北京17高考数学试卷

北京17高考数学试卷一、选择题

1.下列函数中，定义域为实数集R的是（）

A.$y=\sqrt{x^2+1}$

B.$y=\frac{1}{x}$

C.$y=\log_2(x-1)$

D.$y=\sqrt[3]{x}$

2.已知函数$f(x)=2x^2-3x+2$，则$f(2)$的值为（）

A.2

B.4

C.6

D.8

3.若$a^2+b^2=1$，则$\sin^2a+\cos^2b$的值为（）

A.1

B.0

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{3}{4}$

4.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(-1,2)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为（）

A.-1

B.0

C.1

D.3

5.已知等差数列$\{a_n\}$的前三项分别为1，2，3，则该数列的公差为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

6.已知等比数列$\{b_n\}$的前三项分别为2，4，8，则该数列的公比为（）

A.2

B.4

C.8

D.16

7.若一个正方体的边长为2，则它的表面积为（）

A.8

B.12

C.16

D.24

8.已知圆的方程为$x^2+y^2=4$，则该圆的半径为（）

A.2

B.4

C.$\sqrt{2}$

D.$\sqrt{4}$

9.若直线的斜率为2，且过点$(1,3)$，则该直线的方程为（）

A.$y=2x+1$

B.$y=2x-1$

C.$y=-2x+1$

D.$y=-2x-1$

10.已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(1,2)$，则$a+b+c$的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

二、判断题

1.在直角坐标系中，直线$y=kx+b$的斜率$k$表示直线的倾斜程度，且$k>0$时，直线从左下方向右上方倾斜。（）

2.函数$y=\frac{1}{x}$在定义域内没有极值点。（）

3.若两个向量的点积为0，则这两个向量垂直。（）

4.等差数列的通项公式可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。（）

5.在平面直角坐标系中，点$(x,y)$到原点的距离可以表示为$\sqrt{x^2+y^2}$。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=3x^2-4x+1$在$x=1$处的导数为0，则该函数的极值点为______。

2.向量$\vec{a}=(3,4)$和向量$\vec{b}=(1,2)$的夹角余弦值$\cos\theta$等于______。

3.等差数列$\{a_n\}$的前10项和为110，首项$a_1=1$，则该数列的第20项$a_{20}$等于______。

4.圆的标准方程为$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$为圆心坐标，$r$为半径。若圆心坐标为$(2,-3)$，半径为5，则该圆的方程为______。

5.若直线$y=mx+b$与$x$轴的交点为$(x_0,0)$，则该直线的斜率$m$可以表示为______。

四、简答题

1.简述二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像特征，包括顶点坐标、对称轴、开口方向等。

2.举例说明如何使用向量的点积来判断两个向量的关系，并说明点积的性质。

3.解释等差数列和等比数列的定义，并给出求和公式。

4.讨论圆的方程$x^2+y^2=r^2$在平面直角坐标系中的几何意义，并说明如何通过圆的方程找到圆心和半径。

5.举例说明如何求一个函数在某一点的切线方程，并说明求切线方程的步骤。

五、计算题

1.计算函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$在$x=2$处的导数。

2.已知向量$\vec{a}=(5,-2)$和向量$\vec{b}=(3,4)$，求向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的点积。

3.一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求该数列的第10项。

4.已知圆的方程为$x^2+y^2-4x-6y+9=0$，求该圆的圆心坐标和半径。

5.求直线$y=2x-3$与圆$x^2+y^2=9$的交点坐标。

六、案例分析题

1.案例背景：

小明在学习函数时，遇到了一个函数$f(x)=-x^2+4x-3$，他想要知道这个函数的图像是什么样的，并且找到它的最大值。

案例分析：

请根据小明的需求，分析以下问题：

(1)如何确定函数$f(x)=-x^2+4x-3$的图像是开口向下的抛物线？

(2)如何找到函数的最大值？请给出具体的计算步骤和结果。

2.案例背景：

在一次数学竞赛中，有一道题目要求参赛者找出数列$\{a_n\}$的通项公式，已知数列的前五项为1，3，7，13，21。

案例分析：

请根据题目要求，分析以下问题：

(1)通过观察数列的前几项，尝试找出数列的规律，并写出通项公式的大致形式。

(2)如何验证所得到的通项公式是正确的？请给出具体的验证步骤。

七、应用题

1.应用题：

小红在一家商店购买了一件商品，原价为200元，商店提供了两种优惠方案：

方案一：打九折。

方案二：满100元减20元。

请计算小红选择哪种优惠方案可以节省更多的钱。

2.应用题：

一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，行驶了4小时后，因为故障停车维修。维修后，汽车以每小时60公里的速度继续行驶，行驶了3小时后到达目的地。求汽车从出发到到达目的地总共行驶了多少公里。

3.应用题：

一个班级有学生40人，男生和女生的比例是3:2。如果从班级中随机抽取10名学生参加比赛，请计算至少有2名女生的概率。

4.应用题：

一个长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm和3cm，请计算这个长方体的体积和表面积。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A

2.C

3.A

4.A

5.B

6.A

7.A

8.B

9.B

10.A

二、判断题

1.×（直线斜率$k>0$时，直线从左下方向右上方倾斜）

2.×（函数$y=\frac{1}{x}$在定义域内有一个极值点$x=0$，但无最大值或最小值）

3.√

4.√

5.√

三、填空题

1.顶点坐标为$(1,2)$，对称轴为$x=1$，开口向下。

2.$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{5\cdot3+(-2)\cdot4}{\sqrt{5^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{11}{\sqrt{29}\cdot5}$

3.第10项$a_{10}=a_1+9d=1+9\cdot3=28$

4.圆心坐标为$(2,3)$，半径$r=5$

5.斜率$m=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$

四、简答题

1.二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图像是一个开口向上或向下的抛物线，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},f(-\frac{b}{2a}))$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。当$a>0$时，开口向上，有最小值；当$a<0$时，开口向下，有最大值。

2.向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的点积$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\theta$，其中$\theta$是$\vec{a}$和$\vec{b}$之间的夹角。如果$\vec{a}\cdot\vec{b}>0$，则$\vec{a}$和$\vec{b}$同向；如果$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，则$\vec{a}$和$\vec{b}$垂直；如果$\vec{a}\cdot\vec{b}<0$，则$\vec{a}$和$\vec{b}$反向。点积的性质包括交换律、结合律、分配律和$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$。

3.等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差。等比数列的通项公式为$a_n=a_1\cdotr^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。

4.圆的方程$x^2+y^2=r^2$表示一个以原点为圆心，半径为$r$的圆。圆心坐标为$(h,k)$，半径为$r$的圆的方程为$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$。

5.求函数在某一点的切线方程，首先计算该点的导数值，即切线的斜率，然后使用点斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$，其中$(x_1,y_1)$是切点坐标，$m$是切线斜率。

知识点总结：

-函数的图像和性质

-向量的点积和几何意义

-数列的定义和求和公式

-圆的方程和几何意义

-切线方程的求法

题型知识点详解及示例：

-选择题考察了学生对基础概念的理解和运用。

-判断题考察了学生对概念的正确判断能力。

-填空题考察了学生对公式的记忆和应用。

-简答题考察了学生对概念的理解和解释能力。

-计算题考察了学生运用公式和概念解决问题的能力。

-应用题考察了学生将数学知识应用于实际问题的能力。

示例：

1.计算函数$f(x)=2x^3-3x^2+x$在$x=1$处的导数