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文档简介

第二节定积分在几何上的应用一、平面图形的面积二、体积一、平面图形的面积1.直角坐标的情形设平面图形是由连续曲线和直线围成．在[a,b]上，如下图所示．取x为积分变量，上的窄曲边梯形面积近似于以为高、底为dx的矩形面积,在变化区间从而得到面积微元以面积微元为被积表达式，在[a,b]上作定积分,得所求面积:同理，如果平面图形是由连续曲线和直线围成,且在上图形的面积为那么该平面例1

求由两条抛物线围成的条曲线的交点,为此解方程组图形的面积．解围成的图形如图所示，先求这两得交点(0,0)及(1,1).取x为积分变量，则图形在直线x=0与x=1之间，应用公式(1)得例2

求抛物线与直线围成的图形的面积．解所围图形如图所示，先求抛物线与直线的交点以确定图形范围．解方程组得交点(2,-2)和(8,4).取y为积分变量，应用公式(2)得作直线x=2将图形分成两部分，分别应用注：此题若选x作积分变量,必须过点(2,-2)公式，可得例3

求曲线y=lnx,x=2及x轴围成的平面图形的面积．解如图所示,如果选择x为积分变量,它的变化范围为[1,2]，则所求面积如果选择y为积分变量，那么它的变化范围为[0,ln2]，于是所求面积例4

求摆线的一拱与x轴围成的图形的面积(如图).解所求面积为将

代入上述积分公式，并应用定积分的换元积分法换限，当x=0时，t=0；当时，.得二、体积1.平行截面面积为已知的立体的体积设有一立体(如下图所示)，在分别过点且垂直于x轴的两平面之间，它被垂直于x轴的平面所截的截面面积为已知的连续函数A(x).取x为积分变量,积分区间为[a,b],在[a,b]上取代表区间，相应薄片的体积近似于底面积为A(x)、高为dx的柱体体积，即体积微元从而，所求立体的体积例7

一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面夹角为α，截得一楔形立体(如下图所示)，求这楔形立体的体积．

2.旋转体的体积设一旋转体是由连续曲线y=f(x)，直线x=a,x=b及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成，如图所示．取横坐标x为积分变量，积分区间为[a,b]，

且垂直于x轴的平面截旋转用过点体，所得的截面是半径为的圆盘，则截面面积为于是旋转体的体积同理，由连续曲线与直线y=cy=d及y轴围成的曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积(如下图所示)例8

求由椭圆旋转而成的旋转椭球体的体积．围成的图形绕y轴解旋转椭球体如图所示，可看作由右半椭圆及y轴围成的图形绕绕y轴旋转而成的．由公式可得当a=b便得到半径为a的球体的体积例9

求由曲线的图形绕x轴旋转的旋转体体积．与解如图所示，解方程组围成得交点(1，1)及(-1，1).，该旋转体的体积V

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