【初中数学】专项01-有理数-比较大小-重难点题型

有理数-比较大小-重难点题型【知识点1有理数比较大小的法则】两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：【题型1利用法则比较有理数的大小】【例1】（盘龙区期末）下列正确的是（）A．﹣（﹣21）＜+（﹣21） B．−|−101C．−|−723|=−(−7【变式1-1】（和平区期中）下列各组数的大小关系，正确的是（）A．﹣（−14）＞﹣[+（﹣0.25）] B．1C．−227＞−3.14【变式1-2】（锦江区校级期中）用“＜”号连接三个数：|﹣3.5|，−3A．−32＜0.75＜|﹣3.5| B．C．|﹣3.5|＜−32＜0.75【变式1-3】（河东区期中）把﹣（﹣1），−23，﹣|A．0＞﹣（﹣1）＞−23＞−|−45| C．0＞−23＞−|−45|﹣（﹣1） 【题型2利用特殊值法比较有理数的大小】【例2】（肇源县期末）若0＜m＜1，m、m2、1mA．m＜m2＜1m B．m2＜m＜1m C．1m＜m＜m2 【变式2-1】（晋州市期中）若a＞1，则|a|，﹣a，1aA．|a|＞﹣a＞1a B．1a＞−a＞|a| C．|a|＞1a＞−a【变式2-2】（永春县期中）如果y＞0，则x，x﹣y，x+y大小关系正确的是（）A．x＜x﹣y＜x+y B．x﹣y＜x＜x+y C．x＜x+y＜x﹣y D．x﹣y＜x+y＜x【变式2-3】（朝阳区期末）设a，b，c为非零有理数，a＞b＞c，则下列大小关系一定成立的是（）A．a﹣b＞b﹣c B．1a＜1b＜1c C．a2＞b2＞c2 D．【知识点2数轴法比较有理数大小】在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.【题型3利用数轴比较有理数的大小（画数轴）】【例3】（天宁区月考）在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数．﹣|﹣3.5|，112，0，﹣（﹣21【变式3-1】（渝中区校级月考）如图是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出下列各数所代表的点，并将对应字母标在数轴上方的相应位置，最后请将这些数用“＜”连接起来．点A：2；点B：﹣1.5；点C：300%；点D：﹣（−12）；点E：﹣|【变式3-2】（太原期中）如图，在数轴上有A，B两点，点A在点B的左侧．已知点A对应的数为﹣3，点B对应的数为2．（1）请在该数轴上标出原点的位置，并将有理数−9（2）将﹣3，2，0，−92，3.4这五个数用“＜”连接为：【变式3-3】（普陀区期中）写出数轴上点A、B表示的数，并且在数轴上分别画出点C、D，点C表示数12；点D表示数225，最后将点A、B、C、解：点A表示数，点B表示数；＞＞＞．【题型4利用数轴比较有理数的大小（含字母）】【例4】（双阳区期末）如图，数a在原点的左边，则a、﹣a、0的大小关系正确的是（）A．﹣a＜0＜a B．﹣a＜a＜0 C．a＜0＜﹣a D．a＜﹣a＜0【变式4-1】（沙坪坝区校级期中）有理数a在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．a＜﹣1＜﹣a＜1 B．a＜﹣1＜1＜﹣a C．﹣1＜a＜﹣a＜1 D．﹣1＜a＜1＜﹣a【变式4-2】（沙依巴克区期末）a、b两数在数轴上位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，其中正确的是（）A．a＜﹣a＜b＜﹣b B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．﹣a＜b＜﹣b＜a D．﹣b＜a＜b＜﹣a【变式4-3】（江岸区校级月考）若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a、﹣a、b、﹣b的大小关系是（）A．﹣b＜b＜a＜﹣a B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．﹣b＜﹣a＜b＜a D．﹣a＜﹣b＜b＜a【题型5生活中的有理数的大小比较】【例5】（平定县期末）如图，表示某一天我国四个城市的最低气温，其中温度最低的城市是（）A．北京 B．哈尔滨 C．武汉 D．上海【变式5-1】（太原期末）2020年末“霸王级”寒潮来袭，全国各地气温骤降．如图表示2021年元月某天山西省四个城市的天气情况．这一天最高气温最低的城市为（）A．大同 B．太原 C．长治 D．晋城【变式5-2】（惠安县期末）某届足球首轮比赛中，A队4：2胜B队，C队2：3负于D队．将A、B、C、D这4个队按净胜球数由好到差排序正确的是（）A．A＞B＞C＞D B．A＞C＞B＞D C．A＞D＞C＞B D．