湖南省株洲市2025届高三年级教学质量统一检测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省株洲市2025届高三年级教学质量统一检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2<A.{−1,0,1,2,2.若虚数z满足z(2+i)A.1 B.2 C.2 D.3.已知双曲线C:x2a2−A.2 B.2 C.3 4.已知向量a=(1,2)，b=(A.(45,35) B.(5.若(1xx+x3)n展开式中的第A.6 B.7 C.8 D.96.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若SnA.1 B.2 C.4 D.87.已知三个电流瞬时值的函数表达式为I1(t)=sint，I2(t)=sin(A.1 B.2 C.3 8.已知点K为三棱柱ABC−A1B1C1的棱A1B1A.1 B.3 C.2−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数=标准差均值.某地区进行调研考试，共40000名学生参考，测试结果(单位：分)近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则下列说法正确是(

)(附：若随机变量ZA.学生考试成绩标准差为57.4×0.36=20.664

B.学生考试成绩近似服从正态分布N(57.4,0.362)

10.若m+em=n+A.m>n B.mn>e 11.在平面直角坐标系中，已知定点F(4,0)和定直线l:x=−4，若到点FA.曲线C关于y轴对称

B.若点M(x0,y0)在曲线C上，则2≤|MF|≤10

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知θ是第二象限内的角，sinθ=32，则13.已知长方体的长、宽、高分别为a、b、3，连接其各面的中心，得到一个八面体.已知该八面体的体积为8，则该长方体的表面积的最小值为

．14.在箱子里有六张印有6名同学名字(名字都不相同)的卡片，6名同学随机在箱子中抽取一张卡片.为了使6名同学都能拿到自己的卡片，每次只有2名同学可以互换手中的卡片，则这6名同学至少进行5次互换才能都拿到自己名字的卡片的概率为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠(1)(2)若PB=616.(本小题15分)

如图，在等边三角形△ABC中，Q为边BC上一点，BQ=2CQ，点M、N分别是边AB，AC上的动点(1)求证：不论θ为何值，Q(2)当△BMQ和17.(本小题15分)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F.过焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点.抛物线C在点B处的切线为直线m，过点A作平行于直线m的直线交抛物线C于点(1)求证：x1，x2(2)求△18.(本小题17分)已知函数f((1)若曲线y=f(x)在点(e(2)若函数y=f(3)若函数y=f((参考结论：当x→0+时，xlnx→0−.这里0+表示从19.(本小题17分)已知集合A是由m×n(m,n为大于1的整数)个连续的正整数组成的集合.现将集合A拆分成n个子集Bi(i=1,2,3,⋯,n)，且集合Bi(i(1)若集合A={1(2)若集合A={1,2,3,⋯8}，试判断是否可以对集合A进行“条件D下2个均分拆”(条件D(3)若集合A={t+1,t+2,t+3,⋯,t+481.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】AC10.【答案】BC11.【答案】CD12.【答案】−13.【答案】80

14.【答案】1615.【答案】解：(1)证明：取AD的中点E，连接PE，BE，∵四边形ABCD为菱形，且∠BAD=π3，

则BE⊥AD，又∵ΔPAD为等边三角形

∴PE⊥AD，而PE∩BE=E，PE，BE⊂平面PBE，∴AD⊥平面PBE，

又∵PB⊂平面PBE，

∴PB⊥AD;

(2)若PB=6，由EB=EP=3可知，PE⊥EB，

而PE⊥AD，EB，AD⊂平面ABCD，EB⋂AD=E，故PE⊥平面ABCD16.【答案】解：(1)证明：在△QCN中，∠NQC=180∘−60∘−θ=120∘−θ，

∴∠MQB=180∘−∠NQC−120∘=180∘−(120∘−θ)−120∘=θ−60∘，

在ΔBQM中，∠BMQ=18017.【答案】解：(1)证明：由题意得切线m的斜率为x22，

直线AP的斜率为y3−y1x3−x1=x32−x124(x3−x1)=x3+x14，

因为km=kAP，所以x3+x14=x22，

于是x1+x3=2x2，即x1，x2，x3成等差数列；

(2)解法一：依题意可知F(0,1)，设l的方程为：y=kx+1，

联立方程：y=kx+1x2=4y，化简得：x2−4kx−4=0，

易知：x1+x2=4k，x1x2=−4，

设18.【答案】解：(1)f′(x)=ln x−a+xxln2 x=xlnx−a−xxln2x(x>0且x≠1)，

则f′(e)=−ae，所以切线方程为y=−ae(x−e)+a+e=−aex+2a+e，

所以2a+e=−e，有a=−e;

(2)f(x)存在唯一极值点等价于xlnx−x−a=0在(0,1)∪(1,+∞)上有唯一解，

记g(x)=xlnx−x−a，x∈(0,1)∪(1,+∞)，

知g′(x)=lnx，可知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,19.【答案】解：(1)由题意可得，n=2，i=2，

情形1:B1={1,2}，B2={3,4}(或B1={3,4}，B2={1,2}}，

情形2:B1={1,3}，B2={2,4}(或B1={2,4}，B2={1,3})，

情形3:B1={2,3}，B2={1,4}(或B1={1,4}，B2={2,3})；

(2)不可以，理由如下：

假设可以对集合A进行“条件D下2个均分拆”，

∵ab−cd=1⇒ab，cd一定是一个奇数一个偶数，

∴a，b，c，d中至多两个偶数，

则对于{1,2,3,4,5,6,7,8}的一种符合