工程力学 课件 7应力状态与强度理论

§7-1一点应力状态的概念§7-2平面应力状态分析—解析法第七章应力状态与强度理论

§7-3广义虎克定律§7-4强度理论及其应用概述拉压扭转弯曲FNymaxs=sCymaxtToMymaxs压maxs拉Csmaxtmaxsmax截面应力危险点应力状态强度判据][maxtt£][][maxmax压压拉拉ssss££][][maxmax压压拉拉ssss££组合变形：问题：危险点应力状态？强度判据？承受组合变形的构件eFBA(a)钻床立柱弯扭组合拉弯组合MACFT2(b)皮带传动轴BDFT1?塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁1.低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢7.1.1应力状态的概念?为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？2.低碳钢和铸铁的扭转实验低碳钢铸铁(1)

拉中有剪，剪中有拉;(2)不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力;(3)同一面上不同点的应力各不相同;(4)同一点不同方向面上的应力也是各不相同3、重要结论哪一点？

哪个方向面？应力哪一个面上？

哪一点？4、一点的应力状态过一点不同方向面上应力的情况，称之为这一点的应力状态，亦指该点的应力全貌.7.1.2

应力状态的研究方法

1、单元体

任意一对平行平面上的应力相等2、单元体特征3、主单元体

各侧面上切应力均为零的单元体单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布

3

1

2

2

3

14、主平面：切应力为零的截面5、主应力：主面上的正应力

说明:一点处必定存在这样的一个单元体,

三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为

1,

2,

3且规定按代数值大小的顺序来排列,即

1

2

37.1.3应力状态的分类1、空间应力状态:三个主应力

1、

2、

3

均不等于零2、平面应力状态:三个主应力

1、

2、

3中有两个不等于零3、单向应力状态:

三个主应力

1、

2、

3中只有一个不等于零

3

1

2

2

3

1

2

2

1

1

1

1思路：研究力的平衡。设单元体厚度为1，有7.2.1平面应力状态osxtxysytyxsataaanxba最一般状态：有s、s、t=t

。xyxyyx问题:任意斜横截面上的应力s

、t?aasx一般情况xysxsysytyxtxySFx=saabcosa+taabsina-sxabcosa+tyxabsina=0SFy=saabsina-taabcosa-syabsina+txyabcosa=0注意到txy=tyx，解得：s=scos2a+ssin2a-2tsinacosat=(s-s)sinacosa+t

(cos2a-sin2a)xyxyxyxyaa利用cos2a=(1+cos2a)/2，sin2a=(1-cos2a)/2，sin2a=2sinacosa，得到平面应力状态下的一般公式：

sa、ta是a角的函数，a角是x轴与斜截面正法向n的夹角，从x轴到n轴逆时针转动时，a为正。osxtxysytyxsataaanxbaatasssss2sin2cos22xyyxyxa--++=---(7-1)---(7-2)atasst2cos2sin2xyyxa+-=7.2.2极限应力与主应力

sa是a的函数，极值？令ds/da=0，有：a在a=a的斜截面上，s取得极值；且t=0。a0aosxtxysytyxsataaa

nxbaatasssss2sin2cos22xyyxyxa--++=atasst2cos2sin2xyyxa+-=任一截面应力02cos2sin2=+-atassxyyx---（7-3）---（7-4）yxxytanss2ta--=207.2.2极值应力与主应力（7-1）式记tan2a=x,有sin2a=

x/(1+x)cos2a=

1/(1+x)221/21/20代入(7-1)式：atasssss2sin2cos22xyyxyxa--++=sa取极值的条件yxxytanss2ta--=201ax)1(2x+=x}4)(22/)({2222xyyxxyyxyxatsstsssss+-+-±+=(7-5)式极值应力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü7.2.2极限应力与主应力注意到：tan2a0=tan(p+2a0)正应力取得极值的角a有两个，二者相差90

。即s和s分别作用在两相互垂直的截面上。0maxmin主平面:剪应力为零的平面。

a=a时，t=0，故对应的平面是主平面。主应力:

