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第1页(共1页)2024-2025学年广东省广州市海珠区中山大学附中八年级(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分).1.(3分)下列式子中是分式的是()A. B. C. D.2.(3分)下列运算正确的是()A.2y3+y3=3y6 B.y2•y3=y6 C.(3y2)3=9y6 D.y3÷y﹣2=y53.(3分)若等腰三角形的底角是顶角的2倍,则这个等腰三角形的底角的度数是()A.36° B.72° C.36°或72° D.无法确定的4.(3分)若分式的值为0,则x的值为()A.0 B.1 C.﹣1 D.±15.(3分)下列因式分解中,正确的是()A.x2﹣4y2=(x﹣4y)(x+4y) B.ax+ay+a=a(x+y) C.a(x﹣y)+b(y﹣x)=(x﹣y)(a﹣b) D.4x2+9=(2x+3)26.(3分)已知:如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,且EF⊥BC于点F.若∠C=35°,∠DEF=15°()A.60° B.65° C.75° D.85°7.(3分)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为14,则AC的长为()A.6 B.5 C.7 D.88.(3分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点B的坐标为(﹣1,0),点C的坐标为(1,4)()A.(5,2) B.(4,2) C.(﹣5,2) D.(﹣4,2)9.(3分)已知,如图,△ABC是等边三角形,BQ⊥AD于Q,BE交AD于点P,②AQ=BQ,③BP=2PQ,其正确的结论有()A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④10.(3分)若关于x的方程的解为负数,且关于x的不等式组,则所有满足条件的整数a的值之和是()A.9 B.7 C.5 D.10二、填空题(每小题3分,共18分)11.(3分)计算:(π﹣3.14)0=.12.(3分)已知点A关于x轴的对称点B的坐标为(1,﹣2),则点A的坐标为.13.(3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAD=30°,BC=6.14.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=6,BD=2CD,则点D到线段AB的距离为.15.(3分)边长分别为m和2m的两个正方形如图的样式摆放,则图中阴影部分的面积为.16.(3分)如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,AC=b,若a2﹣10a+b2﹣18b+106=0,则CD的取值范围是.三、解答题(本大题共9小题,满分72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6分)计算题:(1)计算:;(2)化简:.18.(6分)分解因式及解方程:(1)分解因式:2a2﹣8;(2)解方程:﹣=.19.(6分)如图,△ABC中,A点坐标为(2,4)(﹣3,﹣2),C点坐标为(3,1).(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(不写画法),并写出点A′,B′(2)求△ABC的面积.20.(6分)在△ABC中,AB=AC,∠A=36°.(1)求作点D,使得点D在边AC上,且点D到边AB和边BC的距离相等(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)条件下,比较线段DA与BC的大小关系21.(6分)化简式子,然后从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.22.(8分)已知:如图,PC平分∠APB,CM⊥PA于M,D、E分别是边PA和PB上的点,且CD=CE.求证:∠APB+∠DCE=180°.23.(10分)阳光体育用品店有甲、乙两种品牌的篮球,已知乙品牌篮球的单价比甲品牌篮球的单价多20元,用800元购买甲品牌篮球的数量是用500元购买乙品牌篮球数量的2倍.