为，则，，此时不成立，A选项错误；B选项：若中位数为，则，即，且，此时与不符，B选项错误；C选项：当，时，方差为，C选项正确；D选项：若众数为，则数据中至少有两个为，此时，不成立，D选项错误；故选：C.6.已知为抛物线的焦点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的知识可以知道点，然后再利用切线和垂直即可求解.【详解】由题意易得，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，且，且，将点代入抛物线方程可得，即，，解得.故选：D.7.已知正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据台体体积公式可得台体的高，即可利用勾股定理列方程求解半径.【详解】在正四棱台中，，，体积为，故则，，连接、相交于点，、相交于点，设外接球的球心为，若在台体外，设到底面的距离为，则半径为，即，解得，若在台体内，到底面的距离为，则半径为，即，解得，舍去，综上所述，，故，所以.故选：A.8.函数，，则下列说法错误的是（）A.，使得为偶函数B.，使得曲线为中心对称图形C.，存在极值D.，存在两个零点【答案】D【解析】【分析】利用余弦型函数的性质分别判断各选项即可得解.【详解】A：当时，，关于坐标原点对称，此时，A正确；B：，令，，解得，，即函数的对称中心为，，即当，即，时，曲线为中心对称图形，B正确；C：因为的最小正周期为，，所以函数，存在极值，C正确；D：取，则，又，由余弦函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以在上没有零点，在上只有一个零点，D错误；故选：D.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等比数列的公比为，前项和为，为等差数列，则（）A. B. C.为等差数列 D.为等比数列【答案】ABC【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及公式可判断.【详解】由已知为等差数列，则当时，为定值，即为常数，此时数列为常数列，又数列为等比数列，则，且，，A选项正确；此时，B选项正确；，，，，即为等差数列，C选项正确；，，，不为定值，所以不为等比数列，D选项错误；故选：ABC.10.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若在上单调递增，则的范围为D.函数有两个极值点【答案】ABD【解析】【分析】根据求导根据函数值与导数值直接可判断A选项，根据函数值情况解不等式可判断B选项，求导根据函数单调性可判断D选项，并可列不等式，解不等式判断C选项.【详解】由，则，A选项：由，解得，，，A选项正确；B选项：，解得，B选项正确；C选项，D选项：，由，所以令，解得或，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，则函数函数有两个极值点，D选项正确；又函数在上单调递增，则，解得，或，无解，综上，C选项错误.故选：ABD.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，则列说法正确的是（）A.若的周长为24，则的面积为48B.C.D.若为锐角，则点的纵坐标范围是【答案】BC【解析】【分析】根据双曲线定义结合周长可得，，即可由直角三角形求解面积，判断A，根据双曲线上的点到焦点的距离的范围，结合双曲线定义即可求解B，根据渐近线斜率即可求解C，利用向量的坐标运算即可求解D.【详解】可得，由于点在的右支上，故，对于A，若的周长为24，则，进而，，故，故的面积为，A错误，对于B，由于，当在右顶点时等号取到，故，故B正确，对于C，由于双曲线一三象限的渐近线方程为，故，又当在右顶点时，，故，C正确，对于D，设，，则，则，解得或，故D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题D选项解决关键是，将问题化为，从而得解.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则______.【答案】【解析】【分析】根据分段函数的性质直接求函数值.【详解】由分段函数可知，故答案为：.13.已知，则______.【答案】【解析】【分析】利用商数关系由求出，再由两角和的正弦展开式计算可得答案.【详解】因为，所以，所以，则.故答案为：.14.甲、乙两人先后在装有颗黑球的1号盒子与装有颗白球的2号盒子（，）轮流取球，规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗（至少取1颗），或者在两个盒子中取出相同颗数的球（至少各取1颗），最后不能按规则取的人输.例如:当时，甲先手不论如何取球，乙后手取球均有必定获胜的策略．若，且后手取球者有必定获胜的策略，则满足条件的一组数组可以为______.【答案】【解析】【分析】分、、进行讨论，若甲有必胜策略则不符合，重点在于得出当甲或乙取完后盒中情况为或时，此人必胜.【详解】由，，则可能有以下三种情况：①，甲可先手在号盒子中取颗球，此时盒中情况为，则乙必不可能全部取完，乙后手取球后可能为、、或，这时无论何种情况甲都可全部取完，故甲有必定获胜的策略，不符；②，甲可先手在号盒子中取颗球，此时盒中情况，同①，甲有必定获胜的策略，不符；③，甲先手后，若两盒中球数一样或有一盒取空，则乙可全部取完，乙必胜，若两盒中球数不一样，则一定是以下两种情况之一：（i）有一盒中只有一个球，另一盒中多于两个球；（ii）有一盒中有两个球，另一盒中多于两个球；无论为哪种情况，乙都可将其取为或，由①知，此时乙必胜，故满足条件的一组数组只有.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到谁能将盒中情况变为或，则必胜.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理可得角；（2）根据余弦定理，结合三角形面积，可得，进而可得周长.【小问1详解】因为，由正弦定理得，由余弦定理得，又，则；【小问2详解】由已知，即，又，即，所以，所以的周长为.16.如图，在四棱锥中，.（1）证明:平面;（2）若直线平面，求平面与平面的夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接．分别证明平面，平面，即可证明平面平面，根据面面平行的性质，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间角的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】因为，所以，连接．因为，所以，在中，，所以，平面，平面，故平面，又在四边形ABCD中，，所以，平面，平面，故平面，因为平面，所以平面平面，又平面，所以平面．【小问2详解】在中，，因为平面，平面，所以，平面，所以，即两两垂直．以分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系．则，，设平面的法向量，则，可取为平面的一个法向量，设平面的法向量，则，可取为平面的一个法向量，所以，，所以，所以平面与平面的夹角的大小为．17.已知椭圆的短轴长为2，离心率为.（1）求的方程;（2）过点作直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】分析】（1）由题意得，求出，从而可求出椭圆方程；（2）当直线l的斜率不存在时，不合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，设，将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，利用弦长公式列方程可求出，从而可求出直线方程.【小问1详解】依题意：，解得，所以E的方程为．【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，，与题意不符，舍去；当直线l斜率存在时，设直线l的方程，设，联立，消y得：，整理得：，，则，，则，即，则，即，解得或，则直线l的方程为或．18.如图，甲、乙、丙、丁四名同学分别站在一个正方形的四个顶点进行传球训练，每次由一人随机将球传给另外三人中的一人，任意一人持球时，传给位于相邻顶点同学的概率为，传给位于对角线顶点同学的概率为，传球3次为一轮.（1）已知第一次由随机一名同学将球传出，若，设事件为“一轮中每人各持一次球”.（i）求及事件的概率;（ii）设三轮传球中，事件发生的次数为，求的分布列与数学期望;（2）已知第一次由甲将球传出，在一轮传球中，乙、丙两人，谁两次持球的可能性更大?【答案】（1）（i），；（ii）分布列见解析，.（2）答案见解析【解析】【分析】（1）（i）球传出后，可能给相邻两个的概率都为，给对角线的概率为，则，结合，解出即可.（ii）由条件可得，运用二项分布的概率公式和期望公式求解概率即可．（2）将乙丙两次持球的概率求出来后，用作差法比较大小即可．【小问1详解】（i）由题意，球传出后，可能给相邻两个的概率都为，给对角线的概率为，则，当解得．则．