2024-2025学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知正方体ABCD−A1B1C1D1A.12 B.32 C.12.将函数f(x)=sinx的图象先向右平移π3个单位，再把所得函数图象横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(π2,A.(0,1] B.(0,29] C.(0,3.某同学用二分法求方程lnx+2x−6=0的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在(2,3)之间，他用二分法操作了7次得到了方程lnx+2x−6=0的近似解，那么该近似解的精确度应该为(

)A.0.1 B.0.01 C.0.001 D.0.00014.关于f(x)=3cos(2x−π6),x∈R，下列叙述正确的是A.若f(x1)=f(x2)=3，则x1−x2是2π的整数倍B.函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称

5.已知集合A={x∈N∗|x<4}，B={0,1,2,3,4,5,6}，则A∩B=A.{0,1,2,3} B.{5,6} C.{4,5,6} D.{1,2,3}6.已知函数f(x)=x+1,x≤1−x+3,x>1，则f[f(2)]=(

)A.0 B.1 C.2 D.37.函数f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)在区间[−π6,π6]A.[π6,π2] B.[8.设集合A={x|x2−3x−4<0}，B={x|x<3}，则A∩B=A.{x|x<−1} B.{x|x<4} C.{x|−4<x<1} D.{x|−1<x<3}9.已知一扇形的周长为28，则该扇形面积的最大值为(

)A.36 B.42 C.49 D.5610.已知平面向量a=(m+1,−2)，b=(−3,3)，若a/​/b，则实数mA.0 B.−3 C.1 D.−1二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.函数f(x)=(x+a)(bx+2a)是偶函数，且它的值域为(−∞,2]，则a2+b=

．12.函数f(x)=lg(x−1)13.筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D(水面与筒车右侧的交点)，从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面距离为H=f(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2,t≥0)，则H=f(t)=14.如图，在三棱锥D−ABC中，已知BC⊥AD，BC=2，AD=6，AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D−ABC的体积的最大值是______．15.实数2713−lo16.已知f(x)是偶函数，且方程f(x−3)=0有五个解，则这五个解之和为______．三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

已知函数f(x)=x+2,x⩽0,logax,x>0,其中a>0，且a≠1，且点(4,2)(Ⅰ)求函数f(x)的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式f(x)<1的解集;(Ⅲ)若方程f(x)−2m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．18.(本小题12分)

某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58为了预测以后各月的患病人数，甲选择的了模型f(x)=ax2+bx+c，乙选择了模型y=p⋅qx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，

(Ⅰ)你认为谁选择的模型较好？(需说明理由)

(19.(本小题12分)

已知函数f(x)=sin(π+x)tan(π−x)cos(π2+x)．

(1)化简f(x)；

(2)若20.(本小题12分)

已知y=ax−3x+1(a∈R)．

(1)若关于x的不等式y<1的解集为区间(−1,4)，求a的值；

(2)解关于x的不等式y>021.(本小题12分)

如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD=a，PA=PC=2a.

(1)求证：PD⊥平面ABCD；

(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；

(3)求二面角

参考答案1.A

2.C

3.B

4.B

5.D

6.C

7.C

8.D

9.C

10.C

11.−1

12.(1,3)

13.3sin(π314.215.1

16.15

17.解：(1)由点(4,2)在f(x)的图象上，

可得loga4=2，即a2=4，解得a=2(负值舍去)，

则f(x)=x+2,x≤0log2x,x>0，

函数f(x)的图象如图：

(2)由f(x)<1，得x≤0x+2<1或x>0log2x<1，

即x<−1或0<x<2，

则不等式f(x)<1的解集为(−∞,−1)∪(0,2)；

(3)f(x)−2m=0有两个不相等的实数根，

即有y=f(x)的图象和直线y=2m有两个交点，

由18.解：(I)把x=1，2，3代入f(x)得：a+b+c=524a+2b+c=549a+3b+c=58，

解得a=1，b=−1，c=52，

∴f(x)=x2−x+52，

∴f(4)=42−4+52=64<66，

f(5)=52−5+52=72<82，

f(6)=62−6+52=82<115；

把x=1，2，3代入y=g(x)=p⋅qx+r，得：pq+r=52pq2+r=54pq3+r=58，

解得p=1，q=2，r=50，

∴g(x)=2x+50，

∴g(4)=24+50=66，

19.解：(1)f(x)=(−sinx)(−tanx)−sinx=−tanx．

(2)由f(α)=2，得tanα=−2，

①2sinα−cosαsinα+3cosα=20.(1)由y<1，得ax−3x+1<1，即ax−3x+1−1<0，

即(a−1)x−4x+1<0，

等价于[(a−1)x−4](x+1)<0，由题意得4a−1=4，

则a=2；

(2)y>0，即ax−3x+1>0，即(ax−3)(x+1)>0，

①当a=0时，不等式即为−3(x+1)>0，则x<−1，此时原不等式解集为(−∞,−1)；

②当a<0时，不等式即为(x−3a)(x+1)<0．

1°若a<−3，则3a>−1，所以−1<x<3a，此时原不等式解集为(−1,3a)；

2°若a=−3，则3a=−1，不等式为(x+1)2<0，x不存在，此时原不等式解集为⌀；

3°若−3<a<0，则3a<−1，所以3a<x<−1，此时原不等式解集为(3a,−1)．

③当a>0，不等式即为(x+1)(x−321.证明：(1)∵PD=a,DC=a,PC=2a，∴PC2=PD2+DC2，∴PD⊥DC，

同理，PD⊥AD，

又AD∩DC=D，AD、DC⊂平面ABCD，

∴PD⊥平面ABCD．

(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，又AC⊂平面AB