(1)求甲、乙两种品牌篮球的单价;(2)该店在国庆节期间开展优惠活动,甲品牌篮球按原单价的9折出售,乙品牌篮球按原单价的8.5折出售,总费用不超过4000元,那么最多可购买多少个乙品牌篮球?24.(12分)阅读材料:对于非零实数a,b,若关于x的分式的值为零1=a,x2=b.又因为﹣(a+b),所以关于x的方程x+=a+b的解为x1=a,x2=b.(1)理解应用:方程的解为:x1=,x2=;(2)知识迁移:若关于x的方程x+=5的解为x1=a,x2=b,求a2+b2的值;(3)拓展提升:若关于x的方程=k﹣x的解为x1=t+1,x2=t2+2,求k2﹣4k+2t3的值.25.(12分)在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,A(4,0),B(0,b),且b满足|4﹣b|=0.(1)求点B的坐标.(2)P(0,t)为y轴上一动点,连接AP,且PM=PA.①如图1,若点P在y轴正半轴上,点M在第一象限,过点B作PM的平行线交x轴于点R,求点R的坐标(用含t的式子表示).②如图2,连接OM,探究当OM取最小值时
2024-2025学年广东省广州市海珠区中山大学附中八年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案CDBBCBACDA一、选择题(本大题共有10小题,每小题3分,共30分).1.(3分)下列式子中是分式的是()A. B. C. D.【解答】解:、、的分母中不含有字母,的分母中含有字母.故选:C.2.(3分)下列运算正确的是()A.2y3+y3=3y6 B.y2•y3=y6 C.(3y2)3=9y6 D.y3÷y﹣2=y5【解答】解:2y3+y7=3y3,A错误;y8•y3=y5,B错误;(3y2)3=27y7,C错误;y3÷y﹣2=y6﹣(﹣2)=y5,故选:D.3.(3分)若等腰三角形的底角是顶角的2倍,则这个等腰三角形的底角的度数是()A.36° B.72° C.36°或72° D.无法确定的【解答】解:设顶角为x度,则底角为2x度,则:x+2x+4x=180,解得:x=36,∴2x=72,故选:B.4.(3分)若分式的值为0,则x的值为()A.0 B.1 C.﹣1 D.±1【解答】解:∵分式的值为零,∴,解得x=8.故选:B.5.(3分)下列因式分解中,正确的是()A.x2﹣4y2=(x﹣4y)(x+4y) B.ax+ay+a=a(x+y) C.a(x﹣y)+b(y﹣x)=(x﹣y)(a﹣b) D.4x2+9=(2x+3)2【解答】解:A、x2﹣4y7=(x﹣2y)(x+2y),选项错误;B、ax+ay+a=a(x+y+3),不符合题意;C、a(x﹣y)+b(y﹣x)=(x﹣y)(a﹣b),符合题意;D、4x2+8无法分解因式,选项错误;故选:C.6.(3分)已知:如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,且EF⊥BC于点F.若∠C=35°,∠DEF=15°()A.60° B.65° C.75° D.85°【解答】解:∵EF⊥BC,∠DEF=15°,∴∠ADB=90°﹣15°=75°.∵∠C=35°,∴∠CAD=75°﹣35°=40°.∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAC=2∠CAD=80°,∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣80°﹣35°=65°.故选:B.7.(3分)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为14,则AC的长为()A.6 B.5 C.7 D.8【解答】解:由作图过程可知,直线MN为线段AB的垂直平分线,∴AD=BD.∵△ADC的周长为14,∴AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=8+AC=14,∴AC=6.故选:A.8.(3分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点B的坐标为(﹣1,0),点C的坐标为(1,4)()A.(5,2) B.(4,2) C.(﹣5,2) D.