福建省南平市水南中学高三数学文联考试题含解析

福建省南平市水南中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.集合A={1，2，4}，B={x|1≤x＜4，x∈Z}，则A∩B=(

)A．{2}

B．{1，2}

C．{2，4}

D．{1，2，4}参考答案：B2.若奇函数满足，则=（

）

A、0

B、1

C、

D、5参考答案：C3.已知M是△ABC内的一点，且，，若，和△MAB的面积分别，则的最小值是

(

) A

9 B

18 C

16

D

20参考答案：B略4.已知a=（x2﹣1）dx，b=1﹣log23，c=cos，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a参考答案：B【考点】定积分；对数值大小的比较．【分析】估算a，b，c的值，即可比较大小．【解答】解：∵a=（x2﹣1）dx=（x3﹣x）|=﹣1=﹣≈﹣0.667，b=1﹣log23=1﹣≈﹣0.59，c=cos=﹣≈﹣0.866，∴c＜a＜b，故选B．5.已知，则是（

）A.偶函数，且在(0,10)是增函数 B.奇函数，且在(0,10)是增函数C.偶函数，且在(0,10)是减函数 D.奇函数，且在(0,10)是减函数参考答案：C【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论.【详解】由，得，故函数的定义域为，关于原点对称，又，故函数为偶函数，而，因为函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在上单调递减，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数）.6.函数f（x）=ax（0＜a＜1）在区间[0，2]上的最大值比最小值大，则a的值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数为单调函数，故函数f（x）=ax（0＜a＜1）在区间[0，2]在区间[1，2]上的最大值与最小值的差是，由此构造方程，解方程可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=ax（0＜a＜1）在区间[0，2]上为单调递减函数，∴f（x）max=f（0）=1，f（x）min=f（2）=a2，∵最大值比最小值大，∴1﹣a2=，解得a=故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数单调性的应用，熟练掌握指数函数的单调性是解答的关键7.已知且，，则（

）A.﹣1 B.﹣lg3 C.0 D.1参考答案：A【分析】根据题意，由函数的解析式可得，可解得a、b的值，即可得的值，进而可计算得答案．【详解】解：根据题意，且，，则，解可得，则，则.故选：A【点睛】本题考查了分段函数求函数值的问题，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论.8.如图，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.函数f（x）=的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后利用函数的变化趋势，判断选项即可．【解答】解：函数f（x）=是奇函数，排除A，C，当x＞0，并且x→0时，f（x）=＞0，排除D．故选：B．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数经过的特殊点是常用判断方法．10.已知函数f（x）=，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）A．（2π，2017π） B．（2π，2018π） C．（，） D．（π，2017π）参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出y=f（x）的函数图象，根据函数的对称性可得a+b=π，求出c的范围即可得出答案．【解答】解：当x∈[0，π]时，f（x）=cos（x﹣）=sinx，∴f（x）在[0，π]上关于x=对称，且fmax（x）=1，又当x∈（π，+∞）时，f（x）=log2017是增函数，作出y=f（x）的函数图象如图所示：令log2017=1得x=2017π，∵f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=π，c∈（π，2017π），∴a+b+c=π+c∈（2π，2018π）．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，那么f(0)＋f(1)＝________.参考答案：－212.不等式|x|＜2x﹣1的解集为

．参考答案：{x|x＞1}【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由题意，或，即可得出结论．【解答】解：由题意，或，∴x＞1．故答案为{x|x＞1}．13.已知数列的首项，若，，则

．参考答案：，或14.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是______________.（结果用最简分数表示）参考答案：试题分析：从名学生中选名的种数为,其中无女生的种数为,所以至少含有一个女生的概率为.考点：古典概型的计算公式及排列数组合数公式的运用．15.已知圆C：，直线l：则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为

.参考答案：16.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则=

．参考答案：17.在400ml自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率是________________________。参考答案：0.005三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）如图，三棱柱ABC﹣DEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面BEFC⊥侧面ADEB，AB=4，∠DEB=60°，G是DE的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面AGF；（Ⅱ）求证：GB⊥平面BEFC；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°，若存在，求BP的长；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明CE∥平面AGF；（Ⅱ）根据线面垂直的判定定理即可证明GB⊥平面BEFC；（Ⅲ）在建立空间直角坐标系，利用向量法结合二面角的大小建立方程关系即可得到结论．（Ⅰ）证明：连接CD与AF相交于H，则H为CD的中点，连接HG．因为G为DE的中点，所以HG∥CE．因为CE平面AGF，HG平面AGF，所以CE∥平面AGF．

（Ⅱ）证明：BE=1，GE=2，在△GEB中，∠GEB=60°，BG=．因为BG2+BE2=GE2，所以GB⊥BE．因为侧面BEFC⊥侧面ADEB，侧面BEFC∩侧面ADEB=BE，GB?平面ADEB，所以GB⊥平面BEFC．

（Ⅲ）解：BG，BE，BC两两互相垂直，建立空间直角坐标系B﹣xyz．假设在线段BC上存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°．平面BGE的法向量m=（0，0，1），设P（0，0，λ），λ∈[0，1]．，E（0，1，0）．所以=（﹣，0，λ），．设平面PGE的法向量为n=（x，y，z），则所以令z=1，得y=λ，，所以PGE的法向量为．因为m?n=1，所以，解得∈[0，1]，故．因此在线段BC上存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°，且．【点评】：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判定，以及空间二面角的求解和应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的基本方法．19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若cosB＝，b＝2，求△ABC的 面积S.参考答案：20.如图,已知三棱柱的所有棱长都是2,且．（1）求证:点在底面ABC内的射影在∠BAC的平分线上;（2）求棱柱的体积．参考答案：（1）过作⊥平面ABC,垂足为H,连接AH．作HE⊥AB,垂足为E,连接．则,,故AB⊥平面,故．同理,过作HF⊥AC,连接,则．（3分）∵,∴．∴Rt△Rt△∴HE=HF∴AH是∠BAC的角平分线,即点在底面ABC内的射影在∠BAC的平分线上;（7分）（2）由（1）可知,,在△AHE中,,∴．（10分）∴棱柱的体积为（12分）21.（本小题满分14分）已知二次函数满足，且.（1）求函数的表达式；（2）等腰梯形ABCD与函数的图像相切，底边CD在x轴上（如图），试求等腰梯形ABCD面积的最小值.

参考答案：∴

，当且仅当，即时取得最小值.

……………15分∴

梯形ABCD的面积最小值为.

……………16分22.已知函数（1）若直线为的切线，求a的值．（2）若，恒成立，求b的取值范围．参考答案：（1）0；（2）【分析】（1）设切点为，则可得且，构建新函数，讨论其单调性后可得及．（2）原不等式等价于，构建新函数，其导数为，就和分类讨论的零点、符号及其的单调性后可得实数的取值范围.【详解】（1）设切点为，，∴，令，则，当时，，在上为增函数；

当时，，在上为减函数；所以，所以，又，所以．（2），恒成立，．令，．，,当时，，所以在上为增函数，，①若，则当时，故在上为增函数