2025年沪教新版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪教新版高一数学下册月考试卷10考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行；那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线；那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直；那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中；为真命题的是（）

A.①和②

B.②和③

C.③和④

D.②和④

2、圆的圆心坐标和半径分别为A.B.C.D.3、下列函数中，奇函数的个数为（）①y=x2sinx②y=sinx，x∈③y=xcosx，x∈④y=tanx．A.1个B.2个C.3个D.4个4、记max{x，y}=若f（x），g（x）均是定义在实数集R上的函数，定义函数h（x）=max{f（x），g（x）}，则下列命题正确的是（）A.若f（x），g（x）都是单调函数，则h（x）也是单调函数B.若f（x），g（x）都是奇函数，则h（x）也是奇函数C.若f（x），g（x）都是偶函数，则h（x）也是偶函数D.若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则h（x）既不是奇函数，也不是偶函数5、已知O为坐标原点，点M的坐标为(a,1)(a>0)，点N(x,y)的坐标x、y满足不等式组若当且仅当时，取得最大值，则a的取值范围是（）A.B.C.D.6、已知等差数列中，则的值是（）A.15B.30C.31D.647、如果一个点既在对数函数的图象上又在指数函数的图象上，那么称这个点为“幸运点”，在下列的五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，）中，“幸运点”有多少个（）A.0B.1C.2D.3评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)8、函数则f（-1）=____．9、已知sinθ+cosθ=-1，则sinθcosθ=____．10、【题文】已知集合集合且则___________,________.11、已知：点A（﹣2，3），M（1，1），点A′关于点M成中心对称，则点A′的坐标是____．12、函数f（x）=+的定义域为____13、已知M=[0，1]，N=[0，1]，则如图能表示M到N的映射的有______．14、在平面直角坐标系中，过点P（1，2）的直线与x轴和y轴的正半轴围成的三角形的面积的最小值为______．15、将函数y=sin(2x+2娄脨3)

的图象向左平移至少______个单位，可得一个偶函数的图象．评卷人得分三、证明题(共9题，共18分)16、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．17、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．18、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．19、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．20、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．21、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．22、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．23、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．24、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、计算题(共4题，共8分)25、要使关于x的方程-=的解为负数，则m的取值范围是____．26、先化简，再求值：，其中．27、（2009•庐阳区校级自主招生）如图所示的方格纸中，有△ABC和半径为2的⊙P，点A、B、C、P均在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．每个小方格都是边长为1的正方形，将△ABC沿水平方向向左平移____单位时，⊙P与直线AC相切．28、（2010•泉州校级自主招生）直角三角形ABC中，BC=AC，弧DEF圆心为A．已知两阴影面积相等，那么AD：DB=____．评卷人得分五、解答题(共1题，共8分)29、已知鈻�ABC

的顶点A(5,1)AB

边上的中线CM

所在直线方程为2x鈭�y鈭�5=0AC

边上的高BH

所在直线方程为x鈭�2y鈭�5=0.

求：

(1)

顶点C

的坐标；

(2)

直线BC

的方程．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行；

那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行；可能得到两个平面相交，所以不正确．

②若一个平面经过另一个平面的垂线；那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．

④若两个平面垂直；那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．

故选D．

【解析】【答案】从直线与平面平行与垂直；平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．

2、B【分析】【解析】试题分析：把圆的方程化为标准形式它表示以为圆心，以2为半径的圆，从而得到结论．【解析】

圆的方程化为则其圆心和半径分别为故选B。考点：圆的标准方程．【解析】【答案】B3、C【分析】解答：①y=x2sinx的定义域为R，满足f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数；②y=sinx，x∈定义域关于原点对称，满足f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数；

③y=xcosx，x∈定义域不关于原点对称；是非奇非偶函数；

④y=tanx．由正切函数的性质可知；函数是奇函数；

故选C．

分析：通过对①②③④四个函数的定义域，利用奇函数的定义，判断正确选项的个数．4、C【分析】【解答】解：对于A，如f（x）=x，g（x）=﹣2x都是R上的单调函数，而h（x）=不是定义域R上的单调函数；命题A错误；

