工程力学 课件 2.3平衡方程式详解

第二章平面力系2.1基本量的计算2.2平面力系简化2.3平衡条件和平衡方程2.4平面力系平衡问题思路：研究对象

受力分析

平衡方程

求解一、平面力系平衡问题的分析方法ABC静力平衡问题，一般有二类：

对于完全被约束的物体或系统，在已知外载荷的作用下，求约束力。

对于未完全被约束的物体或系统，求平衡时外载荷所应满足的条件及约束力。60

ABCDF2.4平面力系平衡问题例1已知:AC=CB=l,P=10kN;求:铰链A和DC杆受力。解:取AB梁，画受力图。解得FAy+FCsin45

-P=0FCcos45

·l-P·2l=0例2已知：求:支座A、B处的约束力。解：取AB梁，画受力图。解得解得解得例3

求图示结构中铰链A、C处的约束力。解：1）画整体受力图。注意BC为二力杆。验算，再写一个不独立平衡方程，看是否满足。如

MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0

结果正确。ABCF=2KNFq30q=0.5KN/m

L=2m1.5mFq=2q=1KNFCFAyFAxxy

Fy=FAy+FCsin30

-F-Fq=0

MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=03）解方程得到;FC=4KN;FAy=1KN;FAx=2KN矩心取在二未知力交点A处，力矩方程中只有一个未知量FC，可直接求解。求：系统平衡时，杆AB、BC受力例4，已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；解：AB、BC杆为二力杆，取滑轮B（或点B），画受力图。用解析法，建图示坐标系解得：解得：二、静不定问题的概念1)静定问题完全约束住的n个物体组成的物体系统在平面一般力系作用下，每一物体都处于平衡，共可写出3n个平衡方程。若反力未知量是3n个，则是静定的。由平衡方程即可确定的静力平衡问题

--未知量数=独立平衡方程数ABCF30如例

系统

二根杆

六个平衡方程；约束

三处铰链

六个反力，静定。若将BC视为二力杆，则平衡方程减少二个，但B、C处约束力未知量也减少了二个。本题作用于小车的是平行于Y轴的平行力系，系统

三个物体

8个平衡方程；约束

固定端3；中间铰2；活动铰、车轮接触处各1

共8个反力，是静定问题。如例系统

三个物体

9个方程，反力只有8个。小车可能发生水平运动。未被完全约束住的物体及系统

约束力未知量数少于独立的平衡方程数，有运动的可能。CABWP2）静不定问题或超静定问题

完全约束的物体或系统，若约束力数>独立平衡方程数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称静不定问题。3n=3;m=4一次静不定3n=3;m=6三次静不定3n=3;m=4一次静不定约束反力数m系统中物体数n

<3n

未完全约束

m

=3n

静定问题

>3n

静不定问题静不定的次数为：

k=m-3n例5倾斜悬臂梁AB与水平梁BC在B处绞接，梁上载荷有：q=200N/m，F=250N，梁重不计。试作AB梁、BC梁及整体的受力图；并求固定端A及铰链B、支座C处的约束反力。

解：1)画受力图。整体受力图。AB杆受力图。BC杆受力图。

2)BC为研究对象，列平衡方程：

Fx=FBx=0

FBx=0

Fy=FBy+FCy-q×2=0

FCy=200kN3)取整体为研究对象，有：

Fx=FAx=0

FAx=0

MA(F)=MA-1×F+4×FCy-q×2×3=0

MA=650kN.m

Fy=FAy-F+FCy-q×2=0

FAy=450kN例6

梁ACB如图。梁上起重小车重W=50kN，吊重P=10kN，求A、B处的约束力。由(1)知，FAx=0。剩余二个方程中含三个未知约束反力，不足以求解。

列平衡方程：

Fx=FAx=0---(1)

Fy=FAy+FBy-P-W=0---(2)

MA(F)=MA+12FBy-4W-8P=0---(3)解：1)取系统整体为研究对象，画受力图。4mCA4m1m1m8mBWPFByFAxFAyMA

2)小车为研究对象，列平衡方程：

MD(F)=2FE-W-5P=0

FE=(50+50)/2=50kN

Fy=FD+FE-W-P=0

FD=10kN3)取BC梁为研究对象，有：

MC(F)=8FBy-FE=0

FBy=FE/8=6.25kN

将FBy代入(2)、(3)式，求得：

FAy=P+W-FBy=53.75kN

MA=4W+8P-12FBy=205kN.m有时需要综合研究整体及部分的平衡，联立求解4mWP1m1mDEFEFDC1m8mBF

EFCyFByFCx=0思考题：试求图示双跨梁A端的约束反力。先分离研究对象，再处理其上的分布载荷。解：1）研究整体：

2）研究BC，受力如图。求出FC即可。

MB(F)=2aFCcos45

-Fa-qa2/2=0一般力系，3个方程，

4个未知量。不足以求解FBxCFqBFByFCABCFq2aaa45

FCFAyFAxMA求