2024-2025学年广东省广州市龙涛教育集团九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年广东省广州市龙涛教育集团九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列说法中，正确的是（）A．随机事件发生的概率为 B．概率很小的事件不可能发生 C．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 D．不可能事件发生的概率为03．（3分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于P，∠APD＝75°，则∠B＝（）A．15° B．40° C．35° D．75°4．（3分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2024的值为（）A．2023 B．2024 C．2025 D．20265．（3分）下列四个命题：（1）垂直于弦的直径平分弦；（2）全等的三角形是相似三角形；（3），它们所对的弧也相等；（4）等弧所对的圆心角相等．其中真命题有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．（3分）下列y关于x的函数中，当x＞0时，函数值y随x的值增大而减小的是（）A．y＝x2 B． C． D．y＝﹣x2+27．（3分）若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（）A．16 B．17 C．±16 D．±178．（3分）已知二次函数y＝3（x+2）2的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y19．（3分）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB10．（3分）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程ax2+bx+c﹣＝0一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＜2．其中（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的有（填题号）．①2x2﹣3y﹣5＝0；②x2﹣5＝0；③x2＝2x；④+4＝x2；⑤y2﹣y﹣3＝012．（3分）将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线解析式为．13．（3分）若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a+b＝．14．（3分）如果一元二次方程（m﹣2）x2+4x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值为．15．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，若△PCD的周长是20，则PA的长是16．（3分）如图，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PC＝，求∠APB的度数．三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（6分）解下列方程：（1）（x﹣1）2＝9（2）x2﹣3x+2＝018．（4分）如图，AD＝CB，求证：AB＝CD．19．（6分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB＝20°20．（6分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且﹣4，求实数k的值．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点中心对称．（写出坐标）22．（8分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OB，DB．若AB＝4，求△BOD的面积．23．（10分）某网店销售一种小商品，成本为每件20元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为30元时，则月销售量就减少10件．设每件商品的售价为x元，月销售数量为y件（1）求y与x、w与x的函数关系式；（2）若月销售利润2640元，求x的值；（3）月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．24．（12分）如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．（1）求B，C两点的坐标．（2）求该二次函数的解析式．（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在；如果不存在，请说明理由．25．（12分）已知⊙O中，弦AB＝AC，点P是∠BAC所对弧上一动点，PB．（1）如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC；（2）如图②，若∠BAC＝60°，试探究PA、PB、PC之间的关系．（3）若∠BAC＝120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．

