福建省南平市清华中学2021-2022学年高二数学文联考试题含解析

福建省南平市清华中学2021-2022学年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某全日制大学共有学生5600人，其中专科有1300人、本科有3000人、研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中应分别抽取（

）A．65人，150人，65人

B．30人，150人，100人C．93人，94人，93人

D．80人，120人，80人参考答案：A2.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的中点坐标为，则的值为(

)（A）

(B)

（C）

(D)参考答案：C3.二进制数转化为八进制数是(

)A.B.C.D.参考答案：B4.数列中，且是公比为的等比数列，满足,则（

）A.0＜q＜

B.0＜q＜

C.0＜q＜

D.0＜q＜参考答案：B5.某校高二共有8个班，现有10个三好生名额需分配到各班,每班至少1个名额的分配方法有(

)种.ks5uA.16

B.24

C.36

D.64参考答案：C略6.已知|a|=5,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|=（）Ａ.

B.

C.

D.

参考答案：C略7.已知函数，若在上有解，则实数a的取值范围为（

）A.(1,e) B.(0,1) C.(－∞,1) D.(1,+∞)参考答案：D【分析】首先判断函数单调性为增.,将函数不等式关系转化为普通的不等式,再把不等式转换为两个函数的大小关系,利用图像得到答案.【详解】定义域上单调递增，，则由，得，，则当时，存在的图象在的图象上方.，，则需满足.选D.【点睛】本题考查了函数的单调性,解不等式,将不等式关系转化为图像关系等知识,其中当函数单调递增时,是解题的关键.8.在同一直角坐标系中，直线=1与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置关系是（）A．直线经过圆心 B．相交但不经过圆心C．相切 D．相离参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】求出圆心到直线的距离大于零且小于半径，可得直线和圆相交但不经过圆心．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0，即（x+1）2+（y﹣2）2=9，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于3的圆．由于圆心到直线=1的距离为=2＜3，故直线和圆相交但不经过圆心，故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．9.圆的圆心坐标是（）A．

B．

C．

D．参考答案：Ａ略10.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（

）A．32

B．16

C．24

D．48

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的值等于

．参考答案：12.命题“?x∈R，4x2﹣3x+2＜0”的否定是

．参考答案：?x∈R，4x2﹣3x+2≥0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定【解答】解：原命题为“?x∈R，4x2﹣3x+2＜0∵原命题为全称命题∴其否定为存在性命题，且不等号须改变∴原命题的否定为：?x∈R，4x2﹣3x+2≥0故答案为：?x∈R，4x2﹣3x+2≥0【点评】本题考查命题的否定，本题解题的关键是熟练掌握全称命题：“?x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“?x∈A，非P（x）”，熟练两者之间的变化．13.已知复数表示z的共轭复数，则=____________.参考答案：7+i.略14.已知为锐角三角形的两个内角，则与的大小关系是______．参考答案：【分析】由题意利用锐角三角形的性质、诱导公式和三角函数的单调性比较与的大小关系即可.【详解】因为是锐角三角形的两个内角，故，，，，所以.即.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，锐角三角形的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为_______________.参考答案：16.A，B，C三种零件，其中B种零件300个，C种零件200个，采用分层抽样方法抽取一个容量为45的样本，A种零件被抽取20个，C种零件被抽取10个，三种零件总共有___

个。参考答案：90017.已知为上的连续可导函数，且，则函数在上的零点个数为

．参考答案：0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.观察下列等式：，，，，……（1）依照上述4个式子的规律，归纳出第n个等式；（2）用数学归纳法证明上述第n个等式.参考答案：(1)第个等式为（2）要证明的等式即（i）当时，等号显然成立（ii）假设时，等号成立，则当时，所以假设成立，综上，.19.解：19.(本小题12分)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－，x∈R.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝0，若sinB＝2sinA，求a，b的值．参考答案：f(x)的最大值为0，最小正周期T＝π.

（5分）∵0＜C＜π，∴0＜2C＜2π，∴∴

（7分）∵sinB＝2sinA，∴由正弦定理得，①

（8分）由余弦定理得

（10分）即a2＋b2－ab＝9，②由①②解得

（12分）20.（本小题满分14分）已知椭圆

的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为.

（i）若，求直线的倾斜角；

（ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.参考答案：（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.由题意可知，即ab=2.解方程组得a=2，b=1.所以椭圆的方程为.………4分(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得.由，得.从而.所以.由，得.整理得，即，解得k=.所以直线l的倾斜角为或.………………8分（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是由，得。…………10分（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。令，解得。由，，，整理得。故。所以。综上，或

…………14分略21.过直角坐标平面xOy中的抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A、B两点．（1）求直线AB的方程；（2）试用p表示A、B之间的距离；（3）当p=2时，求∠AOB的余弦值．参考公式：（xA2+yA2）（xB2+yB2）=xAxB[xAxB+2p（xA+xB）+4p2]．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】（1）根据所给的抛物线的方程写出抛物线的焦点坐标，又有所给的直线的倾斜角得到这条直线的斜率，由点斜式写出直线的方程，整理成最简形式．（2）要求两点之间的距离，首先要把直线与抛物线方程联立，整理出关于x的方程，根据根和系数之间的关系，和抛物线的定义，写出结果．（3）根据所给的p的值，写出具体的直线的方程，把直线的方程和抛物线方程联立，利用韦达定理，写出根与系数之间的关系，利用余弦定理写出要求的角的余弦值，得到结果．【解答】解：（1）由题意知焦点，∴过抛物线焦点且倾斜角为的直线方程是，即x﹣y﹣=0，（2）由?|AB|=xA+xB+p=4p．（3）由?x2﹣6x+1=0?xA+xB=6，xAxB=1.=．∴∠AOB的大小是与p无关的定值．【点评】本题考查直线与圆锥曲线之间的关系，实际上这种问题在解题时考虑的解题方法类似，都需要通过方程联立来解决问题，注意本题中抛物线还有本身的特点，注意使用．22.如图，直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=，曲线DE上任一点到A、B两点距离之和都相等（E与AB在一条直线上）.（1）适当建立直角坐标系，求曲线DE的方程；（2）过C点能否作一条直线与曲线DE相交且以C为中点的弦？如果不能，请说明理由，如果能，则求出该弦所在直线的方程。参考答案：（1）取AB的中点O为原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，由题意曲线DE为