【初中数学】专项03-解一元一次方程-重难点题型

解一元一次方程-重难点题型【知识点1方程及一元一次方程的定义】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．【题型1解一元一次方程步骤问题】【例1】（南阳月考）下列方程去分母后，所得结果错误的有（）①由−2x+13−10x+16②由37（3x+7）＝2得21（3x③由2x−16−5x+14=④2x+32−9x+5A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（滑县期末）将方程x0.2−2x−30.5=A．甲：移项时，没变号 B．乙：不应该将分子分母同时扩大10倍 C．丙：5不应该变为50 D．丁：去括号时，括号外面是负号，括号里面的项未变号【变式1-2】（内江期末）关于x的方程0.2x+0.30.2−xA．2x+32−x=B．2x+32−x=C．2x+32−10x=D．2x+32−100x【变式1-3】（门头沟区期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题3x+12甲同学：解方程3x+12解：3x+12×4−x−72（3x﹣1）﹣x﹣7＝4…第②步6x+2﹣x﹣7＝4…第③步6x﹣x＝4﹣2+7…第④步5x＝9…第⑤步x=95．…第乙同学：解方程3x+12解：3x+12×4−x−72（3x﹣1）﹣x+7＝1…第②步6x+2﹣x+7＝1…第③步6x﹣x＝1﹣2﹣7…第④步5x＝﹣8…第⑤步x=−85．…第老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．（1）我选择同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）；（2）该同学的解答过程从第步开始出现错误（填序号），错误的原因是；（3）请写出正确的解答过程．【知识点2一元一次方程的解】定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．

把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．【题型2一元一次方程的解】【例2】（巩义市月考）已知m＝4是关于m的方程3−23（m﹣1）＝2a的解，则关于y的方程a（y﹣1）﹣1＝A．4 B．6 C．1 D．2【变式2-1】（北仑区期末）若不论k取什么实数，关于x的方程2kx+a3−x−bk6=1（a、b是常数）的解总是xA．﹣0.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．1.5【变式2-2】（九龙坡区校级期中）若关于x的方程a3x=x2A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【变式2-3】（唐河县期中）聪聪在对方程x+33−mx−16=5−x2①去分母时，错误的得到了方程2（x+3）﹣mx﹣1＝3（5﹣x）【题型3构造一元一次方程】【例3】（沛县期末）已知|a﹣3|+（b+1）2＝0，代数式2b−a+m2的值比12b−a+m【变式3-1】（张家港市期末）已知关于x的方程3（x﹣2）＝x﹣a的解比x+a2=2x−a3的解小【变式3-2】（鱼台县期末）关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解与5（x﹣3）＝4x﹣10的解互为相反数，求﹣3a2+7a﹣1的值．【变式3-3】（青羊区校级期末）完成下列各题．（1）已知，当x＝2，y＝﹣4时，ax3+12by+5＝2019；求当x＝4，y=−12时，代数式ax（2）若方程x+12−2x−15=12x+1的解与关于x的方程2【题型4同解方程】【例4】（南岗区校级月考）如果方程x+73=2+3x−74的解与方程3x﹣（3a+1）＝x+（2【变式4-1】（大丰区月考）在做解方程练习时，有一个方程“2y−12=18【变式4-2】（十堰期末）已知方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同．（1）求m的值；（2）求代数式（﹣2m）2020﹣（m−32）【变式4-3】（锦江区校级期末）已知关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程2x+15−1（1）求m，n的值；（2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值．【题型5解含绝对值的一元一次方程】【例5】（历城区期末）如果|2x+3|＝|1﹣x|，那么x的值为（）A．−23 B．−32或1 C．