量子力学第一章

《量子力学》第一章绪论第二章波函数和Schrodinger

方程第三章一维定态问题第四章量子力学中的力学量第五章态和力学量表象第六章近似方法第七章量子跃迁第八章自旋与全同粒子《量子力学》课程的主要参考书目录：

①量子力学教程，周世勋编（1961年，上海科学技术出版社；1979年，人民教育出版社（或高教））

②量子力学，（现代物理学丛书），曾谨言编著，上、下册，科学出版社，1981年。

③量子力学导论，曾谨言编，北京大学出版社，1992年。

④量子力学习题精选与剖析，钱伯初，曾谨言，科学出版社（1988）。第一章绪论§1“量子”概念的起源§2量子力学的诞生§3量子力学的地位和作用§4量子力学的基本问题§1“量子”概念的起源(一）经典物理学的成功

19世纪末，物理学理论发展到了几乎完美的程度。（1）牛顿力学：成功描述了从天体到地上各种尺度的力学客体的运动，并将其用于分子运动上，气体分子运动论取得了有益的结果。1897年汤姆森发现了电子，这个发现表明电子的行为类似于一个牛顿粒子。（2）热力学与统计物理：成功描述了有关的热现象。（3）电动力学：统一描述了光和电磁现象。客观世界存在着实物粒子和电磁波（场）。经典物理学的基本方程似乎能够基本描述所有的物理系统。不仅如此，经典物理学使工业革命如虎添翼。

1871年，麦克斯韦在剑桥大学的就职演说中讲：几年之内，所有重要的物理常数都将被大致估计出来…这样科学界人士剩下的唯一工作就是提高这些估计值的精度。当时科学界存在着普遍的乐观情绪。（二）几个恼人的细节问题经典理论在解释一些新的试验结果上遇到了严重的困难，典型的问题：（1）黑体辐射问题；（2）光电效应；（3）氢原子光谱等。（1）黑体辐射

热辐射：热的物体（高于绝对零度)表面以电磁波的形式辐射能量，温度较低时（低于500℃),辐射主要是长波（红外辐射），温度升高时短波成分增加，如温度在500℃〜600℃之间，辐射的主要成分为可见光。同时，物体能够吸收照在其表面的辐射，当物体与周围环境达到热平衡时，单位时间内物体吸收和辐射的能量相等。

黑体：能全部吸收投射到其上的辐射而无反射，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。一个空腔可以看作是黑体。黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。黑体辐射问题研究：辐射与周围物体处于热平衡状态时的能量按波长（频率）的分布。

辐射热平衡状态:处于某一温度T下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。实验发现：热平衡时，辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度

T

有关，而与空腔的形状和材料无关。能量密度

(104cm)0510Wien

线能量密度

(104cm)0510Wien

公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。Rayleigh-Jeans公式在长波部分与实验结果较符合,在短波部分完全不符合.1.Wien

公式：从热力学出发，加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：

2.Rayleigh-Jeans公式:根据电动力学和统计物理,把空腔看成是由大量包含各种频率的带电谐振子组成,得到一个分布公式:Rayleigh-Jeans线（2）光电效应光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象,称为光电效应。这种电子称之为光电子。试验发现光电效应有三个突出的特点：

1.临界频率v0

只有当光的频率大于某一定值v0时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生。光的这一频率v0称为临界频率。

2.光电子的能量只是与光的频率有关，与光强无关，光强只决定光电子数目的多少。

3.光电子产生无驰豫时间,无论光强弱,几乎在开始照射的同时就产生光电子。如何解释？按照光的电磁理论，光电效应的机制是照在金属上的光波使金属中的电子作受迫运动，当电子能量积累到足以克服金属对电子束缚能时就可以逸出。由此推理,(1)只要光强足够强,任何频率的光都能打出光电子,不会存在频率限制;(2)光电子能量应该依赖光的强度,与频率无关;(3)光电子发射应该滞后于照射。与实验结果矛盾！！！（3）氢原子光谱，原子结构

氢原子光谱有许多分立谱线组成，这是很早就发现了的。1885年瑞士巴尔末发现紫外光附近的一个线系，并得出氢原子谱线的经验公式：这就是著名的巴尔末公式（Balmer）。以后又发现了一系列线系，它们都可以用下面公式表示：人们自然会提出如下问题：1.光谱线为何会出现?原子线状光谱产生的机制是什么？2.光谱线的频率为什么有这样简单的规律？它们所传递的什么信息?

