2025年鲁科版高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年鲁科版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知正△ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的直观图△的面积为（）A.B.C.D.2、【题文】已知球的直径是该球面上的两点，则三棱锥的体积为（）A.B.C.D.3、【题文】若则（）A.B.C.D.4、点P在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为各单位）。设开始时点P的坐标为（-10，10），求5秒后点P的坐标为（）A.B.C.D.5、3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是()A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为=50+80则劳动生产率提高1000元时，工资大约提高____元．7、已知集合则8、如图，长为宽为的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第三面后被一小木块挡住，使木块与桌面成角，则点走过的路程是_______________．9、【题文】若已知则线段的长为____10、【题文】给出定义：若m－(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}＝m，在此基础上给出下列关于函数f(x)＝|x－{x}|的四个命题：①函数y＝f(x)的定义域为R，值域为[0，]；②函数y＝f(x)在[－]上是增函数；③函数y＝f(x)是周期函数，最小正周期为1；④函数y＝f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称．其中正确命题的序号是________．11、设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1

的最大值为M

最小值为m

则M+m=

______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)12、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．13、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．14、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．15、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．16、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．17、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．18、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、计算题(共2题，共8分)19、若，则=____．20、△ABC中，AB=AC=5厘米，BC=8厘米，⊙O分别切BC、AB、AC于D、E、F，那么⊙O半径为____厘米．评卷人得分五、解答题(共3题，共30分)21、已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数列的首项为b，公比为a，其中a，b均为正整数，若（1）求的通项公式；（2）若成等比数列，求数列的通项公式。（3）设的前n项和为求当最大时，n的值。22、（12分）已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？23、【题文】（本小题满分14分）

已知函数且对恒成立．

（1）求a、b的值；

（2）若对不等式恒成立，求实数m的取值范围．

（3）记那么当时，是否存在区间（），使得函数在区间上的值域恰好为若存在，请求出区间若不存在，请说明理由．评卷人得分六、综合题(共3题，共6分)24、如图1；△ABC与△EFA为等腰直角三角形，AC与AE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠AEF=90°，固定△ABC，将△EFA绕点A顺时针旋转，当AF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设AE；AF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图2．

（1）问：在图2中，始终与△AGC相似的三角形有____及____；

（2）设CG=x；BH=y，GH=z，求：

①y关于x的函数关系式；

②z关于x的函数关系式；（只要求根据第（1）问的结论说明理由）

（3）直接写出：当x为何值时，AG=AH．25、设直线kx+（k+1）y-1=0与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk，则S1+S2++S2009=____．26、如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F，G，连接AF并延长交△BGF的外接圆于H；连接GH，BH．

（1）求证：△DFA∽△HBG；

（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE=3；CF：FB=1：2，求AB的长；

（3）在（2）的条件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、D【分析】【解析】

∵侧二测画法中得到的直观图面积与原图形的面积之比为1：由于原图为边长为a的正三角形ABC，则S△ABC=故直观图的面积为×=故选D【解析】【答案】D2、C【分析】【解析】

试题分析：如图，由于且为球的直径，所以所以设为球心，连结则又因为取的中点连结则四棱锥的高为的边上的高，设为则解得而三棱锥的体积．

考点：本题考查球体内接三棱锥的体积公式，考查学生的空间想象能力，与逻辑推理能力．【解析】【答案】C3、C【分析】【解析】因为集合A={1，2，3,0},B={0,3,6,9}，则AB={0,3},选C【解析】【答案】C4、C【分析】【解答】根据题意，由于点P在平面上作匀速直线运动，速度向量那么可知设开始时点P的坐标为（-10，10），则5秒后向右运动了20，-10+20=10，向下运动了15，10-15=-5那么可知该点的坐标为故选C.

【分析】主要是考查了向量的表示的平移方向的运用，属于基础题。5、A【分析】【解答】由于3名学生，甲乙需站在一起，可将两人视为一个整体与第三人进行排列，有2种排法，又甲乙两人位置可以对调，有两种站法，所以甲、乙两人站在一起的排法数有4种，又3人总排法数有6中，所以概率为（另可将3人排法利用列举法一一列举)。选A。

【点评】此题考查概率基本运算，属基础题.二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】

由题意；劳动生产率为t元时，工人月工资为50+80t千元，则劳动生产率提高1000元，工人月工资为50+80（t+1000）千元，所以工人月工资提高[50+80（t+1000）]-（50+80t）=80元。

故答案为80．

【解析】【答案】根据回归直线方程；分别求出劳动生产率为t元及劳动生产率提高1000元后工人月工资，即可得到结论．

7、略

【分析】试题分析：本题考查的是求直线的交点，由题意，得解得所以得{（3，-1）}．考点：集合的运算．【解析】【答案】{（3，-1）}8、略

【分析】【解析】试题分析：第一次转动是以点B为圆心，AB=2为半径，圆心角是90°，所以弧AA1的长=第二次转动是以点C为圆心，A1C=1为半径，圆心角为90°，第三次转动是以点D为圆心，A3D=为半径，圆心角为180°-（90°+30°）=60°，所以弧A2A3长=所以总长=考点：扇形的圆心角及半径，弧长公式。【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于已知故可知两点的距离为