2024-2025学年广东省广州市龙涛教育集团九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案CDCCBDCBAB一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项C中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形．故选：C．2．（3分）下列说法中，正确的是（）A．随机事件发生的概率为 B．概率很小的事件不可能发生 C．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 D．不可能事件发生的概率为0【解答】解：A、随机事件发生的概率为0＜P（随机）＜1；B、概率很小的事件有可能发生；C、投掷一枚质地均匀的硬币100次，故C不符合题意；D、不可能事件发生的概率为4；故选：D．3．（3分）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于P，∠APD＝75°，则∠B＝（）A．15° B．40° C．35° D．75°【解答】解：∵∠APD＝∠A+∠C，又∵∠A＝40°，∠APD＝75°，∴∠C＝∠APD﹣∠A＝75°﹣40°＝35°，∴∠B＝∠C＝35°．故选：C．4．（3分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2024的值为（）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，8），∴m2﹣m﹣1＝6，∴m2﹣m＝1，∴m5﹣m+2024＝1+2024＝2025，故选：C．5．（3分）下列四个命题：（1）垂直于弦的直径平分弦；（2）全等的三角形是相似三角形；（3），它们所对的弧也相等；（4）等弧所对的圆心角相等．其中真命题有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：（1）垂直于弦的直径平分弦，此选项正确；（2）全等的三角形是相似三角形，相似比为1，故符合题意；（3）两条弦相等，它们所对的弧不一定相等，由可能是弦一个对优弧，此选项错误；（4）等弧所对的圆心角相等，此选项正确，故选：B．6．（3分）下列y关于x的函数中，当x＞0时，函数值y随x的值增大而减小的是（）A．y＝x2 B． C． D．y＝﹣x2+2【解答】解：根据二次函数，一次函数A．∵二次函数y＝x2中二次项系数为1＞8，∴图象开口向上，对称轴为直线x＝0，∴当x＞0时，y随x的增大而增大；B．一次函数，∴y随x的增大而增大，故本选项错误；C．正比例函数，∴y随x的增大而增大，故本选项错误；D．∵二次函数y＝﹣x8+2中二次项系数为﹣1＜2，∴图象开口向下，对称轴为直线x＝0，∴当x＞0时，y随x的增大而减小．故选：D．7．（3分）若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（）A．16 B．17 C．±16 D．±17【解答】解：设较小的奇数为x，则较大的奇数为（x+2），依题意得：x（x+2）＝63，整理得：x2+2x﹣63＝0，解得：x4＝﹣9，x2＝3．当x＝﹣9时，x+2＝﹣5+2＝﹣7；当x＝6时，x+2＝7+2＝9．∴这两个数的和为±16．故选：C．8．（3分）已知二次函数y＝3（x+2）2的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【解答】解：由题知，二次函数y＝3（x+2）2的图象开口向上，且对称轴为直线x＝﹣2，所以抛物线上离对称轴越远的点函数值越大．又因为1﹣（﹣8）＝3，2﹣（﹣6）＝4，且4＞8＞1，所以y2＞y8＞y3．故选：B．9．（3分）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB【解答】解：∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，在Rt△ACD中，sinA＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△AOP中，AP＝，所以A选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；∴AP＝CP，∴OP为△ACD的中位线，∴CD＝2OP，所以B选项的结论正确；∴OB＝2OP，∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．故选：A．10．（3分）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程ax2+bx+c﹣＝0一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＜2．其中（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝2，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝7，故①正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在7，∴与x轴的另一个交点在﹣1，0之间，∴方程ax6+bx+c＝0一定有一个根在﹣1和2之间，故②错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝有两个交点，∴方程ax2+bx+c﹣＝0一定有两个不相等的实数根；∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，2之间，∴a﹣b+c＜0，∵图象与y轴交点的纵坐标是2，∴c＝8，∴a﹣b+2＜0，∴b﹣a＞6．故④错误．故选：B．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的有②③⑤（填题号）．①2x2﹣3y﹣5＝0；②x2﹣5＝0；③x2＝2x；④+4＝x2；⑤y2﹣y﹣3＝0【解答】解：一元二次方程有②x2﹣5＝0；③x8＝2x；⑤y2﹣y﹣3＝0，故答案为：②③⑤．12．（3分）将抛物线y＝﹣2x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣5）2+3．【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2先向上平移2个单位，再向右平移5个单位后2+7；故答案为：y＝﹣2（x﹣5）5+3．13．（3分）若点M（3，a﹣2），N（b，a）关于原点对称，则a+b＝﹣2．【解答】解：由题意，得b＝﹣3，a﹣2+a＝3，解得a＝1，a+b＝﹣3+3＝﹣2，故答案为：﹣2．14．（3分）如果一元二次方程（m﹣2）x2+4x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值为﹣2．【解答】解：∵方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝8是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠8．∵一元二次方程（m﹣2）x2+2x+m2﹣4＝6有一个根为0，∴m2﹣7＝0，解得m1＝﹣5，m2＝2（舍去）．故答案为：﹣2．