(﹣4,2)【解答】解:如图,过A作AD⊥x轴于D,则∠ADB=∠CEB=90°,∵∠ABC=90°,∴∠ABD=∠BCE,又∵AB=BC,∴△ABD≌△BCE(AAS),∴AD=BE,BD=CE,又∵点B的坐标为(﹣1,0),8),∴BE=2=AD,BD=CE=4,∴DO=5+1=5,∴点A的坐标为(﹣7,2),故选:C.9.(3分)已知,如图,△ABC是等边三角形,BQ⊥AD于Q,BE交AD于点P,②AQ=BQ,③BP=2PQ,其正确的结论有()A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④【解答】解:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠BAE=∠C=60°.在△BAE和△ACD中,,∴△BAE≌△ACD(SAS).∴∠ABE=∠CAD,∵∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°,∴∠APE=∠BAD+∠ABE=60°,∴∠APE=∠C,故①的结论是正确,符合题意;∵BQ⊥AD于Q,∴∠BQP=90°.∵∠BPQ=∠APE=60°,∴∠PBQ=90°﹣∠BAQ=90°﹣60°=30°.∴BP=2PQ,故③的结论是正确,符合题意;∵AE=CD,∴AE+BD=CD+BD=BC=AB,故④的结论是正确,符合题意;若AQ=BQ,BQ⊥AD,∠ABQ=45°,故②的结论是错误,不符合题意;∴正确的结论有①③④,故选:D.10.(3分)若关于x的方程的解为负数,且关于x的不等式组,则所有满足条件的整数a的值之和是()A.9 B.7 C.5 D.10【解答】解:,a(x+1)+(x+1)(x﹣7)=(x+a)(x﹣1),ax+a+x2﹣8=x2﹣x+ax﹣a,x2﹣x4+ax﹣ax+x=1﹣a﹣a,x=1﹣5a,∵关于x的方程的解为负数,∴1﹣2a<2且1﹣2a≠±2,解得:且a≠3;,由①得:x<a,由②得:x≥4,∵关于x的不等式组无解,∴a≤4,∴a的取值范围为:且a≠1,∴所有满足条件的整数a的值为:6或3或4,∴所有满足条件的整数a的值之和是:3+3+4=7,故选:A.二、填空题(每小题3分,共18分)11.(3分)计算:(π﹣3.14)0=1.【解答】解:(π﹣3.14)0=6,故答案为1.12.(3分)已知点A关于x轴的对称点B的坐标为(1,﹣2),则点A的坐标为(1,2).【解答】解:∵点A关于x轴的对称点B的坐标为(1,﹣2),∴点A的坐标为:(6,2).故答案为:(1,7).13.(3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAD=30°,BC=69.【解答】解:∵D是BC的中点,BC=6,∴CD=DB=BC=3.∵Rt△ABC中,∠C=90°,∴AD=2CD=4,∴AD+DB=6+3=8.故答案为:9.14.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=6,BD=2CD,则点D到线段AB的距离为2.【解答】解:过点D作DE⊥AB于E,∵BC=6,BD=2CD,∴CD=2,∵AD平分∠BAC,∠C=90°,∴DE=CD=2,即点D到线段AB的距离为2,故答案为:6.15.(3分)边长分别为m和2m的两个正方形如图的样式摆放,则图中阴影部分的面积为2m2.【解答】解:m2+(2m)8﹣(m+4m)×2m=2m3.故答案为:2m2.16.(3分)如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,AC=b,若a2﹣10a+b2﹣18b+106=0,则CD的取值范围是2<CD<7.【解答】解:已知等式整理得:(a2﹣10a+25)+(b2﹣18b+81)=2,即(a﹣5)2+(b﹣4)2=0,∵(a﹣6)2≥0,(b﹣6)2≥0,∴a﹣3=0,b﹣9=8,解得:a=5,b=9,∴BC=7,AC=9,延长CD到E,使DE=CD,∵CD为AB边上的中线,∴BD=AD,在△BCD和△AED中,,∴△BCD≌△AED(SAS),∴AE=BC=a,在△ACE中,AC﹣AE<CE<AC+AE,∴AC﹣BC<2CD<AC+AE,即b﹣a<6CD<a+b,∴<CD<,则8<CD<7.故答案为:2<CD<6.三、解答题(本大题共9小题,满分72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6分)计算题:(1)计算:;(2)化简:.