2019届江苏专用高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及不等式的应用讲义

高考数学

(江苏省专用)§7.3基本不等式及不等式的应用1.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存

储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是

.A组自主命题·江苏卷题组五年高考答案30解析本题考查基本不等式及其应用.设总费用为y万元,则y=

×6+4x=4

≥240.当且仅当x=

,即x=30时,等号成立.易错警示1.a+b≥2

(a>0,b>0)中“=”成立的条件是a=b.2.本题是求取最值时变量x的值,不要混同于求最值.答案82.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是

.解析∵sinA=2sinBsinC,∴sin(B+C)=2sinBsinC,即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,亦即tanB+tanC=2tanBtanC,∵tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-

=

,又△ABC为锐角三角形,∴tanA=

>0,∵tanB+tanC>0,∴tanBtanC>1,∴tanAtanBtanC=

·tanB·tanC=

,令tanBtanC-1=t,则t>0,∴tanAtanBtanC=

=2

≥2×(2+2)=8,当且仅当t=

,即tanBtanC=2时,取“=”.∴tanAtanBtanC的最小值为8.考点基本不等式及不等式的应用1.(2017山东文,12,5分)若直线

+

=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为

.B组

统一命题·省(区、市)卷题组答案8解析本题考查基本不等式及其应用.由题设可得

+

=1,∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)

=2+

+

+2≥4+2

=8

.故2a+b的最小值为8.2.(2017天津文改编,8,5分)已知函数f(x)=

设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立,则a的取值范围是

.答案[-2,2]解析令g(x)=

,当a≤0时,如图1所示,若f(x)≥g(x)恒成立,则g(0)≤2,得a≥-2,∴-2≤a≤0;

图1当a>0,x≥1时,如图2所示,f(x)=x+

,则f'(x)=1-

,由f'(x)=

,得x=2,此时y=3,即点B(2,3),则g(2)=

+a≤3,得a≤2,∴0<a≤2.

图2综上可知,-2≤a≤2.思路分析作出函数y=f(x)的图象,借助于图象的直观性求出f(x)≥

在R上恒成立时a的取值范围.方法总结解决含绝对值不等式恒成立的问题,往往将不等式问题转化为两函数图象的上、下

位置关系问题,从而利用数形结合得出满足条件的不等式,进而求出参数a的值.3.(2017天津理改编,8,5分)已知函数f(x)=

设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立,则a的取值范围是

.答案

解析本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题.①当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立等价于-x2+x-3≤

+a≤x2-x+3在R上恒成立,即有-x2+

x-3≤a≤x2-

x+3在R上恒成立.由y=-x2+

x-3图象的对称轴为x=

,可得在x=

处取得最大值-

;由y=x2-

x+3图象的对称轴为x=

,可得在x=

处取得最小值

,则-

≤a≤

.②当x>1时,关于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立等价于-

≤

+a≤x+

在R上恒成立,即有-

≤a≤

+

在R上恒成立,由于x>1,所以-

≤-2

=-2

,当且仅当x=

时取得最大值-2

;因为x>1,所以

x+

≥2

=2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2

≤a≤2.由①②可得-

≤a≤2.思路分析讨论当x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-x2+

x-3≤a≤x2-

x+3,再由二次函数的最值求法,可得a的取值范围;讨论当x>1时,同样可得-

≤a≤

+

,再利用基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.4.(2013山东理改编,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当

取得最大值时,

+

-

的最大值为

.答案1解析由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,∴

=

=

.又x、y、z为正实数,∴

+

≥4,当且仅当x=2y时取等号,此时z=2y2.∴

+

-

=

+

-

=-

+

=-

+1,当

=1,即y=1时,上式有最大值1.5.(2016山东理,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tanA+tanB)=

+

.(1)证明:a+b=2c;(2)求cosC的最小值.解析(1)由题意知2

=

+

,化简得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB.因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC.从而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=