原子模型：

1、布丁模型：1897年J.J.Thomson从真空管中的阴极射线发现电子，证明了原子内含有一定数量的电子。1904年他提出了原子布丁模型，即原子整体上是电中性，正电部分均匀分布成一个球体，电子镶嵌在其中某些平衡位置，并围绕平衡位置做简谐振动。

2、有核模型：1911年E.Rutherford的粒子散射实验证明了原子有核，提出了原子有核模型，又称为“行星模型”。将这一模型与原子光谱联系起来，不仅解释不了原子线状光谱，而且原子自身的稳定性就成问题。按照经典电动力学，立即得到如下结论：（1）电子绕原子核转动是加速运动，它必然不断发射电磁波；（2）发射电磁波的同时电子能量不断减小，因而其轨道半径将不断缩小，最后必然落到原子核上；（3）若电子运动周期为T，则它发射的电磁波的周期也是T，在轨道缩小时周期减小，于是它发射的电磁波频率不断增大，原子光谱应是连续谱。

为什么原子稳定的存在着？为什么原子光谱有线状谱？

新的实验现象的发现，暴露了经典理论的局限性，迫使人们去寻找新的物理概念，建立新的理论，于是量子力学就在这场物理学的危机中诞生。（三）“量子”概念的产生1.黑体辐射的Planck公式与能量子假说能量密度

(104cm)0510Planck线

1900年１２月１４日Planck

提出能量子假说:一个腔壁原子的性能和一个频率为的带电谐振子一样,但是谐振子的能量只能取一些分立值

0,20,30,其中0

h

称为能量子。h=6.62610-34Js为Planck常数。

原子吸收和发射光时只能以

0

进行。利用此假说，按照Rayleigh-Jeans公式的推导过程，Planck论证了上述公式。（1）光子

Einstein认为：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量hν的微粒形式出现，而且以微粒形式在空间以光速

C

传播，这种微粒叫光量子或光子。频率为ν的单色光是由每个光子能量为E=hν的光子流组成。2.A.Einstein光量子论和光电效应理论1905年，Einstein发展了Planck量子论，提出光量子假说来解释光电效应。（2）光电效应理论

用光子的概念，Einstein成功地解释了光电效应的规律。

当光照射到金属表面时，光子一个个地大上，金属中的电子要么吸收一个光子，要么不吸收。吸收一个能量为hν的光子，电子把这份能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分用来提供电子离开金属表面时的动能。其能量关系可写为：其中A为金属的脱出功。（3）Einstein光量子关系式

光子不仅具有确定的能量E=hν，而且具有动量。根据相对论知，速度为V的粒子的能量由右式给出：对于光子，速度V=c，欲使上式有意义，必须令m0=0,即光子静质量为零。根据相对论能动量关系：光子能量、动量光波频率、波长的关系：把光的波动性和粒子性联系了起来光子的能动量关系为虽然爱因斯坦对光电效应的解释是对Planck量子概念的极大支持，但是Planck不同意爱因斯坦的光子假设，这一点流露在Planck推荐爱因斯坦为普鲁士科学院院士的推荐信中。

“

总而言之，我们可以说，在近代物理学结出硕果的那些重大问题中，很难找到一个问题是爱因斯坦没有做过重要贡献的，在他的各种推测中，他有时可能也曾经没有射中标的，例如，他的光量子假设就是如此，但是这确实并不能成为过分责怪他的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可能不偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念

”（4）Compton散射

-光的粒子性的进一步证实

Compton效应

经典电动力学不能解释这种新波长的出现，经典力学认为电磁波被散射后，波长不应该发生改变。但是，采用光量子的概念，如果把X--射线被电子散射的过程看成是光子与电子的碰撞过程，则该效应很容易得到理解。

1).散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ'>λ；

2).波长增量Δλ=λ'–λ随散射角增大而增大。这一现象称为Compton效应。1923年发现，1925年诺贝尔奖。

X--射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。该效应有如下特点：定性解释根据光量子理论，具有能量E=hν的光子与电子碰撞后，光子把部分能量传递给电子，光子的能量变为E'=

hν'

显然有E'<E,从而有ν'<ν,散射后的光子的频率减小，波长变长。根据这一思路，可以证明：

Compton散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力的支持。并且证明了单个光子与电子的碰撞满足能量、动量守恒定律。该式首先由Compton提出，后被Compton

和吴有训用实验证实，用量子概念完全解释了Compton效应。因为式右是一个恒大于或等于零的数，所以散射波的波长λ'总是比入射波波长长（λ'>λ），且随散射角θ增大而增大。思考题：光到底是波还是粒子？证明根据能量和动量守恒定律，得代入得：两边平方：（2）式—（1）式得：k

k'

mv所以最后得：3.原子结构与Bohr的量子论

1913年Bohr

把Planck--Einstein

的量子概念与Rutherford的有核模型相结合,研究原子结构问题，提出了他的原子的量子论。该理论今天已为量子力学所代替，但是它在历史上对量子理论的发展曾起过重大的推动作用，而且该理论的某些核心思想至今仍然是正确的，在量子力学中保留了下来。（1）波尔理论中两条基本假设