−2【变式5-1】（南召县月考）若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x−12|＝1，则A．14或134 B．14 C．54 【变式5-2】（碑林区校级开学）解方程：|x﹣|3x+1||＝4．【变式5-3】（绿园区期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题．解方程：|x﹣5|＝2．解：当x﹣5≥0时，原方程可化为x﹣5＝2，解得x＝7；当x﹣5＜0时，原方程可化为x﹣5＝﹣2，解得x＝3．所以原方程的解是x＝7或x＝3．（1）解方程：|2x+1|＝7．（2）已知关于x的方程|x+3|＝m﹣1．①若方程无解，则m的取值范围是；②若方程只有一个解，则m的值为；③若方程有两个解，则m的取值范围是．【题型6一元一次方程中的新定义问题】【例6】（泗水县期末）定义新运算：a⊗b＝a+b，a⊕b＝a﹣b，等式右边是通常的加法、减法运算．（1）求（﹣2）⊗3+4⊕（﹣2）的值；（2）化简：（a2b）⊗（3ab）+（5a2b）⊕（4ab）；（3）若（2x）⊗1＝（﹣x+2）⊕4，求x的值．【变式6-1】（越秀区校级月考）（定义）若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“友好方程”．（运用）（1）①﹣2x=43，②12x＝﹣1两个方程中为“友好方程”的是（2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值；（3）若关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n（n≠0）是“友好方程”，且它的解为x＝n，则m＝，n＝．【变式6-2】（雨花区校级期末）定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的对称数．若x≥0，则[x]＝x﹣2；若x＜0，则[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2＝0．（1）求[32（2）已知有理数a＞0，b＜0，且满足[a]＝[b]，试求代数式（b﹣a）3﹣2a+2b的值；（3）解方程：[2x]+[x+1]＝1．【变式6-3】（莱山区期末）观察下列两个等式：2−13=2×13我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，13），（5，2（1）数对（﹣2，1），（3，12）中是“共生有理数对”的是（2）若（a，3）是“共生有理数对”，则a的值为（3）若4是“共生有理数对”中的一个有理数，求这个“共生有理数对”

解一元一次方程-重难点题型（解析版）【知识点1方程及一元一次方程的定义】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．【题型1解一元一次方程步骤问题】【例1】（南阳月考）下列方程去分母后，所得结果错误的有（）①由−2x+13−10x+16②由37（3x+7）＝2得21（3x③由2x−16−5x+14=④2x+32−9x+5A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】通过去分母，发现每个解方程都有错误，从而可以得出答案．【解答】解：①由−2x+13−10x+16②由37（3x+7）＝2得3（3x③由2x−16−5x+14=④2x+32−9x+58=故选：D．【变式1-1】（滑县期末）将方程x0.2−2x−30.5=A．甲：移项时，没变号 B．乙：不应该将分子分母同时扩大10倍 C．丙：5不应该变为50 D．丁：去括号时，括号外面是负号，括号里面的项未变号【分析】利用解一元一次方程的方法判断即可．【解答】解：A、方程x0.2−2x−3进一步变形为10x2移项得：10x2故A、B、D错误，C正确，故选：C．【变式1-2】（内江期末）关于x的方程0.2x+0.30.2−xA．2x+32−x=B．2x+32−x=C．2x+32−10x=D．2x+32−100x【分析】根据等式的基本性质进行变形即可．【解答】解：0.2x+0.30.2−x10(0.2x+0.3)10×0.2即2x+32故选：B．【变式1-3】（门头沟区期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题3x+12甲同学：解方程3x+12解：3x+12×4−x−72（3x﹣1）﹣x﹣7＝4…第②步6x+2﹣x﹣7＝4…第③步6x﹣x＝4﹣2+7…第④步5x＝9…第⑤步x=95．…第乙同学：解方程3x+12解：3x+12×4−x−72（3x﹣1）﹣x+7＝1…第②步6x+2﹣x+7＝1…第③步6x﹣x＝1﹣2﹣7…第④步5x＝﹣8…第⑤步x=−85．