人教版高二上学期数学(选择性必修1)《第一章空间向量与立体几何》单元测试卷带答案

第第页人教版高二上学期数学(选择性必修1)《第一章空间向量与立体几何》单元测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量，分别是直线、的方向向量，若，则（）A．， B．， C．， D．，2．若，，，则的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形3．如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（）A． B． C． D．4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A． B． C． D．5．已知空间上的两点，，以为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（）A．3 B． C．9 D．6．把边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线，所成的角为（）A． B． C． D．7．如图所示，在正方体中，已知，分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（）A． B． C．或 D．或9．在正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（）A． B． C． D．10．在正四棱锥中，为顶点在底面的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成的角是（）A． B． C． D．11．如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且，则平面与平面的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．12．如图，已知正方体的上底面中心为，点为上的动点，为的三等分点（靠近点），为的中点，分别记二面角，，的平面角为，，，则（）A． B． C． D．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为______．14．已知，，点在轴上，且，则点的坐标为____________．15．如图，直三棱柱的所有棱长都是2，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点的坐标是__________．16．正四棱锥的八条棱长都相等，的中点是，则异面直线，所成角的余弦为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，垂直正方形所在平面，，是的中点，．（1）建立适当的空间坐标系，求出的坐标；（2）在平面内求一点，使平面．18．（12分）如图，已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，，是的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线和平面的所成角的正弦值．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，平面，，是棱上的一个点，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值．21．（12分）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，且，．（1）求证：平面平面；（2）设，求二面角的余弦值．22．（12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，面，是棱的中点，且，．（1）求证：面；（2）求二面角的大小；（3）若是上一点，且直线与平面成角的正弦值为，求的值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】B【解析】由题意可得：，解得：，．故选B．2．【答案】C【解析】因为、、，所以可知角为钝角，故的形状是钝角三角形．选C．3．【答案】B【解析】由题意；又，，，∴．故选B．4．【答案】C【解析】关于平面对称的点横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为它的相反数，从而有点关于平面对称的点的坐标为，选C．5．【答案】D【解析】∵，，∴，设正方体的棱长为，由题意可得，解得，∴正方体的体积为，故选D．6．【答案】D【解析】如图建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，则，，，所以，故选D．7．【答案】A【解析】建立如图所示的空间坐标系，设边长为．则，，，，，故，，所以，，，则，应选答案A．8．【答案】D【解析】因为，所以，即或．故选D．9．【答案】C【解析】分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系设正方体的棱长为1，可得，，，，∴，，，设是平面的一个法向量．∴，即取，得，∴平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，∴，∴，即直线与平面所成角的余弦值是．故选C．10．【答案】D【解析】如图所示，以为原点建立空间直角坐标系．

设，

则，，，，，，设平面PAC的法向量为，则可求得，则，，∴直线与平面所成的角为．故选D．11．【答案】B【解析】以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，设平面BED的一个法向量为，则，取，得，平面ABE的法向量为，∴．∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为．故选B．12．【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系QUOTEE-xyzE-xyz．考虑点QUOTEOO与点A重合时的情况．设正方体的棱长为1，则，，，．设平面QUOTEOPQOPQ的一个法向量为，由，得，令，得．同理可得平面和平面的法向量分别为，．结合图形可得：，，，∴，又，，∴．故选D．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【答案】【解析】设平面的法向量，平面的法向量，因为，所以，所以存在实数，使得，所以有，解得，故答案为．14．【答案】【解析】设，由，得，解得，故点的坐标为．15．【答案】【解析】，，，即顶点的坐标是．16．【答案】【解析】以正方形的中心为原点，平行于的直线为轴，平行于的直线为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系，设四棱锥棱长为2，则，，，，，所以，，∴．故异面直线，所成角的余弦值为．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）；（2）点的坐标是，即点是的中点．【解析】（1）分别以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间坐标系，如图，则，，，设，，则，∴，∴，解得．∴点坐标是；（2）∵平面，∴可设，，又平面，∴，解得；又∵∴，∴点的坐标是，即点是的中点．18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系．则有、、、∴，，∴，所以异面直线BE与AC所成角的余弦为．（2）设平面ABC的法向量为，则知，知取，则，故BE和平面ABC的所成角的正弦值为．19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：连接，设，取的中点，连接，，，在中，因为，分别为，的中点，所以，又平面，所以平面，同理，在中，，平面，因为平面，所以平面．（2）以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在等边三角形中，因为，所以，，因此，，，，，且，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，直线与平面所成的角为，则．20．【答案】（1）；（2）．【解析】∵，，∴底面，又底面为矩形，∴分别以，，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．∴，，，．（1）设平面的一个法向量，则，令，得，∴与平面所成角的正弦值．（2）设平面的一个法向量，则令，得，∴，∴二面角的余弦值为．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：如图，取，的中点，，连接，，，，则四边形为正方形，∴，∴．又，∴，又∴平面，又平面，∴．∵，∴．又，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）解：由（1）知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，，∴．令，则，，，，∴，，．设平面的一个法向量为，由，得，取，得．又设平面的法向量为，由得，取，得，∴，由图形得二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．22．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】证明：（1）连结．因为在中