人教b版高中数学必修5同步练习题及答案全册汇编

人B版高中数学必修5同步习题目录第1章1.1.1第一课时同步练习第1章1.1.1第二课时同步练习第1章1.1.2第一课时同步练习第1章1.1.2第二课时同步练习第1章1.2同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1第一课时同步练习第2章2.2.1第二课时同步练习第2章2.2.2第一课时同步练习第2章2.2.2第二课时同步练习第2章2.3.1第一课时同步练习第2章2.3.1第二课时同步练习第2章2.3.2第一课时同步练习第2章2.3.2第二课时同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1同步练习第3章3.1.2第一课时同步练习第3章3.1.2第二课时同步练习第3章3.2第一课时同步练习第3章3.2第二课时同步练习第3章3.3第一课时同步练习第3章3.3第二课时同步练习第3章3.4同步练习第3章3.5.1同步练习第3章3.5.2第一课时同步练习第3章3.5.2第二课时同步练习第3章章末综合检测人教B版必修5同步练习1．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．1∶5∶6 B．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不确定解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.2．在△ABC中，A＝60°，a＝eq\r(13)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)等于()A.eq\f(8\r(3),81) B.eq\f(2\r(39),3)C.eq\f(\r(39),3) D．2eq\r(7)解析：选B.由比例的运算性质知eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，故eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(13),\f(\r(3),2))＝eq\f(2\r(39),3).3．已知△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3) D.eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),2)解析：选D.eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，求出sinC＝eq\f(\r(3),2)，∵AB＞AC，∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.再由S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsinA可求面积．4．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，所以sinA＝2sinB·cosC，即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，化简，整理，得sin(B－C)＝0.∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C.答案：等腰三角形5．在△ABC中，已知b＝16，A＝30°，B＝120°，求边a及S△ABC.解：由正弦定理，得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(16×sin30°,sin120°)＝eq\f(16\r(3),3).又C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×eq\f(16\r(3),3)×16×eq\f(1,2)＝eq\f(64\r(3),3).1．在△ABC中，若AB＝3，∠ABC＝75°，∠ACB＝60°，则BC等于()A.eq\r(3) B．2C.eq\r(5) D.eq\r(6)解析：选D.∠BAC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，∴BC＝eq\f(ABsin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(3×sin45°,sin60°)＝eq\r(6).2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝eq\r(2)，b＝eq\r(6)，B＝120°，则a等于()A.eq\r(6) B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：选D.由正弦定理得eq\f(\r(6),sin120°)＝eq\f(\r(2),sinC)，∴sinC＝eq\f(1,2).又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，△ABC为等腰三角形，a＝c＝eq\r(2).3．在△ABC中，若eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)，则△ABC是()A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)，∴eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(sinB,sinA)，sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝eq\f(π,2).4．三角形的两边长为3cm、5cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝A．6cm2 B．eq\f(15,2)cm2C．8cm2 D．解析：选A.设其夹角为θ，由方程得cosθ＝－eq\f(3,5)，∴sinθ＝eq\f(4,5)，∴S＝eq\f(1,2)×3×5×eq\f(4,5)＝6(cm2)．5．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝m∶(m＋1)∶2m，则m的取值范围是A．m＞2 B．m＜0C．m＞－eq\f(1,2) D．m＞eq\f(1,2)解析：选D.由已知和正弦定理可得：a∶b∶c＝m∶(m＋1)∶2m.令a＝mk，b＝(m＋1)k，c＝2mk(k＞0)，则a，b，c满足三角形的三边关系，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＞c，,a＋c＞b，,b＋c＞a.))得m＞eq\f(1,2).6．△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，则△ABC中最长的边是()A．a B．bC．c D．b或c解析：选A.eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，∴tanB＝tanC，∴B＝C，eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosB,\f(asinB,sinA))＝eq\f(sinA·cosB,asinB)，∴tanB＝1，∴B＝4＝eq\f(π,4)，A＝eq\f(π,2)，故a最长．7．在△ABC中，A＝60°，a＝6eq\r(3)，b＝12，S△ABC＝18eq\r(3)，则eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝________，c＝________.解析：由正弦定理得eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(6\r(3),sin60°)＝12，又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA，∴eq\f(1,2)×12×sin60°×c＝18eq\r(3)，∴c＝6.答案：1268．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(1,sin30°)＝2，又∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴eq\f(a－2b＋c,sinA－2sinB＋sinC)＝eq\f(2RsinA－2sinB＋sinC,sinA－2sinB＋sinC)＝2R＝2.答案：29．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，则b＝________.解析：依题意，sinC＝eq\f(2\r(2),3)，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，解得b＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)10．△ABC中，ab＝60eq\r(3)，sinB＝sinC，△ABC的面积为15eq\r(3)，求边b的长．解：由S＝eq\f(1,2)absinC得，15eq\r(3)＝eq\f(1,2)×60eq\r(3)×sinC，∴sinC＝eq\f(1,2)，∴∠C＝30°或150°.又sinB＝sinC，故∠B＝∠C.当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.又∵ab＝60eq\r(3)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝2eq\r(15).当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．故边b的长为2eq\r(15).11．已知△ABC中，A、B、C分别是三个内角，a、b、c分别是A、B、C的对边，△ABC的外接圆半径为12，且C＝eq\f(π,3)，求△ABC面积S的最大值．解：S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)·2RsinA·2RsinB·sinC＝eq\r(3)R2sinAsinB＝eq\f(\r(3),2)R2[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝eq\f(\r(3),2)R2[cos(A－B)＋eq\f(1,2)]．当cos(A－B)＝1，即A＝B时，(S△ABC)max＝eq\f(3\r(3),4)R2＝eq\f(3\r(3),4)×144＝108eq\r(3).12．在平面四边形OAPB中，∠AOB＝120°，OA⊥AP，OB⊥BP，且AB＝2eq\r(3)，求OP的长．解：如图，在平面四边形OAPB中，∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴O、A、B、P四点共圆．∴OP的长就是四边形OAPB外接圆的直径．∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，在△AOB中，∠AOB＝120°，AB＝2eq\r(3)，∴2R＝eq\f(AB,sin∠AOB)＝eq\f(2\r(3),sin120°)＝4，∴△AOB外接圆的直径为4，即OP的长为4.