…第老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正．（1）我选择同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）；（2）该同学的解答过程从第步开始出现错误（填序号），错误的原因是；（3）请写出正确的解答过程．【分析】（1）选择乙同学的解答过程进行分析；（2）第①步开始出现错误，错误的原因是利用等式的性质漏乘；（3）写出正确的解题过程即可．【解答】解：（1）我选择乙同学的解答过程进行分析；（2）该同学的解答过程从第①步开始出现错误（填序号），错误的原因是利用等式的性质漏乘；（3）方程两边同时乘以4，得：2（3x+1）﹣（x﹣7）＝4，去括号，得：6x+2﹣x+7＝4，移项，得：6x﹣x＝4﹣2﹣7，合并同类项，得：5x＝﹣5，系数化1，得：x＝﹣1．故答案为：（1）乙；（2）①；利用等式的性质漏乘．【知识点2一元一次方程的解】定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．

把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．【题型2一元一次方程的解】【例2】（巩义市月考）已知m＝4是关于m的方程3−23（m﹣1）＝2a的解，则关于y的方程a（y﹣1）﹣1＝A．4 B．6 C．1 D．2【分析】把m＝4代入3−23（m﹣1）＝2a求得a的值，然后将其代入关于y的方程求得【解答】解：把m＝4代入3−23（m﹣1）＝2a，得3−2解得a=1所以12（y﹣1）﹣1=解得y＝4．故选：A．【变式2-1】（北仑区期末）若不论k取什么实数，关于x的方程2kx+a3−x−bk6=1（a、b是常数）的解总是xA．﹣0.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．1.5【分析】把x＝1代入得出（b+4）k＝7﹣2a，根据方程总有根x＝1，推出b+4＝0，7﹣2a＝0，求出即可．【解答】解：把x＝1代入得：2k+a3去分母得：4k+2a﹣1+kb＝6，∴（b+4）k＝7﹣2a，∵不论k取什么实数，关于x的方程2kx+a3−x−bk6=1（a∴b+4＝0，7﹣2a＝0，∴a=72，∴a+b=72−故选：A．【变式2-2】（九龙坡区校级期中）若关于x的方程a3x=x2A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【分析】若一元一次方程ax+b＝0无解，则a＝0，b≠0，据此可得出a的值．【解答】解：a3x=去分母得，2ax＝3x﹣x+6，整理得，（2a﹣2）x﹣6＝0，∵方程无解，∴2a﹣2＝0，解得a＝1．故选：A．【变式2-3】（唐河县期中）聪聪在对方程x+33−mx−16=5−x2①去分母时，错误的得到了方程2（x+3）﹣mx﹣1＝3（5﹣x）【分析】将x=52代入方程②，整理即可求出m的值，将m的值代入方程【解答】解：把x=52代入方程②得：2（52+3）−52把m＝1代入方程①得：x+33去分母得：2（x+3）﹣x+1＝3（5﹣x），去括号得：2x+6﹣x+1＝15﹣3x，移项合并得：4x＝8，解得：x＝2，则方程的正确解为x＝2．【题型3构造一元一次方程】【例3】（沛县期末）已知|a﹣3|+（b+1）2＝0，代数式2b−a+m2的值比12b−a+m【分析】先根据|a﹣3|+（b+1）2＝0求出a，b的值，再根据代数式2b−a+m2的值比12b−a+m的值多1列出方程2b−a+m2=12【解答】解：∵|a﹣3|≥0，（b+1）2≥0，且|a﹣3|+（b+1）2＝0，∴a﹣3＝0且b+1＝0，解得：a＝3，b＝﹣1．由题意得：2b−a+m2即：−5+m2m−52解得：m＝0，∴m的值为0．【变式3-1】（张家港市期末）已知关于x的方程3（x﹣2）＝x﹣a的解比x+a2=2x−a3的解小【分析】分别求得关于x的方程3（x﹣2）＝x﹣a、x+a2=2x−a3的解，然后根据题意列出关于【解答】解：∵3（x﹣2）＝x﹣a，∴x=6−a∵x+a2∴x＝5a；∵6−a2比5a小5∴6−a2解得：a＝1．【变式3-2】（鱼台县期末）关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解与5（x﹣3）＝4x﹣10的解互为相反数，求﹣3a2+7a﹣1的值．【分析】先求出第二个方程的解，得出第一个方程的解是x＝﹣5，把x＝﹣5代入第一个方程，再求出a即可．【解答】解：解方程5（x﹣3）＝4x﹣10得：x＝5，∵两个方程的根互为相反数，∴另一个方程的根为x＝﹣5，把x＝﹣5代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：4×（﹣5）﹣（3a+1）＝6×（﹣5）+2a﹣1，解这个方程得：a＝2，所以﹣3a2+7a﹣1＝﹣3×22+7×2﹣1＝1．