第六章 概率论基础

第六章概率论基础第一节

事件与概率第二节

随机变量及其数字特征第三节

大数定律与中心极限定理第六章概率论基础一、引言

先做两个简单的试验：

试验1：一个盒子中有十个完全相同的白球，从中任意摸出一个。

试验2：盒子中有十个完全相同的球，其中五个白球，五个黑球。

第一节事件与概率

对于试验1，在球没有取出之前，我们就能确定取出的必定是白球。这种试验，根据试验开始的条件应可以确定实验的结果，这种试验所对应的现象叫确定现象。

对于试验2，在球没有取出之前，我们从试验开始时的条件不能确定试验的结果(即取出的是白球还是黑球)，也就是说一次试验的结果在试验之前是无法确定的。但是大量重复这个试验，试验结果又遵循某些规律(这些规律我们称之为“统计规律”)，这类试验叫做随机试验。其代表的现象叫随机现象。第六章概率论基础二、随机事件与样本空间

随机试验：(1)试验可以在相同条件下重复进行。(2)试验的所有结果是明确知道的，并且不止一个。(3)每次试验总是出现一个可能的结果，但在一次试验之前却不能确定会出现哪一个结果，则称这样的试验是一个随机试验。简称试验。

样本点：随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（样本点），用表示

第六章概率论基础

样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合，用Ω表示。

随机事件：具有某些特征的基本事件所组成（样本空间的一个子集），用大定字母A，B，C,…表示事件。

必然事件：Ω

不可能事件：第六章概率论基础

三、事件的关系与运算

1、包含:

事件A发生必然导致事件B发生

2、相等：与同时成立3、并：

A

BA与

B至少有一个发生4、交：

A

B=ABA与

B同时发生5、差：

A

BA发生但B不发生6、互不相容：

A和B不可能同时发生即7、对立事件：令,则是A的对立事件

第六章概率论基础

例6-1袋中有十个完全相同的球，分别标以1到10的号码，从中任取一球，设A={取得球的号码是偶数}B={取得球的号码是奇数}C={取得球的号码小于5}，问下述运算分别表示什么事件：(1)A

B必然事件(取得的球的号码是偶数或是奇数)(2)A

B不可能事件(取得的球的号码既是偶数又是奇数)(3)AC取得的球的号码为2或4(4)取得的球的号码为5或7或9(5)取得的球的号码为6或8或10第六章概率论基础

四、概率与频率

（一）概率

随机事件A发生可能性大小的度量(数量)称为A发生的概率。记作P(A)

（二）频率

在n次重复的试验中，事件A发生的次数与试验总次数的比值为事件A发生的频率。当试验次数足够大，频率会逐渐稳定于某一常数。将该常数定义为事件A的概率（统计概率）。第六章概率论基础

五、古典概型

若随机试验满足条件：

(1)有限性。样本空间的元素(基本事件)只有有限个，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}(2)等可能性。每个基本事件发生的可能性是相等的，即P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。则称这类随机试验的数学模型为古典概型。则事件A的概率为:

其中，n是样本点总数，k是事件A包含的样本点数。

第六章概率论基础

例6-2在盒子中有十个相同的球，分别标以号码1,2，…，10，从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。解：令i={所取球的号码为},则

Ω={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，所以样本空间总数为10。设A={所取球的号码为偶数}，则A={2，4，6，8，10}。所以A中含有的基本事件数为5。从而

第六章概率论基础古典概型具有三条基本性质：1．非负性：对任一事件A，有P(A)0;

2．规范性：对必然事件Ω，有P(Ω)=1;3.有限可加性：若事件A1,A2,……,An两两互不相容，则

第六章概率论基础六、条件概率与事件的独立性(一)条件概率

如果A，B是两个随机事件，且P(B)>0

，在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)

定义为:

第六章概率论基础例6-3在50件产品中，有一等品45件，二等品2件，废品3件。现从这50件产品中任意抽取一件，每件是否被抽到是等可能的。问：(1)抽到的是废品的概率为多少？(2)已知抽到的是非一等品，那么是废品的概率以是多少？解：设A={抽到废品}，B={抽到非一等品}，

显然第六章概率论基础乘法公式:

如果A，B是两个随机事件，

若

P(B)>0，则P(AB)=P(B)P(A|B)；若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A).全概率公式:

事件A1,A2,…,An互不相容，且A1+A2+…+An=Ω，P(Ai)>0，则对任一事件B，

第六章概率论基础例6-4某工厂有四条流水线生产一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%。又这四条流水线的次品率依次为5%，4%，3%和2%。今从出厂产品中任抽取一件产品，问恰好是次品的概率是多少？

解：设A={任抽取一件，恰好是次品}，B={任抽取一件，恰好是第i条流水线生产的产品}于是，

第六章概率论基础（二）事件的独立性

任意两个事件A，B，若有

成立，则称事件A、B是相互独立的

对于三个事件A，B，C，如果P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)同时成立，则称事件A、B、C相互独立。可以将独立的概念推广为n个事件独立。

第六章概率论基础例6-5

两射手彼此独立地同时射击同一目标，设甲射中(事件A)的概率为P(A)=0.9，乙射中(事件B)的概率为P(B)=0.8，求两人各发射一弹而射中目标的概率。解：由题意知，A，B两事件相互独立，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98第六章概率论基础七、贝努利概型

贝努利试验

试验E只有两种可能的结果，A或者,且,，则称E为贝努利试验。

n重贝努利试验n次独立重复的贝努利试验，称为n重贝努利试验n重贝努利试验中，时间A出现k次的概率为：

第六章概率论基础七、贝努利概型

贝努利试验

试验E只有两种可能的结果，A或者,且,，则称E为贝努利试验。

n重贝努利试验n次独立重复的贝努利试验，称为n重贝努利试验n重贝努利试验中，时间A出现k次的概率为：

第六章概率论基础例6-6

某学校的校乒乓球队与系乒乓球队要进行对抗赛，校队的实力强于系队，当一个校队队员与一个系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6，现在，校队与系队商量对抗赛的方式，共有三种方案可供选择：(1)3局2胜制(2)5局3制(3)7局4胜制。问：对系队来说，哪种方案最为有利？解：设系队获胜的人数为ξ，则三种方案中系队获胜的概率分别为：

显然，第一种方案对系队来说最为有利。第六章概率论基础

第二节随机变量及其数字特征一、离散型随机变量及其分布

（一）概率分布

一般地，设随机变量

取值,且,或者表示为下表，

称其为随机变量的分布列或分布律或分布第六章概率论基础

…………..……………

随机变量的分布列都具有以下的性质

(1)，

(2)。第六章概率论基础

（二）常见的离散型随机变量

1、二项分布n重伯努里试验中事件A出现的次数，其分布称为二项分布。记为：

当n=1时，称

为0-1分布.第六章概率论基础

2、泊松(Poisson)分布若随机变量

的概率分布为：

则称

服从参数为

的泊松分布,

第六章概率论基础记为~P(

).

3、超几何分布

N个产品中有M个不合格品，从中抽取n个，其中不合格品的个数为X，则

称X服从超几何分布。第六章概率论基础二、连续型随机变量及其分布

（一）随机变量及分布函数

在样本空间上，取值于实数域的函数

称为样本空间Ω上的（实值）随机变量，并称F(x)=P(

x)

为随机变量

的概率分布函数。简称分布函数或分布。

第六章概率论基础

（二）连续型随机变量

设随机变量X的分布函数为F(x),若存在非负可积函数f(x)，满足:

则称X为连续随机变量，称f(x)为概率密度函数，简称密度函数。

密度函数f(x)的性质：第六章概率论基础（3）例6-7设随机变量

具有概率密度

，试确定常数K，并求

。

解：由于

，则，所以K=3，于是的密度函数为：

所以有

第六章概率论基础

（三）常见连续型随机变量

（1）均匀分布

设连续型随机变量

在有限区间（a,b)内取值，且其概率密度为

则称

在区间（a,b)上服从均匀分布

第六章概率论基础例6-8

设电阻的阻值R是一个随机变量，均匀分布在900欧姆到1100欧姆之间，求R的概率密度及R落在950到1050之间的概率。解：按题意，R的概率密度为

故第六章概率论基础

（2）正态分布

设连续型随机变量X的概率密度为

其中

为常数，则称X服从参数为

的正态分布或高斯分布，记为

。

（3）指数分布

若随机变量X具有概率密度其中

为常数，则称X服从参数为的指数分布

第六章概率论基础例6-9

已知某电子管的寿命X服从指数分布，其概率密度为

求这种电子管能使用1000小时以上的概率。

解：

第六章概率论基础三、随机变量的数字特征

（一）数学期望

1.离散型随机变量的数学期望

设离散型随机变量X的分布律为,

若级数

绝对收敛，则称级数

为随机变量X的数学期望，记为E(X),即

第六章概率论基础2.连续型随机变量的数学期望

设连续型随机变量X的密度函数为

，若积分

绝对收敛，则称积分

的值为随机变量X的数学期望，记为E(X),即

数学期望简称期望，又称为均值

第六章概率论基础例6-10设随机变量X的分布列为：

计算X的期望E(X）

解：

第六章概率论基础X

1012P0.20.10.40.3E(X)=

1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8.

3.期望的性质

（1）设C是常数，则有E(C)=C

（2）设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)

（3）设X、Y是两个随机变量，则有

（4）设X、Y是相互独立的随机变量，则有

第六章概率论基础（二）方差和标准差

1.概念

设X是一个随机变量，若

存在，则称

为X的方差。记为D(X)或Var(X)。即

称为X的标准差。

随机变量X的方差表达了X的取值与其均值的偏离程度

第六章概率论基础

若X是离散型随机变量，分布律为

则

若X是连续型随机变量，密度函数为f(x),则方差常用下面公式计算：

第六章概率论基础

事实上：

X的标准化变量:

其中：，则

第六章概率论基础2.方差的性质

（1）设C是常数，则D(C)=0；

（2）设X是随机变量，C是常数，则D(CX)=C2D(X)；

（3）设X,Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

（4）设X,Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)

（5）D(C)=0P(X=C)=1第六章概率论基础

第三节大数定律与中心极限定理一、大数定律（一）契比雪夫不等式（Chebyshevinequality）

定理1

设随机变量X的均值E(X)及方差D(X)存在，则对于任意正数ε，有不等式

或第六章概率论基础例6-11设随机变量X的数学期望E(X)=10,方差D(X)=0.04估计P(9.2<X<11)的大小。

解:P(9.2<X<11)=P(-0.8<X-10<1)=P(|X-10|<0.8)≥1-0.04/0.82=0.9375

因而P(9.2<X<11)不会小于0.9375

第六章概率论基础（二）契比雪夫大数定律（ChebyshevLawofLargeNumber）

定理2

设相互独立的随机变量X1，X2,…,Xn分别有期望E(X1),E(X2),…,E(Xn)及方差D(X1),D(X2),…,D(Xn),若存在常数C，使得D(Xk)≤C,k=1,2,…,n,则对于任意正整数ε，有

第六章概率论基础

推论1

设相互独立的随机变量X1，X2,…,Xn,…有相同的分布,且E(Xk)=μ，D(Xk)≤σ2

（k=1,2,…）存在，则对于任意正整数ε，有

第六章概率论基础（三）贝努里大数定律（BernoulliLawofLargeNumber）

定理3

设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正整数ε，有

第六章概率论基础二、中心极限定理(CentralLimitTheorem)

中心极限定理(CentralLimitTheorem)是研究在适当的条件下独立随机变量的部分和

的分布收敛于正态分布的问题。

定理4设相互独立的随机变量X1，X2,…,Xn,…有相同的分布,且E(Xk)=μ,D(Xk)≤σ2≠0,k=1,2,…,则对于任意x，有

定理我们通常称之为林德贝格-勒维(Lindeberg-Levy)定理

第六章概率论基础

推论2

设相互独立的随机变量X1，X2,…,Xn服从同一分布，已知均值为μ，方差为σ2>0，当n充分大时，

近似服从正态分布。

推论3

设相互独立的随机变量X1，X2,…,Xn服从同一分布，已知均值为μ，方差为σ2>0，当n充分大时，

近似服从正态分布N(μ,σ2/n)。

第六章概率论基础

例6-12

用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克，一箱内装200袋味精，求一箱味精净重大于20500克的概率。

解：设一箱味精净重为Y克，箱中第k袋味精的净重为Xk克，k=1,2,…,200.X1，X2,…,X200是200个相互独立的随机变量,且E(Xk)=100,D(Xk)=100,E(Y)=E()=20000,D(Y)=20000

因而有p(Y>20500)=