对于B；如f（x）=x，g（x）=﹣2x都是R上的奇函数；

而h（x）=不是定义域R上的奇函数；命题B错误；

对于C；当f（x）；g（x）都是定义域R上的偶函数时；

h（x）=man{f（x）；g（x）}也是定义域R上的偶函数，命题C正确；

对于D，如f（x）=sinx是定义域R上的奇函数，g（x）=x2+2是定义域R上的偶函数；

而h（x）=g（x）=x2+2是定义域R上的偶函数；命题D错误．

故选：C．

【分析】根据题意，通过举例说明选项中的命题是否成立即可．5、D【分析】【分析】

6、A【分析】【解答】因为，等差数列中，=15，选A。7、C【分析】解：当x=1时，对数函数y=logax（a＞0；a≠1）恒过（1，0）点；

故M（1；1），N（1，2），一定不是幸运点；

当y=1时，指数函数y=ax（a＞0；a≠1）恒过（0，1）点；

故P（2；1）也一定不是幸运点；

而Q（2，2）是函数y=x与y=的交点；

G（2，）是函数y=x与y=log4x的交点；

故幸运点有2个；

故选：C．

利用对数函数的性质；易得M，N不是幸运点，利用指数函数的性质，易得N，P不是幸运点，利用“幸运点”的定义，我们易构造指数方程和对数方程，得到Q（2，2），G（2，0.5）两个点是幸运点，从而得到答案．

本题考查的知识点是指数函数与对数函数的性质，利用指数函数和对数的性质，排除掉不满足“幸运点”定义的M，N，P点是解答本题的关键．【解析】【答案】C二、填空题(共8题，共16分)8、略

【分析】

∵函数则f（-1）=f（-1+3）=f（2）=f（2+3）=f（5）=5-3=2；

故答案为2．

【解析】【答案】由函数的解析式可得f（-1）=f（-1+3）=f（2）=f（2+3）=f（5）=5-3；运算求得结果．

9、略

【分析】

∵sinθ+cosθ=-1；

∴（sinθ+cosθ）2=1=sin2θ+cos2θ+2sinθ•cosθ=1+2sinθ•cosθ；

∴sinθ•cosθ=0

故答案为：0

【解析】【答案】由已知中sinθ+cosθ=-1，平方后，结合同角三角函数关系中的平方关系，得∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθ•cosθ=1；进而得到答案．

10、略

【分析】【解析】

试题分析：由题意，=（m,2）或（2；m）,

又所以

考点：集合的运算。

点评：本题考查集合的交集运算，解决本题的关键是能根据题意把交集表示出来，属基础题.【解析】【答案】11、（4，﹣1）【分析】【解答】解：点A（﹣2；3），M（1，1），点A′关于点M成中心对称；

即M是线段AA′的中点；

于是设A′（x；y）

有﹣2+=1，3+=1；

解得A′（4；﹣1）；

故答案为：（4；﹣1）．

【分析】根据M是线段AA′的中点，结合中点坐标公式求出M的坐标即可．12、【分析】【解答】解：要使函数f（x）有意义，需

解得x≥﹣1且x≠0

故答案为[﹣1；0）∪（0，+∞）

【分析】令被开方数大于等于0，分母非0，列出不等式，解不等式组，求出x的范围，写出区间形式即为函数的定义域．13、略

【分析】解：①不是；y有负值，N=[0，1]；

②是；

③不是；一个x可能对应两个y；

④是．

故答案为：②④．

紧扣映射的概念；依次判断即可．

本题考查了映射的概念，属于基础题．【解析】②④14、略

【分析】解：设过点P（1；2）的直线方程为y-2=k（x-1）；

由题意知k＜0；

由x=0；得y=2-k；

由y=0，得x=1-

∴过点P（1；2）的直线与x轴和y轴的正半轴围成的三角形的面积：

S=（2-k）（1-）

=1--+1

≥2+2=4；

当且仅当即k=-2时，取“=”．

∴过点P（1；2）的直线与x轴和y轴的正半轴围成的三角形的面积的最小值为4．

故答案为：4．

设过点P（1，2）的直线方程为y-2=k（x-1），k＜0，由已知条件推导出过点P（1，2）的直线与x轴和y轴的正半轴围成的三角形的面积S=（2-k）（1-）；从而利用均值定理能求出结果．

本题考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．【解析】415、略

【分析】解：将函数y=sin(2x+2娄脨3)

的图象向左平移至少512娄脨

个单位，可得函数y=sin[2(x+512娄脨)+2娄脨3]=sin(2x+3娄脨2)=鈭�cos2x

的图象；

而y=鈭�cos2x

是偶函数；满足条件；

故答案为512娄脨

．

将函数y=sin(2x+2娄脨3)

的图象向左平移至少512娄脨

个单位，可得函数y=sin[2(x+512娄脨)+2娄脨3]=鈭�cos2x

的图象；而y=鈭�cos2x

是偶函数，从而得到答案．

本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin(娄脴x+鈱�)

的图象变换规律，属于中档题．【解析】512娄脨

三、证明题(共9题，共18分)16、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．17、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．18、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=19、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．20、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．21、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．22、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．23、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．24、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、计算题(共4题，共8分)25、略

【分析】【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是负数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范