1）定态：电子在原子中并不沿着经典物理所允许的任意轨道运动，只能沿着一组特殊的轨道运动，这种特殊轨道满足量子化条件其中L为电子的轨道角动量。电子在这些特定轨道上运动时不辐射也不吸收，能量具有确定值En，称为电子处于稳定状态，即定态。

2)量子跃迁：电子可以从一个定态En跃迁到另一个定态Em，同时辐射或吸收一个光子，光子频率为

称为玻尔频率条件。（2）氢原子线光谱的解释根据这两个概念，可以圆满地解释氢原子的线光谱。假设氢原子中的电子绕核作圆周运动+Fc

vre由量子化条件电子轨道半径：定态能量：与氢原子线光谱的经验公式比较根据Bohr量子跃迁的概念氢原子光谱公式：得Rydberg

常数与实验结果完全一致。（3）量子化条件的推广由理论力学知，若将角动量L

选为广义动量，则θ为广义坐标。考虑积分并利用Bohr提出的量子化条件，有索末菲将Bohr

量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况，这样索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个价电子（Li，Na，K等）的一些原子光谱也能很好的解释。其中Pi为广义动量，qi为广义坐标。（4）波尔量子论的局限性

1）不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的光谱；

2）不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；

3）只能处理周期运动，不能处理非束缚态问题，如散射问题；

4）量子化条件与经典力学不相容，多少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。波尔量子论首次打开了认识原子结构的大门，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识。§2量子力学的诞生（一）deBroglie

波根据Planck-Einstein光量子论，光具有波动粒子二重性，以及Bohr量子论，启发了deBroglie，1923年在其博士论文中仔细分析了光的微粒说与波动说的发展史以及几何光学与经典力学的相似性，提出了实物粒子（静质量m不等于0的粒子）也具有波动性设想。也就是说，粒子和光一样也具有波动-粒子二重性。

deBroglie

假设：与任何实物粒子相联系都存在一列波，称为物质波或deBroglie

波。

deBroglie

关系:

与能量为

E、动量为p的实物粒子相联系的deBroglie

波的频率ν和波长λ满足如下关系自由粒子的deBroglie

波因为自由粒子的能量

E和动量

p都是常量，由deBroglie

关系可知，与自由粒子联系的波的频率ν和波矢k（或波长λ）都不变，所以与自由粒子联系的波是一个单色平面波。或称为描写自由粒子的平面波。

deBroglie

提出物质波假设，一方面企图把实物粒子与光的理论联系起来，另一方面是为了更自然的理解Bohr的量子化条件。驻波条件为了克服Bohr理论带有人为性质的缺陷，deBroglie

把原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。例如：氢原子中作稳定圆周运动的电子相应的驻波示意图要求圆周长是波长的整数倍于是角动量：deBroglie

关系r代入这正是Bohr的量子化条件。

1927-1928年由

Davisson

和Germer

以及G.P.Thomson

完成了电子衍射实验，证实了电子具有波动性。θ法拉第园筒入射电子注镍单晶

d电子波动性的实验验证散射电子束的强度随散射角而改变，当取某些值时，强度有最大值，与x射线的衍射现象相同，衍射最大值由公式nλ=dSin

确定，说明电子具有波动性。

deBroglie获1929年诺贝尔奖，Davisson和Thomson

分享了1937年诺贝尔奖。

(二)量子力学的诞生“量子”概念的提出,包括普朗克量子论,爱因斯坦的光量子论和玻尔的量子论,尽管取得了很大成功，但都带有认为的性质,与经典物理尖锐地冲突,是为了解释实验现象,按照普朗克的说法:“量子化只不过是一个走投无路的做法”。

经典物理学的局限性已经被揭示出来了,在微观世界,面对原子、电子这样的客体必须建立新理论来描述其运动规律。发展玻尔量子论（习惯上称为旧量子论）的尝试遭受了一次又一次的失败。物理学家们不知道应该如何理解旧量子论中的那些古怪而且似乎是临时拼凑出来的规则。科学的发展必须另辟蹊径，德布罗意的物质波假设是一个引人入胜的想法，尽管没有人知道粒子的波动性意味着什么，也不知道它与原子结构有何联系，然而它触及到了微观粒子基本属性的一个未被认识的一个重要方面，因此，随之从1925年元月到1928年元月，一系列事件纷至沓来，最后导致一场科学革命。少有的天才荟萃在一起共同创造了量子力学。量子理论的主要创立者都是年轻人。建立了量子力学的两种等价形式:矩阵力学和波动力学birthdayofquantummechanicsMaxPlanck(1858-1947)

