2024-2025学年陕西省汉中市普通高中十校联盟高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省汉中市普通高中十校联盟高二上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.

直线3x+3y−A.−30∘ B.30∘ C.2.阅读课上，3名同学分别从5种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是(

)A.50 B.60 C.125 D.2433.设x,y∈R,向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(−1,2,−1)，且a⊥b,A.9 B.3 C.32 4.“1<m<6”是“方程x2m−1+yA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知l1:x−my−1=0与l2:(m−2)x−3y+1=0是两条不同的直线，若l1A.−1 B.−1或2 C.0或3 D.−1或36.已知双曲线y212−x2bA.y=±13x B.y=±3x C.y=±7.如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，M为A′C′与B′D′的交点，N是BB′的中点，若AB=a，AD=b，AA′=c，则表示向量MNA.12a−12b−128.椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆EA.0,22 B.22,1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.若直线l的方向向量为e=(1,0,3)，平面α的法向量为n=(−2,0,23)，则l//α

B.对空间任意一点O和不共线三点A,B,C，若OP=−14OA+38OB+7810.某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是(

)A.若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序

B.若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序

C.若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序

D.从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法11.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱A.直线MN与AC所成的角为60∘

B.三棱锥B−AMN的体积为163

C.直线AM与BN是平行直线

D.平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.抛物线x2+2y=0的焦点F到准线l的距离是

．13.

(x+1x3)1214.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C线段A1B1的中点，Q为线段C1P上一点，则四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知圆C过点(0,4),(2,2),(0,0)．(1)求圆C的标准方程；(2)已知直线l过原点，倾斜角为60∘，求直线l被圆C16.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=2DC=4，E是棱PA的中点．(1)求证：PC//平面BDE；(2)求直线BP与平面BDE所成角的正弦值．17.(本小题12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，过点A(0,p)的直线l交抛物线于M,N两点，点A到抛物线C(1)求抛物线C的方程；(2)若▵MNF的面积为26，求直线l18.(本小题12分)图1是边长为2的正方形ABCD，将▵ACD沿AC折起得到如图2所示的三棱锥P−ABC，且PB=(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)棱PA上是否存在一点M，使得平面ABC与平面MBC的夹角的余弦值为63，若存在，指出点M19.(本小题12分)如图，DP⊥y轴，垂足为D点，点M在DP的延长线上，且DMDP=λ.当点P在圆x2+y(1)求点M的轨迹C的方程；(2)当λ=2时，点M的轨迹方程记为(i)若动点N为轨迹C1外一点，过点N作轨迹C1的切线，两条切线互相垂直，记点N的轨迹方程为C2，试判断C(ii)轨迹C1的左右顶点分别记为A,B，圆x2+y2=16上有一动点E，E在x轴上方，F2,0，直线EA交轨迹C1于点G，连接EB，GF，设直线EB，GF的斜率存在且分别为k1参考答案1.D

2.C

3.C

4.B

5.D

6.C

7.A

8.B

9.BCD

10.AD

11.ABD

12.1

13.220

14.[2,15.解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)，

则16+4E+F=04+4+2D+2E+F=0F=0⇒D=0E=−4F=0,

所以圆C的方程为x2+y2−4y=0，化为标准方程为x2+(y−2)2=4．16.解：(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OE，

因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，

又因E是棱PA的中点，所以OE//PC，

又PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，

所以PC//平面BDE；

(2)如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，B(2,2,0)，E(1,0,2)，P(0,0,4)，

故DB=(2,2,0),DE=(1,0,2)，BP=(−2,−2,4)，

设平面BDE的法向量为n=(x,y,z)，

则有n⋅DB=2x+2y=0n⋅DE=x+2z=0，可取n=(2,−2,−1)，

17.解：(1)由抛物线x2=2py(p>0)，得其准线方程为y=−p2，

因为点A(0,p)到准线的距离为3，

所以p−(−p2)=3，解得p=2，

所以抛物线C的方程为x2=4y；

(2)由(1)得A(0,2)，

设直线l的方程为y=kx+2，

联立y=kx+2x2=4y，消去y得x2−4kx−8=0，

设M(x1,y1)，N(x2,y2)(x1≠x2)，

由韦达定理知x1+x2=4k，18.解：(1)证明：取AC的中点O，连接OB,OP，易得，OB=OD=OP=1，并且OB⊥AC,在▵OBP中，PB所以OB⊥OP，.因为OP∩AC=O,OP,AC⊂平面PAC，所以OB⊥平面PAC,而OB⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC；(2)存在点M，当AM=2因为OB,OA,OP两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，则A(0,1,0),P(0,0,1),B(1,0,0),C(0,−1,0)，因为OP⊥平面ABC，所以平面ABC的法向量为OP假设存在满足题意的点M，且AM=λ则M(0,1−λ,λ)，CB=设平面MBC的法向量为n=(x,y,z)则有n⋅CB=x+y=0n⋅所以|cos两边平方，整理得3λ2+4λ−4=0解得λ=23或λ=−2(舍经检验，λ=2因此，存在点M(0,13,23)，点

19.解：

(1)

设点P，点M的坐标分别为

(x0,y0)

，

(x,y)

，

由已知

|DM|=λ|DP|

，且点M在DP的延长线上，

∴DM=λDP

，

λ>1

，

又

DP⊥y

轴，

∴y=y0

，

x=λx0

，即

x0=xλ

，

∵

x02+y02=8

，代入可得点M的轨迹方程

C:x28λ2+y28=1(λ>1);

(2)(i)

当

λ=2

时，

C1

的方程为

x216+y28=1

，

当切线的斜率存在时，设

N(x1,y1)

，斜率为k，则切线方程为

y−y1=k(x−x1)

，

由切线与

C1

的方程

x216+y28=1

联立，消去y得

(1+2k2