2025届高考数学一轮知能训练第九章概率与统计第11讲条件概率与正态分布含解析VIP

PAGE1-第11讲条件概率与正态分布1.(2024年广东湛江一模)设随机变量ξ听从正态分布N(3,4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则a的值为()A.eq\f(7,3)B.eq\f(5,3)C.5D.32.设随机变量X～N(3,1)，若P(X＞4)＝p，则P(2≤X≤4)＝()A.eq\f(1,2)＋pB.1－pC.1－2pD.eq\f(1,2)－p3.夏秋两季，生活在长江口外浅海疆的中华鲟洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖.产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海，一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鲟鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能胜利溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海疆已长成熟，则其能胜利溯流产卵繁殖的概率为()A.0.05B.0.0075C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)4.在某次数学测试中，学生成果ξ听从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则ξ在(0,80)内的概率为()A.0.05B.0.1C.0.15D.0.25.(2024年皖南十校联考)在某市2024年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成果听从正态分布N(98,100).已知参与本次考试的全市理科学生约9450人.某学生在这次考试中的数学成果是108分，那么他的数学成果大约排在全市第多少名？()A.1500B.1700C.4500D.80006.在如图X9­11­1所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分[曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线]的点的个数的估计值为()图X9­11­1A.2386B.2718C.3414D.47737.(2024年山东聊城重点中学联考)已知听从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)听从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175cm范围内的校服大约要定制()A.683套B.954套C.972套D.997套

8.某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数μ＝14，标准差σ＝2，绘制如图X9­11­2所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.(1)从该生产线加工的产品中随意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判(P表示对应事务的概率)：①P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≥0.6827；②P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≥0.9545；③P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≥0.9973.评判规则为：若至少满意以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线.试推断该生产线是否须要检修；(2)将数据不在(μ－2σ，μ＋2σ)内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中随意抽取2件，次品数记为Y，求Y的分布列与数学期望E(Y).图X9­11­29.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2024年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图X9­11­3所示.(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z听从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为μσ＝eq\r(142.85)≈11.95；②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9545.图X9­11­310.某工厂改造一废弃的流水线M，为评估流水线M的性能，连续两天从流水线M生产零件上随机各抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：第一天直径/mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100其次天直径/mm5860616263646566676869707173合计件数11245213421332111100记抽取的零件直径为X，经计算，第一天样本的平均值μ1＝65，标准差σ1＝2.2；其次天样本的平均值μ2＝65，标准差σ2＝2.(1)现以两天抽取的零件来评判流水线M的性能.(ⅰ)计算这两天抽取200件样本的平均值μ和标准差σ(精确到0.01)；(ⅱ)现以频率值作为概率的估计值，依据以下不等式进行评判(P表示相应事务的概率)：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≥0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≥0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≥0.9973.评判规则为：若同时满意上述三个不等式，则设备等级为优；仅满意其中两个，则等级为良；若仅满意其中一个，则等级为合格；若全部不满意，则等级为不合格，试推断流水线M的性能等级.(2)将直径x在(μ－2σ，μ＋2σ]范围内的零件认定为一等品，在(μ－3σ，μ＋3σ]范围以外的零件认定为次品，其余认定为合格品.现从200件样本除一等品外的零件中抽取2个，设ξ为抽到次品的件数，求ξ的分布列及其期望.附注：参考数据：eq\r(4.42)≈2.102，eq\r(44.2)≈6.648，eq\r(442)≈21.024；参考公式：标准差σ＝.

第11讲条件概率与正态分布1．A2.C3．C解析：记雌性个体能长成熟为事务A，则P(A)＝0.15，能胜利溯流并产卵繁殖为事务B，则P(AB)＝0.05.由条件概率知P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,3).故选C.4．B解析：依据正态曲线的对称性可知，ξ在(80,100)内的概率为0.4，∵ξ在(0,100)内的概率为0.5，∴ξ在(0,80)内的概率为0.1.故选B.5．A解析：∵学生的数学成果X～N(98,100)，∴P(X≥108)＝eq\f(1,2)[1－P(88<X<108)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝eq\f(1,2)(1－0.6827)＝0.1587，故该学生的数学成果大约排在全市第0.1587×9450≈1500名．故选A.6．C解析：依据正态分布的性质，P(0<x<1)＝eq\f(1,2)P(－1<x<1)≈0.3414.故选C.7．B解析：P(155<ξ<175)＝P(165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B.8．解：(1)由题意知，μ＝14，σ＝2，由频率分布直方图得P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝P(12＜X＜16)＝(0.29＋0.11)×2＝0.8＞0.6827，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝P(10＜X＜18)＝0.8＋(0.04＋0.03)×2＝0.94＜0.9545，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝P(8＜X＜20)＝0.94＋(0.015＋0.005)×2＝0.98＜0.9973.∵不满意至少两个不等式成立，∴该生产线需检修．(2)由(1)知P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.94＝eq\f(47,50)，∴任取一件是次品的概率为0.06＝eq\f(3,50).任取两件产品得到的次品数Y的可能值为0,1,2，则P(Y＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(47,50)))2＝eq\f(2209,2500)；P(Y＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(47,50)×eq\f(3,50)＝eq\f(141,1250)；P(Y＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,50)))2＝eq\f(9,2500).∴Y的分布列为Y012Peq\f(2209,2500)eq\f(141,1250)eq\f(9,2500)∴E(Y)＝0×eq\f(2209,2500)＋1×eq\f(141,1250)＋2×eq\f(9,2500)＝eq\f(3,25).9．解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数eq\x\to(x)为：eq\x\to(x)＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.(2)①∵Z听从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，∴P(14.55<Z<38.45)＝P(26.5－11.95<Z<26.5＋11.95)＝0.6827，∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.6827.②依据题意得X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,16)；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,4)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(3,8)；P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,4)；P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,16).∴X的分布列为X01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)∴E(X)＝4×eq\f(1,2)＝2.10．解：(1)(ⅰ)依题意：200个零件的直径平均值为μ＝65.由标准差公式得：第一天：(Xi－65)2＝100σeq\o\al(2,1)＝484，其次天：(Xi－65)2＝100σeq\o\al(2,2)＝400，则σ2＝eq\f(1,200)(Xi－65)2＝eq\f(1,200)(484＋400)＝4.42，故σ＝eq\r(4.42)≈2.10；(ⅱ)由(1)可知：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝P(62.9<X≤67.1)＝eq\f(164,200)＝0.82≥0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝P(60.8<X≤69.2)＝eq\f(189,200)＝0.945<0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝P(58.7<X≤71.3)＝eq\f(196,200)＝0.98<0.9973，仅满意一个不等式，推断流水线M的等级为合格．(2)可知200件零件中合格品7个，次品4个，ξ的可能取值为0,1,2，则P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al