人教B版必修5同步练习1．(2011年开封高二检测)在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于()A.eq\r(6) B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2eq\r(6)解析：选A.应用正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，求得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\r(6).2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．4eq\r(2) B．4eq\r(3)C．4eq\r(6) D.eq\f(32,3)解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝4eq\r(6).3．在△ABC中，∠B＝45°，c＝2eq\r(2)，b＝eq\f(4\r(3),3)，则∠A的大小为()A．15° B．75°C．105° D．75°或15°解析：选D.∵∠B为锐角，又csinB＜b＜c，∴三角形有两解．4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(π,3)，则A＝________.解析：由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以sinA＝eq\f(a·sinC,c)＝eq\f(1,2).又∵a＜c，∴A＜C＝eq\f(π,3)，∴A＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)5．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？解：在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC＝eq\f(BC·sin∠ABC,sinA)＝eq\f(20sin30°,sin45°)＝10eq\r(2)(km)．即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是10eq\1．在△ABC中，一定成立的等式是()A．asinA＝bsinB B．asinB＝bsinAC．acosA＝bcosB D．acosB＝bcosA解析：选B.由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，故asinB＝bsinA.2．(2009年高考广东卷)已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，且∠A＝75°，则b＝()A．2 B.eq\r(6)－eq\r(2)C．4－2eq\r(3) D．4＋2eq\r(3)解析：选A.sinA＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).由a＝c＝eq\r(6)＋eq\r(2)可知，∠C＝75°，所以∠B＝30°，sinB＝eq\f(1,2)，由正弦定理得b＝eq\f(a,sinA)·sinB＝eq\f(\r(2)＋\r(6),\f(\r(2)＋\r(6),4))×eq\f(1,2)＝2，故选A.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝4eq\r(3)，b＝4eq\r(2)，则角B为()A．45°或135° B．135°C．45° D．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得：sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2),2)，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°.4．(2011年青岛高二检测)在△ABC中，∠A＝eq\f(π,3)，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是()A．[3eq\r(3)，6] B．(2,4eq\r(3))C．(3eq\r(3)，4eq\r(3)] D．(3,6]解析：选D.在△ABC中，AC＝eq\f(BC·sinB,sinA)＝eq\f(3·sinB,sin\f(π,3))＝2eq\r(3)sinB，AB＝2eq\r(3)sinC，∴AC＋AB＝2eq\r(3)sinB＋2eq\r(3)sinC＝2eq\r(3)(sinB＋sinC)＝2eq\r(3)[sinB＋sin(eq\f(2π,3)－B)]＝2eq\r(3)(sinB＋sineq\f(2π,3)cosB－coseq\f(2π,3)sinB)＝2eq\r(3)(eq\f(3,2)sinB＋eq\f(\r(3),2)cosB)＝2eq\r(3)×eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)sinB＋eq\f(1,2)cosB)＝6sin(B＋eq\f(π,6))，∵0＜B＜eq\f(2π,3)，∴eq\f(π,6)＜B＋eq\f(π,6)＜eq\f(5π,6)，∴sin(B＋eq\f(π,6))∈(eq\f(1,2)，1]，∴AC＋AB＝6sin(B＋eq\f(π,6))∈(3,6]．5．在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝60°，a＝1，则最短边的边长是()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)解析：选C.由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(1,2)，∵∠B最小，∴最小边是b.6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝eq\r(2)，则c＝()A．1 B.eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,4)解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得c＝eq\f(\r(2)×sin30°,sin45°)＝1.7．在△ABC中，已知a＝eq\f(4\r(3),3)，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.解析：由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)⇒sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(4×\f(1,2),\f(4\r(3),3))＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)8．(2011年盐城高二检测)在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，a＝eq\f(12×sin30°,sin120°)＝4eq\r(3)，∴a＋c＝8eq\r(3).答案：8eq\r(3)9．在△ABC中，b＝4eq\r(3)，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．解析：∵bsinC＝4eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3)且c＝2，∴c<bsinC，∴此三角形无解．答案：010．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝2eq\r(3)，sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)＝eq\f(1,4)，sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，求A、B及b、c.解：由sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)＝eq\f(1,4)，得sinC＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,6)或C＝eq\f(5π,6).由sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，得sinBsinC＝eq\f(1,2)[1－cos(B＋C)]，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)，即2sinBsinC＋cos(B＋C)＝1，变形得cosBcosC＋sinBsinC＝1，即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝eq\f(π,6)，B＝C＝eq\f(5π,6)(舍去)，A＝π－(B＋C)＝eq\f(2π,3).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝c＝aeq\f(sinB,sinA)＝2eq\r(3)×eq\f(\f(1,2),\f(\r(3),2))＝2.故A＝eq\f(2π,3)，B＝eq\f(π,6)，b＝c＝2.11．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos2A＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(\r(10),10).(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝eq\r(2)－1，求a，b，c的值．解：(1)∵A、B为锐角，sinB＝eq\f(\r(10),10)，∴cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(3\r(10),10).又cos2A＝1－2sin2A＝eq\f(3,5)，∴sinA＝eq\f(\r(5),5)，cosA＝eq\f(2\r(5),5)，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝eq\f(π,4).(2)由(1)知，C＝eq\f(3π,4)，∴sinC＝eq\f(\r(2),2).由正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得eq\r(5)a＝eq\r(10)b＝eq\r(2)c，即a＝eq\r(2)b，c＝eq\r(5)b.∵a－b＝eq\r(2)－1，∴eq\r(2)b－b＝eq\r(2)－1，∴b＝1.∴a＝eq\r(2)，c＝eq\r(5).12．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2B＝A＋C，a＋eq\r(2)b＝2c，求sinC的值．解：因为2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，所以B＝60°，A＋C＝120°.所以0°＜A＜120°，0°＜C＜120°.又因为a＋eq\r(2)b＝2c，所以sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC，所以sin(120°－C)＋eq\r(2)sin60°＝2sinC，所以eq\r(3)sinC－cosC＝eq\r(2)，即sin(C－30°)＝eq\f(\r(2),2).又因为0°＜C＜120°且sin(C－30°)＞0，所以0°＜C－30°＜90°.所以C－30°＝45°，C＝75°.所以sinC＝sin75°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).

人教B版必修5同步练习1．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若eq\f(c2－a2－b2,2ab)＞0，则△ABC()A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形解析：选C.∵cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＜0，∴C为钝角，∴△ABC是钝角三角形．2．如果满足∠ABC＝60°，AC＝12，BC＝k的三角形恰有一个，那么k的取值范围是()A．k＝8eq\r(3) B．0＜k≤12C．k≥12 D．0＜k≤12或k＝8eq\r(3)解析：选D.设AB＝x，由余弦定理得122＝x2＋k2－2kxcos60°，化简得x2－kx＋k2－144＝0，因为方程的两根之和x1＋x2＝k＞0，故方程有且只有一个根，等价于k2－4(k2－144)＝0或k2－144≤0，解得0＜k≤12或k＝8eq\r(3).3．在△ABC中，若acos2eq\f(C,2)＋ccos2eq\f(A,2)＝eq\f(3,2)b，那么a、b、c的关系是()A．a＋b＝c B．a＋c＝2bC．b＋c＝2a D．a＝b＝解析：选B.cos2eq\f(C,2)＝eq\f(1＋cosC,2)，cos2eq\f(A,2)＝eq\f(1＋cosA,2)，代入已知条件等式，得a＋c＋acosC＋ccosA＝3b，a＋c＋a×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c×eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝3b，整理，得a＋c＝2b.4．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，则角C＝________.解析：eq\f(1,2)absinC＝S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)·eq\f(ab,2)＝eq\f(1,2)abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，∴C＝45°.答案：45°5．在△ABC中，BC＝eq\r(5)，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－eq\f(π,4))的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，得AB＝eq\f(sinC,sinA)BC＝2BC＝2eq\r(5).(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(2\r(5),5)，于是sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(5),5).从而sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(4,5)，cos2A＝cos2A－sin2A＝eq\f(3,5所以sin(2A－eq\f(π,4))＝sin2Acoseq\f(π,4)－cos2Asineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),10).1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则∠B的值为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，联想到余弦定理，代入得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(1,tanB)＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(cosB,sinB).显然∠B≠eq\f(π,2)，∴sinB＝eq\f(\r(3),2).∴∠B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).2．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于()A．a B．bC．c D．以上均不对解析：选C.a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2c2,2c)＝c.3．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a，b，c且a2＋b2＝c2.设增加的长度为m，则c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m，又(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2＞c2＋2cm＋m2＝(c＋m∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．4．已知锐角三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，△ABC的面积为eq\r(3)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值为()A．2 B．－2C．4 D．－4解析：选A.S△ABC＝eq\r(3)＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·sinA＝eq\f(1,2)×4×1×sinA，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，又∵△ABC为锐角三角形，∴cosA＝eq\f(1,2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4×1×eq\f(1,2)＝2.5．已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对的三边分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝c2－(a－b)2，则taneq\f(C,2)等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,8) D．1解析：选B.依题意知S＝c2－(a－b)2＝c2－a2－b2＋2ab＝2ab－2abcosC＝eq\f(1,2)absinC，得sinC＋4cosC＝4，即2sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)＋4(2cos2eq\f(C,2)－1)＝4，即eq\f(2sin\f(C,2)cos\f(C,2)＋8cos2\f(C,2),sin2\f(C,2)＋cos2\f(C,2))＝8，得eq\f(2tan\f(C,2)＋8,tan2\f(C,2)＋1)＝8.解得taneq\f(C,2)＝eq\f(1,4)或taneq\f(C,2)＝0(舍去)．6．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是()A．90° B．120°C．135° D．150°解析：选B.设中间角为θ，则cosθ＝eq\f(52＋82－72,2×5×8)＝eq\f(1,2)，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求．7．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5eq\r(3)，则边c的值为________．解析：S＝eq\f(1,2)absinC，sinC＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°或120°.∴cosC＝±eq\f(1,2)，又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴c2＝21或61，∴c＝eq\r(21)或eq\r(61).答案：eq\r(21)或eq\r(61)8．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosA∶cosB∶cosC＝________.解析：由正弦定理a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(2k2＋4k2－3k2,2×2k×4k)＝eq\f(11,16)，同理可得：cosA＝eq\f(7,8)，cosC＝－eq\f(1,4)，∴cosA∶cosB∶cosC＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)9．在△ABC中，a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，则b＝________.解析：∵cosC＝eq\f(1,3)，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3).又S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，即eq\f(1,2)·b·3eq\r(2)·eq\f(2\r(2),3)＝4eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)10．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状．解：由正弦定理，得eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(c,b).由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝eq\f(sinC,2sinB)＝eq\f(c,2b).又根据余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，所以eq\f(c,2b)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，所以b＝c，所以a＝b＝c，因此△ABC为等边三角形．11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝60°，c＝3b.求：(1)eq\f(a,c)的值；(2)cotB＋cotC的值．解：(1)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(eq\f(1,3)c)2＋c2－2·eq\f(1,3)c·c·eq\f(1,2)＝eq\f(7,9)c2，故eq\f(a,c)＝eq\f(\r(7),3).(2)cotB＋cotC＝eq\f(cosBsinC＋cosCsinB,sinBsinC)＝eq\f(sinB＋C,sinBsinC)＝eq\f(sinA,sinBsinC)，由正弦定理和(1)的结论得eq\f(sinA,sinBsinC)＝eq\f(1,sinA)·eq\f(a2,bc)＝eq\f(2,\r(3))·eq\f(\f(7,9)c2,\f(1,3)c·c)＝eq\f(14,3\r(3))＝eq\f(14\r(3),9)，故cotB＋cotC＝eq\f(14\r(3),9).12．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.求证：eq\f(a2－b2,c2)＝eq\f(sinA－B,sinC).证明：法一：右边＝eq\f(sinAcosB－cosAsinB,sinC)＝eq\f(a·cosB－cosA·b,c)＝eq\f(a·\f(a2＋c2－b2,2ac)－\f(b2＋c2－a2,2bc)·b,c)＝eq\f(\f(a2＋c2－b2－b2－c2＋a2,2c),c)＝eq\f(a2－b2,c2)＝左边．法二：左边＝eq\f(sin2A－sin2B,sin2C)＝eq\f(\f(1－cos2A,2)－\f(1－cos2B,2),sin2C)＝eq\f(cos2B－cos2A,2sin2C)＝eq\f(－2sinB＋AsinB－A,2sin2C)＝eq\f(sinC·sinA－B,sin2C)＝eq\f(sinA－B,sinC)＝右边．

人教B版必修5同步练习1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝eq\f(1,3)，那么AC等于()A．6 B．2eq\r(6)C．3eq\r(6) D．4eq\r(6)解析：选A.由余弦定理，得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BCcosB)＝eq\r(42＋62－2×4×6×\f(1,3))＝6.2．在△ABC中，a＝2，b＝eq\r(3)－1，C＝30°，则c等于()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C.eq\r(5) D．2解析：选B.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋(eq\r(3)－1)2－2×2×(eq\r(3)－1)cos30°＝2，∴c＝eq\r(2).3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋eq\r(3)bc，则∠A等于()A．60° B．45°C．120° D．150°解析：选D.cos∠A＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－\r(3)bc,2bc)＝－eq\f(\r(3),2)，∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°.4．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3).在△ABD中，AD＝eq\r(AB2＋BD2－2AB·BDcosB)＝eq\r(1＋4－2×1×2×\f(1,2))＝eq\r(3).答案：eq\r(3)5．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(3)－1)∶(eq\r(3)＋1)∶eq\r(10)，求最大角的度数．解：∵sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(3)－1)∶(eq\r(3)＋1)∶eq\r(10)，∴a∶b∶c＝(eq\r(3)－1)∶(eq\r(3)＋1)∶eq\r(10).设a＝(eq\r(3)－1)k，b＝(eq\r(3)＋1)k，c＝eq\r(10)k(k＞0)，∴c边最长，即角C最大．由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2)，又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.1．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，则△ABC的最小角为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,12)解析：选B.易知c最小，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).又∵0＜C＜π，∴C＝eq\f(π,6).2．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则角A的取值范围是()A．(eq\f(π,2)，π) B．(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,3)，eq\f(π,2)) D．(0，eq\f(π,2))解析：选C.因为a是最大的边，所以A>eq\f(π,3).又a2<b2＋c2，由余弦定理cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)>0，所以A<eq\f(π,2)，故eq\f(π,3)<A<eq\f(π,2).3．在△ABC中，b＝eq\r(3)，c＝3，B＝30°，则a为()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3) D．2解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即3＝a2＋9－3eq\∴a2－3eq\r(3)a＋6＝0，解得a＝eq\r(3)或2eq\r(3).4．在△ABC中，已知a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C等于A．30° B．60°C．45°或135° D．120°解析：选C.由a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)得(a2＋b2－c2)2＝2a2b2所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝±eq\f(\r(2),2)，所以C＝45°或135°.5．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,6)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)解析：选C.由a2＝b2＋bc＋c2得b2＋c2－a2＝－bc，即eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，联想到余弦定理，∴cosA＝－eq\f(1,2)，∴∠A＝eq\f(2π,3).6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac且c＝2a，则cosB等于A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),2)解析：选B.由b2＝ac，又c＝2a所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4).7．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值为________．解析：在△ABC中，cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(49＋25－36,2×7×5)＝eq\f(19,35)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos(π－B)＝7×5×(－eq\f(19,35))＝－19.答案：－198．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＋k－12－k＋12＜0,k＋k－1＞k＋1))⇒2＜k＜4，∴k＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为eq\f(32＋42－22,2×3×4)＝eq\f(7,8).答案：eq\f(7,8)9．设△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－x,2x)(x>0)．若△ABC的周长为6eq\r(5)时，则x的值为________．解析：c＝eq\r(5)，b＝eq\r(5)x，∴a＝(5－x)eq\r(5)，由余弦定理得cosA＝eq\f(5x－12,x)，又cosA＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,5)，∴x＝eq\f(30,11).答案：eq\f(30,11)10．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c的长．解：由题意得a＋b＝5，ab＝2，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝25－4＝21，∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝21－2＝19.∴c＝eq\r(19).11．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．解：∵A＋B＋C＝π且2cos(A＋B)＝1，∴cos(π－C)＝eq\f(1,2)，即cosC＝－eq\f(1,2).又∵a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的两根，∴a＋b＝2eq\r(3)，ab＝2.∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos＝a2＋b2－2ab(－eq\f(1,2))＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2eq\r(3))2－2＝10，∴AB＝eq\r(10).12．已知△ABC的周长为eq\r(2)＋1，且sinA＋sinB＝eq\r(2)sinC.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为eq\f(1,6)sinC，求角C的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB＋BC＋AC＝eq\r(2)＋1，BC＋AC＝eq\r(2)AB，两式相减，得AB＝1.(2)由△ABC的面积eq\f(1,2)BC·AC·sinC＝eq\f(1,6)sinC，得BC·AC＝eq\f(1,3)，由余弦定理得cosC＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(AC＋BC2－2AC·BC－AB2,2AC·BC)＝eq\f(1,2)，所以C＝60°.

人教B版必修5同步练习1．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()A．a和c B．c和bC．c和β D．b和α解析：选D.在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中AC即可看作基线，在△ABC中，能够测量到的边角分别为b和α.2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akm B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm解析：选B.利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC＝2a2－2a2×(－eq\f(1,2))＝3a2.∴AB＝eq\r(3)a.3．在200m的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，A.eq\f(400,3)m B.eq\f(400\r(3),3)mC.eq\f(200\r(3),3)m D.eq\f(200,3)m解析：选A.如图，设塔高为AB，山顶为C，在Rt△CDB中，CD＝200，∠BCD＝90°－60°＝30°，∴BC＝eq\f(200,cos30°)＝eq\f(400\r(3),3).在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠BAC＝120°，eq\f(BC,sin120°)＝eq\f(AB,sin30°)，∴AB＝eq\f(BC·sin30°,\f(\r(3),2))＝eq\f(400,3)(m)．4．一河两岸有A、B两地，为了测出AB的距离，在河岸上选取一点C，测得∠CAB＝60°，∠ACB＝45°，AC＝60m，则AB≈________.(精确到解析：在△ABC中，先由三角形的内角和定理求出∠B，再由正弦定理求出AB.答案：445．已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°方向，甲船从A点以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船从B点以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？解：如图所示，设航行x小时以后，甲船到达C点，乙船到达D点，在△BCD中，BC＝100－50x(海里)(0≤x≤2)，BD＝30x(海里)，∠CBD＝60°，由余弦定理得：CD2＝(100－50x)2＋(30x)2－2(100－50x)·30x·cos60°＝4900x2－13000x＋10000，作为二次函数考虑，当x＝eq\f(13000,2×4900)＝eq\f(65,49)(小时)时，CD2最小，从而得CD最小．故航行eq\f(65,49)小时，两船之间距离最小．1．海面上有A，B两个小岛，相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成30°的视角，则B岛与C岛之间的距离是()A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(3)海里解析：选D.在由A，B，C三岛组成的△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，所以BC＝AB·sin60°＝5eq\r(3).2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析：选B.∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC＝eq\f(180°－80°,2)＝50°，又90°－50°－30°＝10°，∴塔A在塔B的北偏西10°.3．如图，D、C、B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D、C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于A．10m B．5eq\r(3)C．5(eq\r(3)－1)m D．5(eq\r(3)＋1)m解析：选D.在△ACD中，由eq\f(DC,sin45°－30°)＝eq\f(AC,sin30°)得AC＝eq\f(10×\f(1,2),sin45°－30°)＝eq\f(5,\f(\r(6)－\r(2),4))＝5(eq\r(6)＋eq\r(2))．在△ABC中，AB＝AC·sin45°＝5(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝5(eq\r(3)＋1)．4.如图所示，有一广告气球，直径为6m，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角θ为2°，若θ的弧度数很小时，可取sinθ为θ的弧度数，由此可估计该气球的高BC约为A．70m BC．102m D解析：选B.由题意，知∠BAC＝30°，所以BC＝eq\f(1,2)AC.又圆的半径为3m，sin1°＝sineq\f(π,180)≈eq\f(π,180)，所以AC≈3×eq\f(180,π)，即BC＝eq\f(1,2)AC≈eq\f(270,π)≈86(m)．5．(2011年温州质检)北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10eq\r(6)米(如图所示)．旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌长度为50秒，升旗手应以多少米/秒的速度升旗()A.eq\f(1,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(\r(3),5) D.eq\f(\r(6),5)解析：选B.∠ABC＝180°－60°－15°＝105°，∠CAB＝180°－105°－45°＝30°.∴AB＝eq\f(BC,sin∠CAB)·sin∠BCA＝eq\f(10\r(6),sin30°)·sin45°＝20eq\r(3).在Rt△OAB中，OA＝ABsin∠ABO＝20eq\r(3)·sin60°＝30.∴v＝eq\f(30,50)＝eq\f(3,5)(米/秒)．故选B.6．在某个位置测得某山峰的仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m后，测得仰角为原来的2倍，继续在地面上前进200eq\r(3)m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为A．200m BC．400m D解析：选B.如图所示，在三角形ABC中，BC＝AC＝600.在三角形ADC中，DC＝AD＝200eq\r(3)，所以eq\f(AD,sin2θ)＝eq\f(AC,sin180°－4θ)＝eq\f(AC,sin4θ)，所以eq\f(200\r(3),sin2θ)＝eq\f(600,2sin2θcos2θ)，所以cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，2θ＝30°，所以在三角形ADE中，AE＝ADsin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)．7．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________解析：如图所示，AB＝60km，∠MAB＝30°，∠由eq\f(MB,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，得MB＝30eq\r(2)km.答案：308.某观测站C在城A的南偏西20°的方向(如图)，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°.在C处测得距C为31里的公路上有一人正沿公路向A城走去，走了20里之后，到达D处，此时CD间的距离为21里，问此人还要走__________里路可到达A城．解析：在△CDB中，由余弦定理得cos∠DBC＝eq\f(DB2＋BC2－CD2,2·DB·BC)＝eq\f(23,31)，∴sin∠DBC＝eq\f(12\r(3),31)，∴sin∠ACB＝sin[π－(∠DBC＋∠DAC)]＝sin(∠DBC＋eq\f(π,3))＝eq\f(35\r(3),62)，在△CAB中，由正弦定理得AB＝eq\f(BC·sin∠ACB,sin∠CAB)＝35，∴AD＝35－20＝15.答案：159．如图所示的是曲柄连杆结构示意图，当曲柄OA在水平位置时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB按顺时针旋转α角时，P和Q之间的距离为x，已知OA＝25cm，AP＝125cm，若OA⊥AP，则x＝________(解析：x＝PQ＝OA＋AP－OP＝25＋125－eq\r(252＋1252)≈22.5(cm)．答案：22.510．在2008年北京奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出．由经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问游击手在这种布置下能否接着球？解：假设游击手能接着球，接球点为B，游击手从A点跑出，本垒为O点，球速为v，如图所示，则∠AOB＝15°，OB＝vt，AB≤eq\f(vt,4).在△AOB中，由正弦定理，得eq\f(OB,sin∠OAB)＝eq\f(AB,sin15°)，所以sin∠OAB＝eq\f(OBsin15°,AB)≥eq\f(vt,\f(vt,4))·eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝eq\r(6)－eq\r(2).因为(eq\r(6)－eq\r(2))2＝8－4eq\r(3)>8－4×1.73>1，即sin∠OAB>1，所以∠OAB不存在，即游击手不能接着球．11．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以anmile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是eq\r(3)anmile/h，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解：如图，设经过th两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at，AC＝eq\r(3)at，B＝90°＋30°＝120°，由eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得sin∠CAB＝eq\f(BCsinB,AC)＝eq\f(at·sin120°,\r(3)at)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(1,2).∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．12．(2011年济南调研)A，B，C是一条直路上的三点，AB＝BC＝1km，从这三点分别遥望一座电视发射塔P，在A处看见塔在东北方向，在B处看见塔在正东方向，在C处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路的距离解：如图所示，设BN＝x，则PQ＝x，PA＝eq\r(2)x，∵AB＝BC，∴CM＝2BN＝2x，PC＝2PQ＝2x.在△PAC中，由余弦定理，得：AC2＝PA2＋PC2－2PA·PC·cos75°，即4＝2x2＋4x2－4eq\r(2)x2·eq\f(\r(6)－\r(2),4)，解得x2＝eq\f(24＋\r(3),13).过P作PD⊥AC，垂足为D，则线段PD的长即为塔到直路的距离．在△PAC中，由eq\f(1,2)AC·PD＝eq\f(1,2)PA·PCsin75°，得PD＝eq\f(PA·PC·sin75°,AC)＝eq\f(2\r(2)x2·sin75°,2)＝eq\r(2)·eq\f(24＋\r(3),13)·eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(7＋5\r(3),13).故塔到直路的距离为eq\f(7＋5\r(3),13)km.

人教B版必修5第1章章末综合检测(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011年福州高二检测)在△ABC中，a＝1，∠A＝30°，∠B＝60°，则b等于()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)C.eq\r(3) D．2解析：选C.由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(1·sin60°,sin30°)＝eq\r(3).2．在△ABC中，a＝80，b＝100，∠A＝45°，则此三角形解的情况是()A．一解 B．两解C．一解或两解 D．无解解析：选B.由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得sinB＝eq\f(100×sin45°,80)＝eq\f(5\r(2),8)＜1，又∵a＜b，∴B有两解．故三角形有两解．3．(2011年临沂高二检测)在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosC＝eq\f(13,14)，则最大角的余弦值是()A．－eq\f(1,5) B．－eq\f(1,6)C．－eq\f(1,7) D．－eq\f(1,8)解析：选C.c2＝72＋82－2×7×8×eq\f(13,14)＝9，∴c＝3，∴B最大．cosB＝eq\f(72＋32－82,2×7×3)＝－eq\f(1,7).4．在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(5π,6)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(π,3)解析：选A.由余弦定理cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2×AB×AC)＝eq\f(52＋32－72,2×5×3)＝－eq\f(1,2)，所以∠BAC＝eq\f(2π,3).5．在△ABC中，∠B＝60°，最大边与最小边之比为(eq\r(3)＋1)∶2，则最大角为()A．45° B．60°C．75° D．90°解析：选C.设最大角为∠A，最小角为∠C.由∠B＝60°得∠A＋∠C＝120°.根据正弦定理，得eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(sin120°－C,sinC)＝eq\f(\r(3)＋1,2)，所以2sin(120°－C)＝(eq\r(3)＋1)·sinC，即eq\r(3)cosC＋sinC＝eq\r(3)sinC＋sinC，所以tanC＝1，又0°＜∠C＜180°，所以∠C＝45°，所以∠A＝75°.6．在△ABC中，a2＋b2－ab＝c2＝2eq\r(3)S△ABC，则△ABC一定是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形解析：选B.由a2＋b2－ab＝c2得：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，∴∠C＝60°，又2eq\r(3)S△ABC＝a2＋b2－ab，∴2eq\r(3)×eq\f(1,2)ab·sin60°＝a2＋b2－ab，得2a2＋2b2－5ab即a＝2b或b＝2a当a＝2b时，代入a2＋b2－ab＝c2得a2＝b2＋c2；当b＝2a时，代入a2＋b2－ab＝c2得b2＝a2＋c2故△ABC为直角三角形．7．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的货物与岸的距离A．30m B.eq\f(15,2)eq\r(3)mC．15eq\r(3)m D．45解析：选B.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(152＋102－5\r(19)2,2×15×10)＝－eq\f(1,2)，∴∠ACB＝120°，∴∠ACD＝180°－120°＝60°.∴AD＝AC·sin60°＝eq\f(15\r(3),2)(m)．8．在△ABC中，b2－bc－2c2＝0，a＝eq\r(6)，cosA＝eq\f(7,8)，则△ABC的面积S为()A.eq\f(\r(15),2) B.eq\r(15)C．2 D．3解析：选A.∵b2－bc－2c2∴(b－2c)(b＋c)∵b＋c≠0，∴b－2c＝0.∴b＝2∴6＝c2＋4c2－2c·2c×eq\f(7,8)，∴c＝2，b＝4.∴S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×4×eq\r(1－\f(49,64))＝eq\f(\r(15),2).9．锐角三角形ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是()A．1＜a＜3 B．1＜a＜eq\r(5)C.eq\r(3)＜a＜eq\r(5) D．不确定解析：选C.因为△ABC为锐角三角形，所以cosA＞0，cosB＞0，cosC＞0，所以b2＋c2－a2＞0，a2＋c2－b2＞0，a2＋b2－c2＞0，所以1＋4－a2＞0，a2＋4－1＞0，a2＋1－4＞0，即3＜a2＜5，所以eq\r(3)＜a＜eq\r(5).又c－b＜a＜b＋c，即1＜a＜3.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)＜a＜\r(5)，,1＜a＜3.))得eq\r(3)＜a＜eq\r(5).10．△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，且满足2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为()A．1＋eq\r(3) B．3＋eq\r(3)C.eq\f(3＋\r(3),3) D．2＋eq\r(3)解析：选C.2b＝a＋c，eq\f(1,2)ac·eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)⇒ac＝2，a2＋c2＝4b2－4，∴b2＝a2＋c2－2ac·eq\f(\r(3),2)⇒b2＝eq\f(4＋2\r(3),3)⇒b＝eq\f(3＋\r(3),3).11．在△ABC中，下列结论：①a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②a2＝b2＋c2＋bc，则A为60°；③a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.①a2＞b2＋c2⇒b2＋c2－a2＜0⇒eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＜0⇒cosA＜0⇒A为钝角⇒△ABC为钝角三角形；②a2＝b2＋c2＋bc⇒b2＋c2－a2＝－bc⇒eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)⇒cosA＝－eq\f(1,2)⇒A＝120°；③与①同理知cosC＞0，∴C是锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．④A∶B∶C＝1∶2∶3⇒A＝30°，B＝60°，C＝90°⇒a∶b∶c＝1∶eq\r(3)∶2.12．锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设B＝2A，则eq\f(b,a)的取值范围是()A．(－2,2) B．(0,2)C．(eq\r(2)，2) D．(eq\r(2)，eq\r(3))解析：选D.∵eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(sin2A,sinA)＝2cosA，又∵△ABC是锐角三角形，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(B＝2A＜90°,A＋2A＞90°))，∴30°＜A＜45°，则eq\f(b,a)＝2cosA∈(eq\r(2)，eq\r(3))．二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)13．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.解析：在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝cos120°＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2×AB×AC)，即eq\f(25＋AC2－49,2×5×AC)＝－eq\f(1,2).解得AC＝－8(舍去)或AC＝3.答案：314．△ABC中，eq\f(2a,sinA)－eq\f(b,sinB)－eq\f(c,sinC)＝________.解析：因为eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，所以eq\f(a,sinA)－eq\f(b,sinB)＝0，eq\f(a,sinA)－eq\f(c,sinC)＝0，即eq\f(2a,sinA)－eq\f(b,sinB)－eq\f(c,sinC)＝0.答案：015．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为________．解析：设另两边长分别为8t,5t(t＞0)，由余弦定理，得cos60°＝eq\f(64t2＋25t2－196,80t2)，解得t＝2.则另两边长分别为16和10，则这个三角形的面积为eq\f(1,2)×16×10sin60°＝40eq\r(3).答案：40eq\r(3)16．已知平面上有四点O，A，B，C，满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝－1，则△ABC的周长是________．解析：由已知得O是三角形△ABC的外心，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，又eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝－1，故∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝eq\f(2π,3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(2).在△AOB中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·coseq\f(2π,3)＝6，AB＝eq\r(6)，故△ABC的周长是3eq\r(6).答案：3eq\r(6)三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．在△ABC中，已知a＝2eq\r(3)，b＝6，A＝30°，求B及S△ABC.解：在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，∴sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(6,2\r(3))·eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2).又A＝30°，且a＜b，∴B＞A.∴B＝60°或120°.①当B＝60°时，C＝90°，△A