2024-2025学年上海市普陀区宜川中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市普陀区宜川中学高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个(    )条件是“能扫天下”．A.充分条件 B.必要条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件2.已知a，b，c∈R且a≠0，那么关于x的不等式log12(aA.R B.(−2,−1)∪(2,3) C.(−2,−1) D.⌀3.对任意实数a和正整数k，定义集合M={a+0k⋅2π,a+1k⋅2π,a+2k⋅2π,a+3k⋅2π,⋯,a+A.5 B.6 C.7 D.84.已知定义在R上的函数f(x)，对于给定集合A，若对任意x1，x2∈R，当x1−x2∈A时都有f(x1)−f(x2)∈A，则称f(x)是“A封闭”函数.已知给定两个命题：

P：若f(x)是“{1}封闭”函数，则f(x)是“{2023}封闭”函数．

Q：若f(x)A.P是真命题，Q是真命题 B.P是假命题，Q是真命题

C.P是真命题，Q是假命题 D.P是假命题，Q是假命题二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.已知全集U=(−∞,1)⋃[2，+∞)，集合A=(−1,1)⋃[3，+∞)，则A−=______．6.不等式|xx+1|>7.化简：sin(π2+α)8.已知a∈Z，关于x的函数y=ax+1x+2在区间[1,+∞)上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数a=______．9.用cotα和cotβ表示cot(α+β)=______．10.已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度=______．11.已知a∈R，关于x的函数y=1−2a2x+a不是奇函数也不是偶函数，那么12.下列关于x的函数中，在其定义域上是增函数的是(填序号)：______．

①y=−1x；②y=[x]；③y=x1.25；④y=213.若不等式−x2+mx−2≥0对x∈[1,3]恒成立，则实数m14.已知角α，β均为锐角，且α≠β，满足sinα−sinβ=3cosβ−3cosα，cos(α+β)的值为______．15.已知函数f(x)=x2−5x+7，若对于任意的正整数n，在区间[1,n+5n]上存在m+1个实数a0、a1、a216.已知函数y=f(x)的定义域为(0,+∞)，若存在常数T>0，使得对任意的x∈(0,+∞)，都有f(Tx)=f(x)+T，且y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则函数y=f(x)的值域为______．三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

在△ABC中，已知a=2．

(1)若3sinAcosA+sin2A−1=0，求该三角形的外接圆半径R；

(2)18.(本小题12分)

已知cos(α−β2)=−277,sin(α219.(本小题12分)

已知函数f(x)=log3(3x+1)+ax(a∈R)是偶函数．

(1)求a的值；

(2)若函数y=f(x)的图像与函数y=12x+b(b∈R)的图像没有交点，求实数b的取值范围；

(3)若函数g(x)=9f(x)+20.(本小题12分)

为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的函数关系式近似为y=169−2x−1,0≤x≤316−2x−3,3<x≤7.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和，由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．

(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？(结果精确到0.1，参考数据：lg2≈0.3，lg15≈1.17)

(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，3小时后再喷洒2个单位的净化剂，设第二次喷洒t小时后空气中净化剂浓度为g(t)(毫克/立方米)，其中0<1≤3．

①21.(本小题12分)

已知函数y=f(x)的定义域为R，现有下面两种对y=f(x)变换的操作：

φ变换：y=f(x)→y=f(x)−f(x−t)，其中t>0．

ω变换：y=f(x)→y=|f(x+t)−f(x)|，其中t>0．

(1)若f(x)=3x，t=1，对y=f(x)进行φ变换后得到函数y=g(x)，解方程g(x)=2．

(2)若f(x)=x2，对y=f(x)进行ω变换后得到函数y=ℎ(x)，解不等式f(x)≥ℎ(x)．

(3)若函数y=f(x)在(−∞,0)上是严格增函数，对函数y=f(x)先作φ变换，再作ω变换，得到函数y=ℎ1(x)，对函数y=f(x)先作ω变换，再作φ变换，得到函数y=ℎ2(x).对任意参考答案1.B

2.A

3.B

4.C

5.(−∞,1]∪[2,3)

6.{x|−1<x<0}

7.−cos8.−1或0

9.cotα⋅cotβ−1cot10.6或2311.(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)

12.③⑤

13.[1114.4515.6

16.R

17.解：(1)因为3sinAcosA+sin2A−1=0，

所以32sin2A+1−cos2A2−1=0，即sin(2A−π6)=12，

因为0<A<π，所以−π6<2A−π6<5π6，

所以2A−π6−π6或5π6，即A=π6或π2，

所以2R=asinA18.解：(1)cos(α−β2)=−277，且α∈(π2,π)，β∈(0,π2)，α−β2∈(π4,π)，

∴sin(α−β2)=1−cos2(α−β2)=217，

sin19.解：(1)∵函数f(x)=log3(3x+1)+ax是偶函数，

∴f(x)=f(−x)，即log3(3x+1)+ax=log3(3−x+1)−ax恒成立，

∴2ax=log3(3−x+1)−log3(3x+1)=log33−x+13x+1=−x，∴a=−12；

(2)若函数f(x)的图像与函数y=12x+b的图像没有交点，

则方程log3(3x+1)−12x=12x+b无解，即log3(3x+1)−x=b无解，

令ℎ(x)=log3(3x+1)−x=log3(3x+1)3x=log3(1+13x)，20.解：(1)根据已知可得，一次喷洒4个单位的净化剂，浓度f(x)=4y=649−2x=4,0≤x≤3,4(16−2x−3),3<x≤7，

则当0≤x≤3时，由649−2x−4≥4，可得x≥0，所以0≤x≤3；

当3<x≤7时，由4(16−2x−3)≥4，可得2x−3≤15，(x−3)lg2≤lg15，解得x≤6.9，所以3<x≤6.9．

综上所述，0≤x≤6.9，

所以一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间约达6.9小时；

(2)①由题意可知，第一次喷洒2个单位的净化剂，

3小时后的浓度为2×[169−23−1]=30(毫克/立方米)，

21.解：(1)由f(x)=3x，t=1，对y=f(x)进行φ变换后，

得y=g(x)=f(x)−f(x−1)=3x−3x−1=2×3x−1=2，

即3x−1=1，解得x=0；

(2)由f(x)=x2，对y=f(x)进行ω变换后得到函数y=ℎ(x)=|f(x+t)−f(x)|

=|(x+t)2−x2|=|2xt+t2|，

又f(x)≥ℎ(x)，即x2≥|2xt+t2|，t>0，

则当2xt+t2≥0，即x≥−t2时，x2≥2xt+t2，

解得x≤(1−2)t或x≥(1+2)t，即−t2≤x≤(1−2)t或x≥(1+2)t；

当2xt+t2<0，即x<−t2时，x2≥−2xt−t2，即(x+t)2≥0，不等式恒成立，即x<−t2；

综上所述，