（新教材）2020-2021学年高一下学期第二次月考卷　数学（二）解析版

此卷只装订不密封班级姓名准考此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下面关于空间几何体的定义或结构特征叙述错误的是（）A．空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱B．有两个侧面都是矩形的三棱柱，它的侧棱垂直于底面C．以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥D．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心【答案】D【解析】对于A，由四棱柱的定义：空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱，故A正确；对于B，根据直线与平面的判定定理，得到这两个侧面的交线垂直于底面，是真命题，故B正确；对于C，由圆锥的定义：以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥，故C正确；对于D，底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心，故D错误，故选D．2．一个圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设半径为，由母线长为，母线与轴的夹角为，得，则底面圆的周长为，所以该圆锥侧面展开图的圆心角大小为，故选D．3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到一个正方形，则原来图形的形状是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】直观图中正方形的对角线长为，故在平面图形中平行四边形的高为，只有A项满足条件，故选A．4．已知空间互不重合的三条直线，，．则“，，在同一平面内”是“，，两两平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若，，在同一平面内，则，，在同一平面内可能平行也可能相交，故充分性不成立；若，，两两平行，则，，不一定在同一平面内，故必要性不成立，所以“，，在同一平面内”是“，，两两平行”的既不充分也不必要条件，故选D．5．如图，四面体中，，，E，F分别是，的中点，若，则与所成的角的大小是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示：取BC的中点G，连接EG，FG，因为E，F，G都为中点，所以，，所以，分别为异面直线EF与AB，EF与CD所成的角，因为，所以，又因为，，所以，，所以，因为，所以，故选A．6．棱长为的正方体密闭容器内有一个半径为的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其不能到达的空间的体积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可得小球在八个角不能到达的空间相当于边长为2的正方体中间挖掉一个半径为1的球的剩余部分，其体积为，小球在12条边活动不到的空间相当于高为2，底面积为4的正四棱柱中间挖掉底面积为，高为2的圆柱剩下的部分，且有3个，则其体积为，则小球不能到达的空间的体积为，故选A．7．如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分别取的中点，则，平面，平面，则平面．，平面，平面，则平面，又，所以平面平面，又平面面，所以点的轨迹为线段，当为线段的端点（或）时，最长，此时，当为线段的中点时，最短，此时，所以，故选C．8．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积取最大值时，其高的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以正六棱柱的最大对角面作截面如图，设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为，，则是，的中点，设高为，设底面边长为，则，∴，∴，，，∴，∴，．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列结论成立的是（）A．平面PCD B．平面PDAC．平面PBA D．平面PBC【答案】AB【解析】矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以点O为BD的中点，在△PBD中，因为点M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM//PD，平面，平面，平面，故A正确；平面，平面，平面，故B正确；因为，平面，平面，所以OM与平面，平面相交，故C、D错误，故选AB．10．下列说法正确的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行B．两个平面有一个公共点，则它们相交或重合C．平行于同一个平面的两平面平行D．夹在两个平行平面间的平行线段相等【答案】BCD【解析】对于A选项，一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则该直线与另外一个平面平行或该直线在另外一个平面内，A选项错误；对于B选项，两个平面有一个公共点，则它们相交或重合，B选项正确；对于C选项，由面面平行的性质可知，平行于同一个平面的两平面平行，C选项正确；对于D选项，如下图所示：已知平面平面，、，、，，那么直线、可确定平面，，，，，则四边形为平行四边形，所以，，D选项正确，故选BCD．11．如图所示，已知二面角的大小为，分别是的中点，F，E分别在AB，AD上，，且AC⊥平面BCD，则以下说法正确的是（）A．四点共面B．平面C．若直线交于点，则三点共线D．若的面积为6，则的面积为3【答案】ACD【解析】A选项：在△ABD中，因为，所以EF//BD，在△CBD中，G，H分别是BC，CD的中点，所以GH//BD，有EF//GH，E，F，G，H四点共面，故A选项正确；B选项：假设FG//平面ADC成立，因为平面ABC平面DAC=AC，所以FG//AC，又G是BC的中点，所以F是AB的中点，与矛盾，故B选项错误；C选项：因为FG平面ABC，P∈FG，所以P∈平面ABC，同理P∈平面DAC，因为平面ABC平面DAC=AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线，故C选项正确；D选项：因为二面角A-BD-C的大小为，AC⊥平面BCD，所以点C到直线BD的距离d2是点A到直线BD的距离d1的，故，故D选项正确，故选ACD．