主平面上的正应力。故极值应力是主应力。0a

(7-5)式极值应力22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü极值应力截面方位：yxxytanss2ta--=20(7-4)式剪应力的极值？代入(7-2)式：令dta/da=0，有(sx-sy)cos2a-2txysin2a=0

同样有sin2a=

x/(1+x)；cos2a=

1/(1+x)221/21/2---(7-2)atasst2cos2sin2xyyxa+-=ta取得极值的条件:（7-6）xyyxtantssa221-==x极限剪应力(7-7)式22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=þýü极限剪应力作用平面？剪应力取得极值的平面与主平面间的夹角为45

。

(7-6)剪应力取得极值的角a有两个，二者相差90

。即t和t分别作用在两相互垂直的截面上。1maxmina

和a

的关系？01即有：a1=a0

p/4

xyyxtantssa221-=主平面方位(7-4)yxxytanss2ta--=20)22(0pamtan=)22(0aptan±-=21201aatantan-=试求（1）

斜面上的应力(并画出)；

（2）主应力、主平面；（3）绘出主单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。已知

解：（1）

斜面上的应力

（2）主应力、主平面

主平面的方位：

主应力方向：主应力方向：（3）主应力单元体：

例2已知某点的应力状态为:

s=30MPa，s=10MPa，t=20MPa。求1)主应力及主平面方向；2)最大、最小剪应力。xxyy解：1）主应力与主方向主应力：由（7-5）式有：主方向角：由（7-4）式有：xytyxtxysxsysxsya0a=58.29

n主平面方位:a01=-31.72

，a02=58.28

îíì-=+-±+=þýüMPaMPa36.236.4220)21030(2103022minmaxss

2a=-63.43

，a=-31.72

002103020220-=-

-=atana=58.28

时，由(7-1)式有:a=-31.72

时有:sa=smax=42.36MPa

在平行xy的前后面上，无应力作用，s、t均为零。故此面上还有第三个主应力sz=0。各主平面上的应力？(t=0)xytyxtxysxsysxsya0a=58.29

n三个主应力按大小排列。

-++=116.56-20sin116.56cos2103021030as=-2.36MPa=smin3s1s2s用主应力表示应力状态，简洁、清晰。s1s2=0xyzs1s3s3xys1s3s3s1a0=58.28

平面应力状态3)最大、最小剪应力由（7-7）式有：作用平面方向角：a=a+p/4=13.28

0a=-31.72

01a=13.28

时，由（7-2）式有:注意还有a=103.28

时:t=-22.36MPas

=20MPa22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=þýüMPa36.2220]2)1030([22±=+-±=MPaxyyx36.2256.26cos56.26sin2=+-=ootsstMPa2056.26sin20

56.26cos2103021030=°-°-++=s

tmaxxys

s

s

s

-tmaxtmaxa1=13.28

-tmax求任一截面应力---（7-1）、（7-2）式分析结果汇总与讨论(已知s、s、t)xyxy求主应力及其方位---（7-5）、（7-4）式主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。求极限剪应力---(7-7)式，作用面与主平面相差45。。极限剪应力作用面相互垂直，剪应力互等（大小相等、符号相反，使单元体顺时针转者为正）。注意：极限剪应力作用面上一般s=0。一点的应力状态可由三个主应力描述，对于平面应力状态，第三个主应力s=0。z思考题1：图中表示的纯剪应力状态是否正确？如果正确，单元体应力状态用主应力如何表示？ttt(a)(b)(c)剪应力互等？t是极限剪应力，主平面？与极限剪应力面成45。二主应力之和？s+s=s+s=0。s=-s

13xy13s在哪个面上？多大？1s1s1(s-s)/2=ts=t

131平面应力状态小结：求任一截面应力—(7-1)、(7-2)式求主应力大小和方位—(7-5)、(7-4)式主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。一点的应力状态可由三个主应力描述，对于平面应力状态，第三个主应力s=0。zsxxysxsysytyxtxysataanyxxytanss2ta--=20atasssss2sin2cos22xyyxyxa--++=atasst2cos2sin2xyyxa+-=22minmax]2/)[(2xyyxyxtssssss+-±+=þýü求极限剪应力--(7-7)式，作用面与主平面相差45

