《函数的表达与求根》课件

函数的表达与求根课程目标及大纲学习目标通过本课程，您将掌握函数的基本概念，学习各种函数的性质和图像变换。同时，您将学会如何求解函数的零点，并理解函数在现实生活中的应用。课程大纲我们将从函数的概念和分类开始，逐步深入学习一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数类型。函数的概念及分类定义函数是指一种特殊的对应关系，每个输入值都对应一个唯一输出值。例如，输入温度，输出水沸腾的时间，可以看作一个函数。分类函数可以根据其定义域和值域进行分类，例如：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等等。符号函数通常用字母f,g,h等表示。例如，f(x)表示以x为自变量的函数。函数的基本性质1定义域函数定义域是指自变量可以取值的范围。2值域函数值域是指因变量可以取值的范围。3单调性函数单调性是指函数在定义域内随着自变量的增大或减小而增大或减小。4奇偶性函数奇偶性是指函数满足特定对称性的性质。常见函数的图像常见的函数图像包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。这些函数图像都有其独特的形状和特点，可以帮助我们更好地理解函数的性质和应用。函数的运算1加减法两个函数的加减法，即对应自变量的函数值相加减。2乘除法两个函数的乘除法，即对应自变量的函数值相乘除。3复合运算将一个函数作为另一个函数的自变量进行运算。函数运算可以用来构建新的函数，并对已有函数进行变换。函数的图像变换1平移函数图像沿坐标轴方向移动，通过改变常数项实现。2伸缩函数图像沿坐标轴方向拉伸或压缩，通过改变系数实现。3对称函数图像关于坐标轴或原点进行对称变换，通过改变函数表达式实现。一次函数斜率一次函数的斜率决定了直线的倾斜程度。正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜。截距一次函数的截距是直线与y轴的交点，表示当x为0时，y的值。方程一次函数的方程通常写成y=mx+b的形式，其中m是斜率，b是截距。一次函数的基本性质线性关系一次函数图像为一条直线，表示自变量与因变量之间存在线性关系。斜率斜率表示直线倾斜程度，决定了直线的方向和变化率。截距截距表示直线与纵轴交点的纵坐标，反映了函数在自变量为零时的值。一次函数应用案例一次函数在生活中有着广泛的应用，例如，我们可以用一次函数来描述物体匀速直线运动的速度与时间的关系，也可以用一次函数来描述商品的价格与数量之间的关系。例如，我们可以用一次函数来描述物体的速度与时间的关系。例如，一辆汽车以60公里/小时的速度匀速行驶，其速度与时间之间的关系可以用一次函数v=60t来表示，其中v表示速度，t表示时间。我们可以用这个一次函数来计算汽车在某个时间点的速度，或者计算汽车行驶一定距离所需的时间。二次函数抛物线二次函数的图像是一个对称的曲线，称为抛物线，它在现实世界中广泛存在。桥梁设计二次函数应用于桥梁设计，确保桥梁的稳定性和承受能力。二次函数的基本性质对称性二次函数图像关于其对称轴对称。对称轴方程为x=-b/(2a)。顶点顶点坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))，它也是函数图像的最高点或最低点。开口方向当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。二次函数的图像二次函数图像为抛物线。抛物线形状受二次项系数影响。正系数，图像开口向上；负系数，开口向下。顶点坐标决定图像位置。顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，对称轴为直线x=-b/2a。二次函数应用案例二次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如：抛物线运动、桥梁设计、信号处理等。我们可以利用二次函数的性质来解决一些实际问题，例如：求解物体运动轨迹、计算最大高度、分析数据规律等。指数函数增长指数函数用于描述快速增长或衰减现象，例如人口增长或放射性衰变。曲线指数函数的图像呈指数曲线形状，随着自变量的增加，函数值迅速增加或减少。应用指数函数在金融、生物学、物理学等领域都有广泛的应用，用于预测、建模和分析各种现象。指数函数的性质1定义域指数函数的定义域是全体实数，即任何实数都可以作为指数函数的自变量。2值域指数函数的值域是正实数集，即指数函数的值永远大于0。3单调性指数函数是单调函数，当底数大于1时，指数函数是单调递增函数；当底数小于1且大于0时，指数函数是单调递减函数。指数函数应用案例复利计算指数函数可用于计算复利，了解投资的增长速度。人口增长模型指数函数可以描述人口的指数增长趋势，预测未来的人口规模。放射性衰变指数函数可以描述放射性物质的衰变规律，计算半衰期。对数函数定义对数函数是对指数函数的反函数，用于求底数的指数。性质对数函数具有单调性、对称性和周期性等性质，应用于解决多种数学问题。应用对数函数广泛应用于物理学、化学、生物学和工程学等领域，例如计算声强、pH值和放射性衰变。对数函数的性质单调性对数函数在定义域内单调递增，即当自变量增大时，函数值也随之增大。奇偶性对数函数是奇函数，即函数图像关于原点对称。定义域对数函数的定义域为所有正实数，即自变量必须大于零。值域对数函数的值域为所有实数，即函数值可以取到任何实数。对数函数应用案例对数函数在实际生活中有着广泛的应用，例如：测量地震强度计算声音的响度分析放射性物质的衰变研究经济增长三角函数1正弦函数y=sin(x)2余弦函数y=cos(x)3正切函数y=tan(x)三角函数的性质周期性三角函数具有周期性，例如正弦函数和余弦函数的周期为2π。对称性三角函数的图像关于某些直线或点对称。图像变换通过平移、伸缩和翻转等操作可以改变三角函数的图像。三角函数应用案例三角函数广泛应用于物理、工程、数学等领域，例如：计算角度、求解三角形、分析周期性现象等。在导航系统中，三角函数用于确定物体的位置和方向在建筑工程中，三角函数用于计算角度和长度，例如屋顶坡度、桥梁结构在电子电路中，三角函数用于描述信号的周期性变化函数的零点求解1定义使函数值为零的自变量的值2几何意义函数图像与x轴的交点3求解方法代数方法、图像法基本求根方法代入法将可能的根值逐次代入函数表达式，若等式成立，则该值为函数的根。因式分解法将函数表达式分解成若干个因式乘积，然后令每个因式等于零，求解即可得到函数的根。公式法对于一些特殊类型的函数，例如一元二次方程，可以使用公式法直接求解根。数值方法对于无法直接求解的函数，可以使用数值方法进行近似求解，例如二分法、牛顿迭代法等。高次方程求根1数值解法牛顿迭代法2解析解法因式分解3特殊解法卡尔达诺公式复数与函数复数域扩展了实数域，引入虚数单位i，用以表示方程x^2+1=0的根。复数形如a+bi，其中a，b为实数。复变函数定义域和值域均为复数的函数，可表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部。应用领域复数和复变函数在许多领域有重要应用，例如：信号处理、电磁学、流体力学等。总结与思考函数表达函数是描述变量之间关系的重要数学工具，可以用不同的方式来表达，包括公式、图像、表格等等。函数求根求解函数的零点，即找到使函数值为零的自变量的值，是许多数学问题的重要组成部分。课后练