A＞B＞D＞C【变式5-3】（温州月考）某测绘小组的技术员要测量A、B两处的高度差（A、B两处无法直接测量），他们首先选择了D、E、F、G四个中间点，并测得它们的高度差如下表：hA﹣hDhE﹣hDhF﹣hEhG﹣hFhB﹣hG4.5﹣1.7﹣0.81.93.6根据以上数据，可以判断A、B之间的高度关系为（）A．B处比A处高 B．A处比B处高 C．A、B两处一样高 D．无法确定【题型6有理数大小比较中的新定义问题】【例6】（改编题）定义a∨b表示a、b两数中较大的一个，a∧b表示a、b两数中较小的一个，则（-50∨-52）∨（-49∧51）的结果是（）A．-50 B．-52 C．-49 D．51【变式6-1】（赤壁市校级月考改编）设用符号＜a，b＞表示a，b两数中较小的数，用[a，b]表示a，b两数中较大的数．试求＜1，3＞+[5，＜﹣2，-7＞]的值．【变式6-2】（改编题）规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．当x＝0时，化简[x]+（x）+[x）的结果是．【变式6-3】（德惠市期末）若[x）表示大于x的最小整数，如[5）＝6，[﹣1.8）＝﹣1，则下列结论中正确的有．（填写所有正确结论的序号）①[0）＝1；②[35）−35=0；③[x）﹣x＜0；④x＜[x）≤x+1；⑤存在有理数x使[

有理数比较大小-重难点题型（解析版）【知识点1有理数比较大小的法则】两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：【题型1利用法则比较有理数的大小】【例1】（盘龙区期末）下列正确的是（）A．﹣（﹣21）＜+（﹣21） B．−|−101C．−|−723|=−(−7【分析】求出每个式子的值，再判断即可，选项D求出绝对值，再比较即可．【解答】解：A、∵﹣（﹣21）＝21，+（﹣21）＝﹣21，∴﹣（﹣21）＞+（﹣21），故本选项错误；B、∵﹣|﹣1012|＝﹣101∴﹣|﹣1012|＜82C、∵﹣|﹣723|＝﹣723，﹣（﹣723∴﹣|﹣723|＜﹣（﹣72D、∵|−56|=56，|∴−5故选：D．【点评】本题考查了绝对值，相反数，有理数的大小比较的应用，主要考查学生的化简能力和判断能力．【变式1-1】（和平区期中）下列各组数的大小关系，正确的是（）A．﹣（−14）＞﹣[+（﹣0.25）] B．1C．−227＞−3.14【分析】根据有理数大小比较方法逐一判断即可．【解答】解：A、∵−(−14)=∴−(−1故本选项不合题意；B、∵11000∴11000故本选项不合题意；C、∵|−227|=∴−22故本选项不合题意；D、∵|−45|=45∴−4故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了有理数有大小比较，明确比较有理数的大小的方法：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．【变式1-2】（锦江区校级期中）用“＜”号连接三个数：|﹣3.5|，−3A．−32＜0.75＜|﹣3.5| B．C．|﹣3.5|＜−32＜0.75【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③两个负数绝对值大的反而小进行分析即可．【解答】解：∵|﹣3.5|＝3.5，∴−3故选：A．【点评】此题主要考查了有理数的大小比较，关键是掌握有理数的大小比较的法则．【变式1-3】（河东区期中）把﹣（﹣1），−23，﹣|A．0＞﹣（﹣1）＞−23＞−|−45| C．0＞−23＞−|−45|﹣（﹣1） 【分析】根据正数大于负数和0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可解答．【解答】解：﹣（﹣1）＝1，﹣|−45|﹣（﹣1）＞0＞−23＞−故选：D．【点评】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记正数大于负数和0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．【题型2利用特殊值法比较有理数的大小】【例2】（肇源县期末）若0＜m＜1，m、m2、1mA．m＜m2＜1m B．m2＜m＜1m C．1m＜m＜m2 【分析】利用特殊值法进行判断．【解答】解：当m=12时，m2=1所以m2＜m＜1故选：B．【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．【变式2-1】（晋州市期中）若a＞1，则|a|，﹣a，1aA．|a|＞﹣a＞1a B．1a＞−a＞|a| C．|a|＞1a＞−a【分析】根据a＞1，可得：|a|＞1，﹣a＜﹣1，0＜1【解答】解：∵a＞1，∴|a|＞1，﹣a＜﹣1，0＜1∴|a|＞1a故选：C．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．【变式2-2】（永春县期中）如果y＞0，则x，x﹣y，x+y大小关系正确的是（）A．x＜x﹣y＜x+y B．x﹣y＜x＜x+y C．x＜x+y＜x﹣y D．