。极限剪应力与主应力关系：t=(s-s)/213max22minmax]2/)[(xyyxtsstt+-±=þýü第一不变量：.3211constJzyx=++=++=ssssss除纯剪情况外，极限剪应力平面上正应力不为零，且必有sx=sy。过某点任意三个相互垂直平面上的正应力之和不变。7.3广义虎克定理线弹性应力-应变关系：s=Ee对于用主应力表示的微元，沿主方向的应变（主应变）e1

是沿x1方向的伸长。有：s1x1x2x3s3s2s2s3s1EEE///3211msmsse--=s引起的伸长1s引起的缩短2s引起的缩短3广义虎克定理ïþïýü+-=+-=+-=)]([)]([)]([213131321232111ssmsessmsessmseEEEs1x1x2x3s3s2s2s3s1广义虎克定理：ïþïýü+-=+-=+-=)]([)]([)]([213131321232111ssmsessmsessmseEEEe1=[s1+ms1-m(s1+s2+s3)]/E=[(1+m)s1-m(s1+s2+s3)]/E

s1>s2>s3

e1>e2>e3

最大主应变那个应变大？故有：e1=[(1+m)s1-m(s1+s2+s3)]/Ee2=[(1+m)s2-m(s1+s2+s3)]/Ee3=[(1+m)s3-m(s1+s2+s3)]/Esxxysxsysytyxtxy前节回顾:平面应力状态s1s2=0xyzs1s3s3主应力

;主平面sxsz=0xyzsxsysytxyxys1s3s3s1tmaxxys

s

s

s

-tmaxtmax-tmaxtmax=(s1-s3)/2s

+s

=s1+s3

s1s2xyzs3s1s3s2相差45

的平面三维三维一般情况问题：复杂应力状态下的强度？研究：危险点应力状态强度判据？MxFT1ACFT2BDyz危险点7.4强度理论sxxysxtyxtxys1s27.4强度理论单向应力状态：单向拉压试验强度理论:

复杂应力状态下材料破坏或屈服规律的假说。破坏塑性破坏s

脆性破坏s

bys复杂应力状态？破坏判据s

=sors强度条件：s

[s]

11bys要设计不同s:s

的实验。12ys1xs1s2s27.4.1脆性材料的破坏强度理论一、最大拉应力理论（第一强度理论）破坏判据s

=s1b不论材料处于何种应力状态，脆性材料的破坏只取决于其最大拉应力s

。1假说实验验证：正确性条件：

考虑安全储备，给出：强度条件：s

[s]=s/n

1b7.4.1脆性材料的破坏强度理论一、最大拉应变理论（第二强度理论）脆性材料破坏取决于其最大拉应变e

。1假说考虑安全储备，给出：破坏判据e

=e

1f单向拉伸破坏应变虎克定理破坏判据s-m(s+s)=s

(应力形式)123b实验验证：

或

时，更好一些。强度条件：s-m(s+s)[s]=s/n

1b237.4.2塑性材料的屈服强度理论一、最大剪应力理论（第三强度理论）屈服判据t

=t

maxs单向拉伸屈服时的t屈服判据s-s

=s

(Tresca条件,1864,法)1ys3实验验证：很好地预测了塑性材料屈服。思考：材料滑移剪应力的贡献塑性材料屈服假说：塑性材料屈服取决于其最大剪应力t

。max；；设计：强度条件：s-s

[s]=s/n

1ys37.4.2塑性材料的屈服强度理论二、形状改变比能理论（第四强度理论）假说：塑性材料屈服取决于其形状改变比能v

。S滑移改变形状思考：Tresca条件与s

无关2？能量？屈服判据v

=v

Ssc单向拉伸屈服时的vs；屈服判据(s

-s)+(s-s)+(s-s)

=2s1ys322132222Mises条件,1913,德实验验证：对塑性金属屈服，预测比最大剪应力理论的预测更好，但二者相差不大。7.4.2塑性材料的屈服强度理论二、形状改变比能理论（第四强度理论）屈服