,所以cosC=

=

=

-

≥

,当且仅当a=b时,等号成立.故cosC的最小值为

.疑难突破利用切化弦将已知等式等价转化,最终转化为三角形三角正弦之间的关系,从而结合

正弦定理得出三角形三边之间的关系.一、填空题(每题5分,共25分)1.(2017江苏南通、扬州、泰州第三次模拟考试,11)若正实数x,y满足x+y=1,则

+

的最小值是

.三年模拟A组2015—2017年高考模拟·基础题组(时间：45分钟分值：50分)答案8解析因为x+y=1,且x>0,y>0,所以

+

=

+

=

+

+4≥2

+4=4+4=8,当且仅当

=

,即y=2x时取“=”.所以

+

的最小值为8.2.(2017无锡普通高中期中,9)已知正实数a,b满足a+3b=7,则

+

的最小值为

.答案

解析

+

=

[(a+1)+3(2+b)]

=

≥

,当且仅当

=

,即a+1=

(b+2)时取等号.故答案为

.3.(2017扬州上学期期中,11)若a>0,b>2,且a+b=3,则使得

+

取得最小值的实数a=

.答案

解析因为a+b=3,所以a+b-2=1,又a>0,b>2,所以

+

=

+

=4+

+

+1≥9,当且仅当

=

时取等号,此时a=2(b-2),结合a+b=3,解得b=

,a=

.4.(2016江苏苏州一模,13)已知ab=

,a,b∈(0,1),则

+

的最小值为

.答案4+

解析

+

=

+

=2+

=2+

=2+2+

,由题意得4a-1>0,4-4a>0,所以原式≥4+

×2×

=4+

,当且仅当

=

时取等号.5.(2016江苏泰州一模,13)若正实数x,y满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2),则x+

的最大值为

.答案

-1解析令x+

=t(t>0),则(2yt-2)2=(5y+2)(y-2),(4t2-5)y2+(8-8t)y+8=0,因此Δ=(8-8t)2-32(4t2-5)≥0⇒2t2+4t-7≤0⇒0<t≤-1+

,当t=-1+

时,y=

=

>0,x=

>0,因此x+

的最大值为

-1.6.(2015江苏四市三模,8)已知常数a>0,函数f(x)=x+

(x>1)的最小值为3,则a的值为

.答案1解析∵x>1,∴x-1>0,又a>0,∴f(x)=x+

=x-1+

+1≥2

+1,∴2

+1=3,∴a=1,此时,x-1=

,即x=2.7.(2015江苏连云港二模,13)设x,y,z均为大于1的实数,且z为x和y的等比中项,则

+

的最小值为

.答案

解析由题意得z2=xy,lgx>0,lgy>0,∴

+

=

+

=

+

+

+

=

+

+

≥

+2

=

,当且仅当

=

,即lgy=2lgx,即y=x2时取等号.二、解答题(共15分)8.(2016江苏扬州中学期中,18)有一块三角形地,如图中△ABC,其中AB=8百米,AC=6百米,∠A=60°.某市为迎接2500年城庆,欲利用这块地修一个三角形形状的草坪(图中△AEF)供市民休闲,其

中点E在边AB上,点F在边AC上.规划部门要求△AEF的面积占△ABC的面积的一半,记△AEF的

周长为l(百米).(1)如果要对草坪进行灌溉,需沿△AEF的三边安装水管,求水管总长度的最小值;(2)如果沿△AEF的三边修建休闲长廊,求长廊总长度的最大值,并确定此时E、F的位置.

解析(1)设AE=x(百米),∵S△AEF=

S△ABC,∴

AE·AF·sinA=

×

AB·AC·sinA.∵AB=8,AC=6,∴AF=

.∵

∴4≤x≤8.∵△AEF中,EF2=x2+

-2x·

cos60°=x2+

-24,∴l=x+

+

,x∈[4,8].∵l=x+

+

≥2

+

=6

,当且仅当x=2

时取“=”,∴lmin=6

.故水管总长度的最小值为6

百米.(2)由(1)知:l=x+

+

,x∈[4,8].令t=x+

,x∈[4,8],∴t'=1-

=

=

.列表得:x(4,2 )2 (2 ,8)t'-0+t↘极小值4 ↗且x=4时,t=10;x=8时,t=11,故t∈[4

,11].l=t+

在[4

,11]上单调递增,∴当t=11时,lmax=18,此时x=8,

=3.故当点E在B处,点F是线段AC的中点时,长廊总长度的最大值为18百米.一、填空题(每题5分,共40分)1.(2017江苏苏北四市联考,11)若实数x,y满足xy+3x=3