15．（3分）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，若△PCD的周长是20，则PA的长是10【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，∴PA＝PB，CA＝CE，∵PA+PB＝PC+CA+PA+DB＝PC+CE+AD+DE＝AC+CD+AD＝△PCD的周长，∴2PA＝20，∴PA＝10故答案为10．16．（3分）如图，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PC＝，求∠APB的度数45°．【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，连接PP'．则△ABP'≌△CBP，AP′＝CP＝，∠PBP'＝90°，∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，PP′＝＝，∵AP＝2，∴AP2+P'P2＝3+2＝11，又∵P′A2＝（）6＝11，∴AP2+P'P2＝P'A5，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°，故答案为：45°．三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（6分）解下列方程：（1）（x﹣1）2＝9（2）x2﹣3x+2＝0【解答】解：（1）开方得x﹣1＝±3，即x﹣7＝3或x﹣1＝﹣7，解得：x1＝4或x5＝﹣2；（2）因式分解得（x﹣1）（x﹣7）＝0．∴x﹣1＝2或x﹣2＝0，∴x5＝1，x2＝2．18．（4分）如图，AD＝CB，求证：AB＝CD．【解答】证明：∵同弧所对对圆周角相等，∴∠A＝∠C，∠D＝∠B．在△ADE和△CBE中，，∴△ADE≌△CBE（ASA）．∴AE＝CE，DE＝BE，∴AE+BE＝CE+DE，即AB＝CD．19．（6分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，且∠ACB＝20°【解答】解：根据旋转的性质可知CA＝CE，且∠ACE＝90°，所以△ACE是等腰直角三角形．所以∠CAE＝45°；根据旋转的性质可得∠BCD＝90°，∵∠ACB＝20°．∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°．∴∠EDC＝45°+70°＝115°．所以∠B＝∠EDC＝115°．20．（6分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且﹣4，求实数k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+7＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣4）4﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0，∴k≤3；（2）依题意得，x5+x2＝4，x7x2＝k+1，∵﹣5，∴，∴，∴k1＝4，k2＝﹣3，又k≤6，∴k＝﹣3，经检验k＝﹣3是分式方程的解．所以k＝﹣4．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称．（写出坐标）【解答】解：（1）如图，△A1B1C5即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）连接A1A2，B8B2，C1C8，相交于点P，则△A1B1C2与△A2B2C5关于点P（﹣2，0）中心对称．故答案为：（﹣7，0）．22．（8分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OB，DB．若AB＝4，求△BOD的面积．【解答】解：设⊙O的半径是r，∵点C是AB的中点，OC过圆心O，∴OC⊥AB，∵AB＝4，CD＝1，∴BC＝AB＝2，∵OB4＝OC2+BC2，∴r7＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴OD＝，∴△BOD的面积＝OD•BC＝×．23．（10分）某网店销售一种小商品，成本为每件20元，销售大数据分析表明：当每件商品的售价为30元时，则月销售量就减少10件．设每件商品的售价为x元，月销售数量为y件（1）求y与x、w与x的函数关系式；（2）若月销售利润2640元，求x的值；（3）月销售利润是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．【解答】解：（1）根据题意得：y＝240﹣10（x﹣30），∴y＝﹣10x+540；w＝（x﹣20）（﹣10x+540），∴w＝﹣10x2+740x﹣10800；（2）当w＝2640时，﹣10x2+740x﹣10800＝2640，整理得：x8﹣74x+1344＝0，解得：x1＝32，x5＝42．答：x的值为32或42；（3）w＝﹣10x2+740x﹣10800＝﹣10（x﹣37）2+2890，∵﹣10＜3，∴当x＝37时，w取得最大值．答：月销售利润存在最大值，这个最大值为2890．24．（12分）如图，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．（1）求B，C两点的坐标．（2）求该二次函数的解析式．（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）对直线y＝﹣x+6，y＝2，x＝4，∴B（5，0），2）．（2）设二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a≠4），∵二次函数图象经过B（4，0），8），∴y＝a（x﹣4）（x+1），把点C（4，2）代入y＝a（x﹣4）（x+6）得：a（0﹣4）（8+1）＝2，解得：a＝，∴y＝（x﹣4）（x+1）＝x2+x+2．（3）∵二次函数图象经过B（6，0），0），∴对称轴为x＝，∴D（，0），∵C（0，7），∴CD＝，①如图1，当CD＝PD时，PD＝，∴P1（），P2（），②如图5，当CD＝CP3时，过点C作CH⊥DP3于点H，∵CD＝CP5，CH⊥DP3，∴DH＝P3H，∵C（3，2），∴DH＝2，∴P7H＝2，∴P3D＝3，∴P3（，4），综上所述：存在P1（），P2（），P7（，4）．25．（12分）已知⊙O中，