x﹣y＜x+y＜x【分析】根据有理数的加减法则，求出x﹣y＜x，x+y＞x，即可得出答案．【解答】解：∵y＞0，∴x﹣y＜x，x+y＞x，即x﹣y＜x＜x+y，故选：B．【点评】本题考查了有理数的大小比较，有理数的加法、减法等知识点的应用，熟练地运用法则进行推理是解此题的关键，题型较好，是一道容易出错的题目．【变式2-3】（朝阳区期末）设a，b，c为非零有理数，a＞b＞c，则下列大小关系一定成立的是（）A．a﹣b＞b﹣c B．1a＜1b＜1c C．a2＞b2＞c2 D．【分析】根据等式的性质和反例，结合有理数大小比较的方法即可求解．【解答】解：A、当a＝0，b＝﹣2，c＝﹣5时，a﹣b＜b﹣c，不符合题意；B、当a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5时，1aC、当a＝0，b＝﹣2，c＝﹣5时，a2＜b2＜c2，不符合题意；D、∵a＞b，∴a﹣c＞b﹣c，符合题意．故选：D．【点评】考查了有理数大小比较，特例法是解题的一种方法．【知识点2数轴法比较有理数大小】在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.【题型3利用数轴比较有理数的大小（画数轴）】【例3】（天宁区月考）在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数．﹣|﹣3.5|，112，0，﹣（﹣21【分析】先在数轴上表示出来，再比较大小即可．【解答】解：在数轴上把各数表示出来为：用“＜”连接各数为：﹣|﹣3.5|＜﹣（+1）＜0＜112＜−（﹣2【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，能理解有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．【变式3-1】（渝中区校级月考）如图是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出下列各数所代表的点，并将对应字母标在数轴上方的相应位置，最后请将这些数用“＜”连接起来．点A：2；点B：﹣1.5；点C：300%；点D：﹣（−12）；点E：﹣|【分析】先把数轴画完整，然后在数轴上表示出各数，再根据数轴上表示的数，它们从左往右的顺序，就是它们由小到大的顺序，从而得出结果．【解答】解：300%＝3，﹣（−12）=12，﹣|如图所示：故﹣1.5＜﹣|−13|【点评】本题考查了数轴以及有理数的大小比较，解答本题的关键是在数轴上表示出各个数字．【变式3-2】（太原期中）如图，在数轴上有A，B两点，点A在点B的左侧．已知点A对应的数为﹣3，点B对应的数为2．（1）请在该数轴上标出原点的位置，并将有理数−9（2）将﹣3，2，0，−92，3.4这五个数用“＜”连接为：【分析】（1）根据点A、B表示的数确定原点位置，再将有理数−9（2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案．【解答】解：（1）如图所示：（2）将﹣3，2，0，−92，3.4这五个数用“＜”连接为：故答案为：−9【点评】本题考查了有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．【变式3-3】（普陀区期中）写出数轴上点A、B表示的数，并且在数轴上分别画出点C、D，点C表示数12；点D表示数225，最后将点A、B、C、解：点A表示数，点B表示数；＞＞＞．【分析】利用数轴表示各数，然后再根据在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大将点A、B、C、D所表示的数用“＞”连接．【解答】解：如图所示，点A表示数134，点B表示数故225故答案为：134；225；134；【点评】本题主要考查了数轴以及有理数大小比较，理解每个分数表示的意义，然后正确在数轴上表示出各个数是解决本题的关键，另外也要明确：数轴上右边的数大于左边的数．【题型4利用数轴比较有理数的大小（含字母）】【例4】（双阳区期末）如图，数a在原点的左边，则a、﹣a、0的大小关系正确的是（）A．﹣a＜0＜a B．﹣a＜a＜0 C．a＜0＜﹣a D．a＜﹣a＜0【分析】根据图示，可得：a＜0，﹣a＞0，据此判断出a、﹣a、0的大小关系即可．【解答】解：根据图示，可得：a＜0，﹣a＞0，∴a＜0＜﹣a．故选：C．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．【变式4-1】（沙坪坝区校级期中）有理数a在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．a＜﹣1＜﹣a＜1 B．a＜﹣1＜1＜﹣a C．﹣1＜a＜﹣a＜1 D．﹣1＜a＜1＜﹣a【分析】数轴上表示的数，它们从左往右的顺序，就是它们由小到大的顺序，据此确定a，﹣a与﹣1，1的大小关系．