,则

+

的最小值为

.B组2015—2017年高考模拟·综合题组(时间：45分钟分值：50分)答案8解析∵实数x,y满足xy+3x=3

,∴x=

∈

,∴y>3.则

+

=y+3+

=y-3+

+6≥2

+6=8,当且仅当y-3=

,即y=4

时取等号.思路分析实数x,y满足xy+3x=3

,可得x=

∈

,可得y>3,则

+

=y+3+

=y-3+

+6,利用基本不等式可求得结果.2.(2017江苏仪征中学第二学期期初检测,13)已知正数x,y满足

=4xy,那么y的最大值为

.答案

解析

=4xy得4x-y=16x2y+12xy2,即(4-12y2)x=(1+16x2)y,∴

=

=16x+

≥8

当且仅当16x=

,即x=

时等号成立

,故4-12y2≥8y,即3y2+2y-1≤0,所以-1≤y≤

,故y的最大值为

.3.(2017盐城第三次模拟考试,12)若a,b均为非负实数,且a+b=1,则

+

的最小值为

.答案3解析由a+b=1,可得

+

=

+

,

[(1+b)+(2-b)]

=

,因为a,b均为非负实数,且a+b=1,所以0≤b≤1,则

≥3,当且仅当

=

,即b=0时等号成立.故

+

的最小值为3.思路分析根据a+b=1,把

+

转化为含一个变量的表达式,再结合基本不等式求解.4.(2017苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))已知a,b均为正数,且ab-a-2b=0,则

-

+b2-

的最小值为

.答案7解析由已知可得2b+a=ab,由a>0,b>0可得2

≤2b+a=ab,所以ab≥8,当且仅当a=2b时等号成立.所以

-

+b2-

=

-

=

-1≥ab-1≥7,故所求最小值为7.5.(2016江苏苏北四市调研,12)设a,b,c是正实数,满足b+c≥a,则

+

的最小值为

.答案

-

解析∵b+c≥a,∴2b+c≥a+b,∵a,b,c是正实数,∴

≥

,∴

≥

,∴

+

≥

+

,令t=

,则t>0,且

+

=t+

=

+

-

≥2

-

=

-

,当且仅当t=

时取“=”,则

+

的最小值为

-

.6.(2016江苏苏北四市调研,13)已知A(0,1),B(1,0),C(t,0),t为正整数,点D是直线AC上的动点,若AD

≤2BD恒成立,则t的最小值为

.答案4解析由题意知直线AC的方程为y=-

x+1,设D

,∵AD≤2BD,∴

≤2

,化简得

x2-

x+8≥0对任意x总成立,则

-4×8×

≤0,化简得t2-4t+1≥0,解得t≥2+

或t≤2-

,结合t为正整数得t的最小值为4.7.(2015南京三模,12)已知x,y为正实数,则

+

的最大值为

.答案

解析令m=4x+y,n=x+y,则m>0,n>0且

∴

+

=

+

=

-

≤

-

=

,当且仅当m=2n,即y=2x时取等号.8.(2015江苏南通三模,14)已知正实数x,y满足x+

+3y+

=10,则xy的取值范围为

.答案

解析令t=xy,则t>0,且题中等式可化为x+

+

+

=10,即

x+

=10,∴10=

x+

≥2

=2

,∴3t2-11t+8≤0,∴1≤t≤

,即1≤xy≤

.二、解答题(共10分)9.(2016江苏宿迁三校调研,19)如图,公路AM,AN围成的是一块顶角为α的角形耕地,其中tanα=-2.

在该块土地中P处有一小型建筑,经测量,它到公路AM,AN的距离分别为3km,

km.现要过点P修建一条公路BC,将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地占用,试确定B点

的位置,使得该工业园区的面积最小,并求最小面积.

解析如图,过点P作PE⊥AM,PF⊥AN,垂足分别为E,F,连接PA.设AB=x,AC=y,则x>0,y>0.

因为P到AM,AN的距离分别为3,

,所以PE=3,