NobelPrize191814December1900Planck(age42)suggeststhatradiationisquantizedE=hn

h=6.626x10-34

J•s1897Thompson(age41)

NobelPrize1906

measurestheelectron"plumpudding"model1905Einstein(age26)proposesthephoton1911Rutherford(age40)infersthenucleus

StatusofphysicsAlbertEinstein(1879-1955)

NobelPrize19211913,Bohr(age28)constructsatheoryofatom1921BohrInstituteopenedinCopenhagen(Denmark)Itbecamealeadingcenterforquantumphysics(Pauli,Heisenberg,Dirac,…)

NielsBohr(1885-1962)

NobelPrize1922oldquantumtheorymatrixformulationofquantummechanicsWernerHeisenberg(1901-1976)NobelPrize1932

1925atGöttingen(Germany)M.Born(age43)W.Heisenberg(age23)P.Jordan(age22)

MaxBorn(1882-1970)NobelPrize1954

wavefunctionformulationofquantummechanicsErwinSchrödinger(1887-1961)NobelPrize1933

1923DeBroglie(age31)matterhaswavepropertiesLouisdeBroglie(1892-1987)

NobelPrize1929

1926Schrödinger(age39)Schrödingerequation1926ErwinSchrödingerinAustriaCarlEckert(age24)inAmericaProved:wavemechanics=matrixmechanics

(SchrödingerandHeisenbergtheoriesequivalentmathematically)

Schrödinger'swavemechanicseventuallybecamethemethodofchoice,becauseitislessabstractandeasiertounderstandthanHeisenberg'smatrixmechanicsNeumann(mathematician)inventedoperatortheory

Largelybecauseofhiswork(publishhisbookin1932),quantumphysicsandoperatortheorycanbeviewedastwoaspectsofthesamesubject.

wavemechanics=matrixmechanicsPaulDirac(1902-1984)NobelPrize1933

1925

Pauli(age25)

PauliexclusionprincipleWolfgangPauli(1900-1958)NobelPrize1945

1928Dirac(age26)

Diracequation(quantum+relativity)1927SolvayConference

HeldinBelgium,theconferencewasattendedbytheworld'smostnotablephysiciststodiscussthenewlyformulatedquantumtheory.§3量子力学的地位和作用

列举20世纪最有影响的科学进展应当包含广义相对论、量子力学、宇宙大爆炸、遗传密码的破译等等。在这些进展当中，量子力学深层次的根本属性使得它处在一个最为独特的位置。它迫使物理学家们改造他们关于实在的观念；迫使他们重新审视事物最深层次的本性；迫使他们修正位置和速度的概念以及原因和结果的定义。尽管量子力学是为描述远离我们的日常生活经验的原子世界而创立的，但它对我们日常生活的影响无比巨大。（一）量子力学打开了通向认识微观世界的大门，并由此开创了物理学的新时代，成就了今天的近代物理学。量子力学相对论原子、分子凝聚态原子核量子场论天体、宇宙起源激光、光纤晶体管、集成电路核能、放射性规范场、标准模型超导大统一信息能源光、电磁场超对称弦??量子引力?黑洞

（二）量子力学促进了化学、生物、医学以及其他每一个关键学科的引人入胜的进展。（三）量子力学是今天已经实现的不计其数的新技术的源泉。

作为量子力学的产物的电子学革命将我们带入了计算机时代，光子学的革命将我们带入信息时代。没有量子力学就没有全球经济可言。

据估计，当前美国国民生产总值的30%以上来自量子力学的发明，如计算机芯片中的半导体、播放机中的激光器、医院的核磁共振成象设备

量子力学提供了一种定量的物质理论。现在，我们原则上可以理解原子结构的每一个细节；周期表也能简单自然地加以解释；巨额的光谱排列也纳入了一个优雅的理论框架。量子力学为定量的理解分子，流体和固体，导体和半导体提供了便利。它能解释诸如超流体和超导体等怪异现象，能解释诸如中子星和玻色-爱因斯坦凝聚（在这种现象里气体中所有原子的行为象一个单一的超大原子）等奇异的物质聚集形式。（四）量子力学潜在的巨大应用量子力学量子计算不断的发展巨大的应用潜力半经典物理量子信息量子密码量子通讯宏观量子态高温超导波色爱因斯坦凝聚相干原子纳米材料\结构量子点\线§4量子力学的基本问题量子理论过去的成功并不意味着它是一个彻底完善的物理学理论。自量子力学诞生以来，关于量子力学的思想基础和基本问题的争论，