【变式3-3】（青羊区校级期末）完成下列各题．（1）已知，当x＝2，y＝﹣4时，ax3+12by+5＝2019；求当x＝4，y=−12时，代数式ax（2）若方程x+12−2x−15=12x+1的解与关于x的方程2【分析】（1）将x＝2，y＝﹣4代入得8a﹣2b＝2014，由等式的性质可知：8a﹣2b＝2014，将x＝4，y=−12代入代数式ax+8by3+1013得：原式（2）分别求得两个方程的解，然后利用倒数的定义求得a的值，最后代入求值即可．【解答】解：（1）当x＝2，y＝4时，ax∴23∴8a﹣2b+5＝2019∴8a﹣2b＝2014．当x=4，y=−12时，4a+8b×(−12)3+1013=（2）解方程x+12去分母得5（x+1）﹣2（2x﹣1）＝5x+10，移项，得5x+5﹣4x+2＝5x+10，合并同类项，得﹣4x＝3，化系数为1，得x=−3解方程2x+6a−x去分母，得12x+3（6a﹣x）＝2a﹣12x，去括号，得12x+18a﹣3x＝2a﹣12x，移项、合并同类项，得21x＝﹣16a，化系数为1，得x=−16a∵两个方程的解互为倒数，∴−3∴a=7∴4a+1=4×7【题型4同解方程】【例4】（南岗区校级月考）如果方程x+73=2+3x−74的解与方程3x﹣（3a+1）＝x+（2【分析】先解出第一个方程的解，代入第二个方程中，求出a的值，然后再求a−1【解答】解：x+734（x+7）＝24+3（3x﹣7），4x+28＝24+9x﹣21，4x﹣9x＝24﹣21﹣28，﹣5x＝﹣25，x＝5；把x＝5代入3x﹣（3a+1）＝x+（2a﹣1）得：15﹣3a﹣1＝5+2a﹣1，﹣3a﹣2a＝5﹣1﹣15+1，﹣5a＝﹣10，a＝2，∴a−＝2−＝1.5．答：式子a−1【变式4-1】（大丰区月考）在做解方程练习时，有一个方程“2y−12=18【分析】设■为a，先解出方程5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4＝7的解，代入2y−12=1【解答】解：∵5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4＝7，解得：x＝4，∴y＝x＝4，■为a，则方程“2y−12=1把y＝4代入得：2×4−12=解得：a＝7，∴未知的常数为7．【变式4-2】（十堰期末）已知方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同．（1）求m的值；（2）求代数式（﹣2m）2020﹣（m−32）【分析】（1）分别解出两个方程的解，根据解相同列出方程，解方程即可；（2）代入求值即可．【解答】解：（1）由4x+2m＝3x+1解得：x＝1﹣2m，由3x+2m＝6x+1解得：x=2m−1由题知：1﹣2m=2m−1解得：m=1（2）当m=1（﹣2m）2020﹣（m−32＝（﹣2×12）2020﹣（1＝1+1＝2．【变式4-3】（锦江区校级期末）已知关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程2x+15−1（1）求m，n的值；（2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值．【分析】（1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值，根据两个方程同解可得n的值；（2）把m和n的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式可得a的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程，∴|m|﹣2＝1，m+3≠0，解得：m＝3，当m＝3时，方程为：6x+6n＝0，解得：x＝﹣n，2x+15−12（2x+1）﹣10＝5（x+n），4x+2﹣10＝5x+5n，4x﹣5x＝5n+8，﹣x＝5n+8，解得：x＝﹣5n﹣8，∴﹣5n﹣8＝﹣n，∴n＝﹣2；（2）把m＝3，n＝﹣2代入|a|y+a＝m+1﹣2ny，得：|a|y+a＝4+4y，∴y=4−a∵y的方程|a|y+a＝4+4y无解，∴|a|−4=04−a≠0∴a＝﹣4．【题型5解含绝对值的一元一次方程】【例5】（历城区期末）如果|2x+3|＝|1﹣x|，那么x的值为（）A．−23 B．−32或1 C．−2【分析】根据绝对值的意义得到2x+3＝1﹣x或2x+3＝﹣（1﹣x），然后解两个一次方程即可．【解答】解：∵|2x+3|＝|1﹣x|，∴2x+3＝1﹣x或2x+3＝﹣（1﹣x），∴x=−23或故选：D．