【解答】解:(1)=﹣8+8﹣9=﹣16;(2)======.18.(6分)分解因式及解方程:(1)分解因式:2a2﹣8;(2)解方程:﹣=.【解答】解:(1)2a2﹣2=2(a2﹣8)=2(a+2)(a﹣7);(2)方程两边同乘以(x+3)(x﹣3)得:x﹣2+2(x+3)=12,x﹣8+2x+6=12,3x=9,x=3,经检验x=3是原方程的增根,原分式方程无解.19.(6分)如图,△ABC中,A点坐标为(2,4)(﹣3,﹣2),C点坐标为(3,1).(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(不写画法),并写出点A′,B′(2)求△ABC的面积.【解答】解:(1)如图,A′(﹣2,B′(3,C′(﹣8;(2)S△ABC=6×6﹣×5×6﹣×1×2,=36﹣15﹣9﹣1,=10.20.(6分)在△ABC中,AB=AC,∠A=36°.(1)求作点D,使得点D在边AC上,且点D到边AB和边BC的距离相等(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);(2)在(1)条件下,比较线段DA与BC的大小关系【解答】解:(1)如图,作∠ABC的平分线,则点D即为所求.(2)理由:DA=BC.∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.∵射线BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴∠ABD=∠A,∠CDB=72°,∴∠CDB=∠C,∴DA=BD=BC.21.(6分)化简式子,然后从﹣2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.【解答】解:====,∵﹣2≤x≤2,∴当x=6时,原式=.22.(8分)已知:如图,PC平分∠APB,CM⊥PA于M,D、E分别是边PA和PB上的点,且CD=CE.求证:∠APB+∠DCE=180°.【解答】证明:∵PC平分∠APB,CM⊥PA于M,∴CM=CN,在Rt△DCM与Rt△ECN中,,∴Rt△DCM≌Rt△ECN(HL),∴∠DCM=∠ECN,∴∠MCN=∠MCD+∠DCN=∠ECN+∠DCN=∠DCE,∵∠PMC+∠PNC+∠APB+∠MCN=90°+90°+∠APB+∠MCN=360°,∴∠APB+∠MCN=180°,∴∠APB+∠DCE=180°.23.(10分)阳光体育用品店有甲、乙两种品牌的篮球,已知乙品牌篮球的单价比甲品牌篮球的单价多20元,用800元购买甲品牌篮球的数量是用500元购买乙品牌篮球数量的2倍.(1)求甲、乙两种品牌篮球的单价;(2)该店在国庆节期间开展优惠活动,甲品牌篮球按原单价的9折出售,乙品牌篮球按原单价的8.5折出售,总费用不超过4000元,那么最多可购买多少个乙品牌篮球?【解答】解:(1)设甲种品牌篮球的单价是x元,乙种品牌的单价是(x+20)元,根据题意得:=2×,解得:x=80,经检验,x=80是原方程的解且符合实际意义,x+20=100,答:甲种品牌篮球的单价为80元,乙种品牌篮球的单价为100元,(2)设本次购买m个乙种品牌篮球,则购买(50﹣m)个甲种品牌篮球,根据题意得:0.2×80(50﹣m)+0.85×100m≤4000,解得:m,因为m为正整数,所以m的最大值为30,答:最多可购买30个乙种品牌的篮球.24.(12分)阅读材料:对于非零实数a,b,若关于x的分式的值为零1=a,x2=b.又因为﹣(a+b),所以关于x的方程x+=a+b的解为x1=a,x2=b.(1)理解应用:方程的解为:x1=3,x2=;(2)知识迁移:若关于x的方程x+=5的解为x1=a,x2=b,求a2+b2的值;(3)拓展提升:若关于x的方程=k﹣x的解为x1=t+1,x2=t2+2,求k2﹣4k+2t3的值.【解答】解:(1)∵x+=a+b的解为x1=a,x2=b,∴的解为x=5或x=,故答案为:7,;(2)∵x+=5,∴a+b=5,ab=5,∴a2+b2=(a+b)6﹣2ab=25﹣6=19;(3)=k﹣x可化为x﹣1+,∵方程=k﹣x的解为x1=t+1,x2=t2+2,则有x﹣4=t或x﹣1=t2+3,∴t(t2+1)=2,t+t2+1=k﹣3,∴k=t+t2+2,t8+t=4,k2﹣6k+2t3=k(k﹣4)+2t3=(
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