【解答】解：根据数轴可以得到﹣1＜a＜0＜1，∴0＜﹣a＜1，∴﹣1＜a＜﹣a＜1．故选：C．【点评】此题综合考查了数轴的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．【变式4-2】（沙依巴克区期末）a、b两数在数轴上位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，其中正确的是（）A．a＜﹣a＜b＜﹣b B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．﹣a＜b＜﹣b＜a D．﹣b＜a＜b＜﹣a【分析】根据a、b在数轴上的位置，可对a、b赋值，然后即可用“＜”连接．【解答】解：令a＝﹣0.8，b＝1.5，则﹣a＝0.8，﹣b＝﹣1.5，则可得：﹣b＜a＜﹣a＜b．故选：B．【点评】本题考查了有理数的大小比较及数轴的知识，同学们注意赋值法的运用，这可以给我们解题带来很大的方便．【变式4-3】（江岸区校级月考）若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a、﹣a、b、﹣b的大小关系是（）A．﹣b＜b＜a＜﹣a B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．﹣b＜﹣a＜b＜a D．﹣a＜﹣b＜b＜a【分析】根据已知和有理数的大小比较法则比较即可．【解答】解：∵a、b为有理数，且a＞0，b＜0，|a|＞|b|，∴a、﹣a、b、﹣b的大小关系是﹣a＜b＜﹣b＜a，故选：B．【点评】本题考查了相反数和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键．【题型5生活中的有理数的大小比较】【例5】（平定县期末）如图，表示某一天我国四个城市的最低气温，其中温度最低的城市是（）A．北京 B．哈尔滨 C．武汉 D．上海【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：∵﹣20°C＜﹣10°C＜0°C＜5°C，∴所给的四个城市，温度最低的城市是哈尔滨．故选：B．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．【变式5-1】（太原期末）2020年末“霸王级”寒潮来袭，全国各地气温骤降．如图表示2021年元月某天山西省四个城市的天气情况．这一天最高气温最低的城市为（）A．大同 B．太原 C．长治 D．晋城【分析】两个负数，其绝对值大的反而小，比较即可．【解答】解：因为﹣10＜﹣5＜﹣3＜﹣2，所以这一天最高气温最低的城市为大同．故选：A．【点评】本题考查了有理数大小比较，熟记有理数的大小比较法则是解答本题的关键．【变式5-2】（惠安县期末）某届足球首轮比赛中，A队4：2胜B队，C队2：3负于D队．将A、B、C、D这4个队按净胜球数由好到差排序正确的是（）A．A＞B＞C＞D B．A＞C＞B＞D C．A＞D＞C＞B D．A＞B＞D＞C【分析】先求出这4个队的净胜球数，再比较大小即可．【解答】解：A队的净胜球为：4﹣2＝2，B队的净胜球为：2﹣4＝﹣2，C队的净胜球为：2﹣3＝﹣1，D队的净胜球为：3﹣2＝1，因为2＞1＞﹣1＞﹣2，所以按净胜球数由好到差排序为：A＞D＞C＞B，故选：C．【点评】本题主要考查了正数和负数的意义，有理数的比较大小，考核学生的应用意识，理解题意是关键．【变式5-3】（温州月考）某测绘小组的技术员要测量A、B两处的高度差（A、B两处无法直接测量），他们首先选择了D、E、F、G四个中间点，并测得它们的高度差如下表：hA﹣hDhE﹣hDhF﹣hEhG﹣hFhB﹣hG4.5﹣1.7﹣0.81.93.6根据以上数据，可以判断A、B之间的高度关系为（）A．B处比A处高 B．A处比B处高 C．A、B两处一样高 D．无法确定【分析】根据题目所给的条件分别计算出A处比F处高多少，B处比F处高多少，即可选出答案．【解答】解：∵hA﹣hD＝4.5，∴A处比D处高4.5，∵hE﹣hD＝﹣1.7，∴D处比E处高1.7，∴A处比E处高6.2，∵hF﹣hE＝﹣0.8，∴E处比F处高0.8，∴A处比F处高7.0，∵hG﹣hF＝1.9，∴G处比F处高1.9，∵hB﹣hG＝3.6，∴B处比G处高3.6，∴B处比F处高5.5，∴A处比B处高，故选：B．【点评】此题主要考查了有理数的大小，关键是根据题目所给条件，判断出A、B处比F处个高多少．【题型6有理数大小比较中的新定义问题】【例6】（改编题）定义a∨b表示a、b两数中较大的一个，a∧b表示a、b两数中较小的一个，则（-50∨-52）∨（-49∧51）的结果是（）A．-50 B．-52 C．-49 D．51【分析】根据a∨b表示a、b两数中较大的一个，a∧b表示a、b两数中较小的一个，先计算小括号里面的，再计算括号外面的．【解答】解：（-50∨-52）∨（-49∧51）＝-50∨-49＝-49．故选：C．【点评】考查了新定义的运算，关键是对新定义的理解和运算顺序