【变式5-1】（南召县月考）若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x−12|＝1，则A．14或134 B．14 C．54 【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．【解答】解：因为方程|x−1所以x−1解得x=32或x因为关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x−1所以解方程x+2＝2（m﹣x）得，m=3x+2当x=32时，m当x=−12时，m所以m的值为：134或1故选：A．【变式5-2】（碑林区校级开学）解方程：|x﹣|3x+1||＝4．【分析】从内向外，根据绝对值定义性质简化方程；有|x|＝1，得x＝±1联想此题．【解答】解：原方程式化为x﹣|3x+1|＝4或x﹣|3x+1|＝﹣4（1）当3x+1＞0时，即x＞−1由x﹣|3x+1|＝4得x﹣3x﹣1＝4∴x=−52与x由x﹣|3x+1|＝﹣4得x﹣3x﹣1＝﹣4∴x=（2）当3x+1＜0时，即x＜−1由x﹣|3x+1|＝4得x+3x+1＝4∴x=34与x由x﹣|3x+1|＝﹣4得x+3x+1＝﹣4∴x=−故原方程的解是x=−54或【变式5-3】（绿园区期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题．解方程：|x﹣5|＝2．解：当x﹣5≥0时，原方程可化为x﹣5＝2，解得x＝7；当x﹣5＜0时，原方程可化为x﹣5＝﹣2，解得x＝3．所以原方程的解是x＝7或x＝3．（1）解方程：|2x+1|＝7．（2）已知关于x的方程|x+3|＝m﹣1．①若方程无解，则m的取值范围是；②若方程只有一个解，则m的值为；③若方程有两个解，则m的取值范围是．【分析】（1）类比题干的解题过程，根据绝对值的定义，解决问题（1）．（2）根据绝对值的非负性，任意a，|a|≥0．进而解决问题（2）．【解答】解：（1）当2x+1≥0时，原方程可化为2x+1＝7，解得x＝3；当2x+1＜0时，原方程可化为2x+1＝﹣7，解得x＝﹣4．∴原方程的解是x＝3或x＝﹣4．（2）①∵任意a，|a|≥0，∴若关于x的方程|x+3|＝m﹣1无解，则m﹣1＜0．∴m＜1．②若关于x的方程|x+3|＝m﹣1只有一个解，则m﹣1＝0．∴m＝1．③若关于x的方程|x+3|＝m﹣1有两个解，则m﹣1＞0．∴m＞1．故答案为：①m＜1；②1；③m＞1．【题型6一元一次方程中的新定义问题】【例6】（泗水县期末）定义新运算：a⊗b＝a+b，a⊕b＝a﹣b，等式右边是通常的加法、减法运算．（1）求（﹣2）⊗3+4⊕（﹣2）的值；（2）化简：（a2b）⊗（3ab）+（5a2b）⊕（4ab）；（3）若（2x）⊗1＝（﹣x+2）⊕4，求x的值．【分析】根据新运算的定义，将新运算转化为常规运算，利用相关法则解答．【解答】解：（1）∵a⊗b＝a+b，a⊕b＝a﹣b，∴（﹣2）⊗3+4⊕（﹣2）＝（﹣2）+3+4﹣（﹣2）＝﹣2+3+4+2＝7．（2）∵a⊗b＝a+b，a⊕b＝a﹣b，∴（a2b）⊗（3ab）+（5a2b）⊕（4ab）＝（a2b）+3ab+（5a2b）﹣（4ab）＝a2b+3ab+5a2b﹣4ab＝6a2b﹣ab．（3）∵a⊗b＝a+b，a⊕b＝a﹣b，∴（2x）⊗1＝（﹣x+2）⊕4转变为：2x+1＝﹣x+2﹣4．解这个方程得：x＝﹣1．答：x的值为﹣1．【变式6-1】（越秀区校级月考）（定义）若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“友好方程”．（运用）（1）①﹣2x=43，②12x＝﹣1两个方程中为“友好方程”的是（2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值；（3）若关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n（n≠0）是“友好方程”，且它的解为x＝n，则m＝，n＝．【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；（2）根据题中的新定义列出有关b的方程，求出方程的解即可得到b的值；利用题中的新定义确定出所求即可；（3）根据“友好方程”的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值．【解答】解：（1）①﹣2x=4解得：x=−而−2②12x解得：x＝﹣2，﹣2≠﹣1+1故答案是：①；（2）方程3x＝b的解为x=b所以b3=3+解得b=−9（3）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn