【大学课件】概率论与数理统计基础知识回顾

概率论与数理统计基础知识回顾欢迎来到概率论与数理统计的世界。本课程将带您深入探索这个充满挑战和机遇的领域。我们将从基础概念开始，逐步深入到复杂的统计分析方法。什么是概率?不确定性的度量概率是对随机事件发生可能性的量化描述。数学工具它为我们提供了分析和预测不确定事件的强大工具。应用广泛概率理论在科学、工程、经济等多个领域都有重要应用。概率的基本概念1样本空间所有可能结果的集合2事件样本空间的子集3概率事件发生的可能性大小事件及其运算并事件A∪B：A或B至少一个发生交事件A∩B：A和B同时发生差事件A-B：A发生但B不发生古典概型与频率概型古典概型有限个等可能结果，概率为有利结果数与总结果数之比。频率概型通过大量重复试验，用事件发生的频率估计概率。应用场景古典概型适用于理想化情况，频率概型更贴近实际。条件概率及其性质定义P(A|B)：在B已发生的条件下，A发生的概率计算公式P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(B)>0性质0≤P(A|B)≤1，P(Ω|B)=1全概率公式和贝叶斯公式全概率公式P(A)=ΣP(A|Bi)P(Bi)，其中{Bi}为完备事件组贝叶斯公式P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/P(A)，更新先验概率应用医疗诊断、机器学习、决策分析等领域广泛应用随机变量及其分布1随机变量定义将样本空间映射到实数集的函数2离散型随机变量取值为有限个或可列无限个3连续型随机变量取值为连续区间上的任意值4分布函数F(x)=P(X≤x)，描述随机变量的分布特征离散型随机变量的分布1二项分布n次独立重复伯努利试验中成功次数的分布2泊松分布描述单位时间内随机事件发生次数的分布3几何分布首次成功所需试验次数的分布4超几何分布不放回抽样中特定元素数量的分布连续型随机变量的分布均匀分布区间内任意点概率密度相等正态分布钟形曲线，自然界广泛存在指数分布描述事件之间的时间间隔常见分布及其性质分布名称期望方差二项分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布P(λ)λλ正态分布N(μ,σ²)μσ²数学期望及其性质定义随机变量的平均值，反映分布的中心位置线性性质E(aX+b)=aE(X)+b独立性若X,Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)应用用于预测、决策和风险评估方差及其性质定义Var(X)=E[(X-E(X))²]，衡量离散程度计算公式Var(X)=E(X²)-[E(X)]²性质Var(aX+b)=a²Var(X)，恒非负协方差和相关系数协方差Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，衡量线性相关性相关系数ρ=Cov(X,Y)/[√Var(X)√Var(Y)]，[-1,1]之间解释正相关、负相关、不相关的判断标准大数定律和中心极限定理大数定律样本均值依概率收敛于总体均值中心极限定理独立同分布随机变量和的分布趋近于正态分布参数估计与区间估计1参数估计利用样本信息推断总体参数2点估计用一个具体数值估计参数3区间估计给出参数可能落入的区间点估计的性质1无偏性估计量的数学期望等于被估计参数2有效性在无偏估计中方差最小3一致性样本量增大时，估计量依概率收敛于真值最大似然估计法1原理选择使观测数据出现概率最大的参数值2步骤构建似然函数，求导数为零的极值点3优点渐进无偏性，渐进有效性，适用性广置信区间的构建定义以一定置信水平包含真参数值的随机区间构建步骤选择枢轴量，确定置信水平，求解不等式解释置信水平95%意味着长期重复抽样中95%的区间包含真值假设检验的基本概念原假设H₀通常是保守的或无差异的陈述备择假设H₁与原假设相对的陈述显著性水平α犯第一类错误的最大概率P值在原假设为真时，获得观察结果或更极端结果的概率单个总体参数检验均值检验Z检验（σ已知），t检验（σ未知）方差检验χ²检验比例检验大样本Z检验两个总体参数比较检验检验类型小样本大样本均值差异配对t检验Z检验方差比较F检验F检验比例差异-Z检验方差分析1单因素方差分析比较多个总体的均值是否相等2双因素方差分析研究两个因素对响应变量的影响3F统计量组间方差与组内方差的比值4应用在医学、心理学、农业等领域广泛应用回归分析的基本原理1目的建立变量之间的数学关系模型2自变量预测变量或解释变量3因变量被预测或被解释的变量4误差项模型无法解释的随机波动简单线性回归模型模型形式Y=β₀+β₁X+ε最小二乘法最小化残差平方和模型评估R²决定系数，F检验多元线性回归模型模型形式Y=β₀+β₁X₁+β₂X₂+...+βₖXₖ+ε参数估计矩阵形式的最小二乘法多重共线性自变量之间高度相关，影响估计精度变量选择逐步回归、AIC准则等方法相关分析Pearson相关系数衡量线性相关程度Spearman等级相关适用于非线性单调关系Kendall'stau基于秩的非参数相关系数时间序列分析1趋势分析长期变化趋势2季节性分析周期性变化3自回归模型AR模型4移动平均模型MA模型5ARIMA模型综合模型非参数统计方法符号检验中位数检验秩和检验Mann-WhitneyU检验Wilcoxon符号秩检验