12．如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连接，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．与平面BCD所成的最大角为B．存在某个位置，使得C．当二面角的大小为时，D．存在某个位置，使得到平面的距离为【答案】BC【解析】选项A，取的中点，连接、，则．由题可知，和均为等边三角形，由对称性可知，在翻折的过程中，与平面所成的角为，当时，为等边三角形，此时，即选项A错误；选项B，当点在平面内的投影为的中心点时，有平面，，，又，、平面，平面，平面，，即选项B正确；选项C，当二面角的大小为时：平面平面，，，平面平面，平面，，又，为等腰直角三角形，，即选项C正确；选项D，点到的距离为，点到的距离为，若到平面的距离为，则平面平面，平面平面，则有垂直平面，即，与是等边三角形矛盾，故选BC．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．如图所示，在三棱柱中，过，，的平面与平面的交线为，则与直线的位置关系为________．【答案】平行【解析】在三棱柱中，，平面，平面，所以平面，又因为平面，且平面平面，所以，故答案为平行．14．下列说法正确的是______（填序号）．①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱；②有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；④用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间那部分的几何体是棱台；⑤存在一个四棱锥，其四个侧面都是直角三角形．【答案】⑤【解析】对于①，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，故①不正确；对于②，如图1中的几何体，满足有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但其不是棱柱，故②不正确；对于③，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，故③不正确；对于④，由棱台的定义，知截面和棱锥的底面平行，故④不正确；对于⑤，如图2所示，在正方体中，四棱的四个侧面均为直角三角形，故⑤正确， 故答案为⑤．15．如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点是棱的中点，点是棱靠近的三等分点，且三棱锥的体积为2，则四棱柱的体积为__________．【答案】12【解析】由题意，设底面平行四边形的，且边上的高为，直四棱柱的高为，则直四棱柱的体积为，又由三棱锥的体积为，解得，即直四棱柱的体积为．16．如图，已知斜三棱柱中，点D，分别为上的点．若平面，则________；若平面平面，则_______．【答案】1，1【解析】如图，连接交于点，由三棱柱性质知，为的中点，连接，平面，平面，平面平面，，又在中，为的中点，故为的中点，所以，若平面平面，又平面平面，平面平面，，同理，，，又，，则．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为．（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：设，在半圆⊙A中，，弧长，这是圆锥的底面周长，所以，所以，故圆锥的底面积为．（2）设圆柱的高，，在中，，，所以，即，，，所以，当，时，圆柱的侧面积最大，此时．18．（12分）如图，正方体中，，分别是，的中点．求证：（1），，，四点共面；（2），，三线共点．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明：（1）连接，，，，分别是，的中点，，，，由两条平行线确定一个平面，得到，，，四点共面．（2）分别延长，，交于点，，面，面．是的中点，，是的中点，连接，，，，，三线共点于．19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）设为的中点，连接，，∵为的中位线，∴，且，又，，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面．（2）∵是的中点，∴三棱锥，又，，∴是等边三角形，∴，到的距离为，又，∴，∵平面，∴，∴三棱锥的体积．20．（12分）在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，，，如图．（1）若A1C交平面EFBD于点R，证明：P，Q，R三点共线；（2）线段AC上是否存在点M，使得平面平面，若存在确定M的位置；若不存在说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，M为AP中点．【解析】（1）证明：∵在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，A1C交平面EFBD于点R，∴P，Q，R是平面BDEF和平面BDD1B1的公共点，∴P，Q，R三点共线．（2）存在点M为AP中点，使平面B1D1M∥平面EFBD．证明如下：取AD中点G，AB中点H，连接GH，交AC于点M，连接D1G，B1H，如图：由题意得，GH∥EF，因为平面，平面，所以平面，因为B1H∥DE，同理可证，平面，又因为，由面面平行的判定定理可得，∴平面GHB1D1∥平面BDEF，∴线段AC上存在点M，使得平面B1D1M∥平面EFBD，且M为AP中点．21．（12分）如图，在四棱锥中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，，M为PC的中点．（1）求证：平面；（2）平面内是否存在一点N，使平面？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，N为AE的中点．【解析】（1）证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有且，而且，∴，．∴四边形ABME是平行四边形，即BM∥AE．∵AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，∴BM∥平面PAD．（2）解：当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD．理由如下：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PA＝AD，E是PD的中点，即AE⊥PD，而AB∩AE＝A，∴PD⊥平