考点：空间中两点的距离公式。

点评:解决的关键是对比平面中两点的距离公式得到线段的长度，属于基础题。【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】m＝1时，x∈(]，f(x)＝|x－1|＝f1(x)，m＝2时，x∈(]，f(x)＝|x－2|＝f2(x)，显然，f2(x)的图象是由f1(x)的图象右移1个单位而得，一般地，m＝k时，x∈(]，f(x)＝|x－k|＝fk(x)，m＝k＋1时，x∈(]，f(x)＝|x－k－1|＝fk＋1(x)，fk＋1(x)的图象是由fk(x)的图象右移1个单位而得；于是可画出f(x)的图象如下：

【解析】【答案】①③④11、略

【分析】解：函数可化为f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1

令g(x)=2x+sinxx2+1

则g(x)=2x+sinxx2+1

为奇函数；

隆脿g(x)=2x+sinxx2+1

的最大值与最小值的和为0

．

隆脿

函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1

的最大值与最小值的和为1+1+0=2

．

即M+m=2

．

故答案为：2

．

函数可化为f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1

令g(x)=2x+sinxx2+1

则g(x)=2x+sinxx2+1

为奇函数，从而函数g(x)=2x+sinxx2+1

的最大值与最小值的和为0

由此可得函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1

的最大值与最小值的和．

本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题．【解析】2

三、证明题(共7题，共14分)12、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．13、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=14、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．15、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．16、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．17、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．18、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、计算题(共2题，共8分)19、略

【分析】【分析】先判断a与1的大小，再去掉根号进行计算即可．【解析】【解答】解：∵；

∴a＜1；

∴=

=1-a

=1-2+

=-1．

故答案为-1．20、略

【分析】【分析】设圆O的半径是r厘米，连接AO、OE、OF、OD、OB、0C，根据等腰三角形性质求出AD⊥BC，根据勾股定理求出高AD，求出△ABC面积，根据S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO和三角形面积公式代入求出即可．【解析】【解答】解：设圆O的半径是r厘米；

连接AO；OE、OF、OD、OB、0C；

则OE=OF=OD=r厘米；

∵△ABC中；AB=AC，⊙O分别切BC；AB、AC于D、E、F；

∴AD过O；AD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC；

∴BD=DC=×8=4；

根据勾股定理得：AD==3；

∴S△ACB=BC×AD=×8×3=12；

∵S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO；

∴12=BCr+ABr+ACr；

∴r=；

故答案为：．五、解答题(共3题，共30分)21、略

【分析】(1)根据可得到关于a,b的两个方程，再a，b均为正整数，可解得a,b的值，进而通项可求。（2）在第（1）问的基础上可得以2为首项，3为公比的等比数列,所以再根据就可得(3)先求出进而求出所以可知是一个等差数列，所以求出的前n项和，再根据二次函数求最值的方法即可得解。【解析】

（1）由题得（2）由（1）得：∴以2为首项，3为公比的等比数列∴又由（1）得:∴（3）(10分)≤8时，＞0。当＞9时，＜0（13分）【解析】【答案】（1）（2）（3）22、略

【分析】证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.又∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.9分∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴11分由AB2=AE·AC得故当时，平面BEF⊥平面ACD.12分【解析】【答案】（1）略（2）23、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解．令则对有解．

记则或解得．

21．解析：（1）由得或．于是，当或时，得

∴∴此时，对恒成立，满足条件．故．

（2）∵对恒成立，∴对恒成立．

记．∵∴∴由对勾函数在上的图象知当即时，∴．

（3）∵∴∴又∵∴∴∴在上是单调增函数，∴即即∵且故：当时，当时，当时，不存在．六、综合题(共3题，共6分)24、略

【分析】【分析】（1）△HGA；△HAB，求出∠H=∠GAC，∠AGC=∠AGC，即可推出△AGC∽△HGA；根据∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H推出△AGC∽△HAB即可；

（2）①根据∵△AGC∽△HAB，得出=，求出y=；②在Rt△BAC中，由勾股定理求出BC=9；代入GH=BH-（BC-GC）求出即可；

（3）由△HGA∽△HAB得出HB=AB=9，由△HGA∽△GCA得出AC=CG=9，推出BG=HC，即可得出答案．【解析】【解答】解：（1）△HGA；△HAB；

理由是：∵△ABC与△EFA为等腰直角三角形；AC与AE重合，AB=EF，∠BAC=∠AEF=90°；

∴∠B=∠ACB=∠GAF=45°；

∴∠ACB=∠H+∠HAC=45°；∠GAC+∠HAC=∠GAF=45°；

∴∠H=∠GAC；

∵∠AGC=∠AGC；

∴△AGC∽△HGA；

∵∠B=∠ACG=45°；∠GAC=∠H；

∴△AGC∽△HAB；

（2）①如图