化工问题的建模与数学分析方法 第6章 习题及答案

第六章习题1.用摄动法求解以下三次代数方程证明其三个根的渐进展开式为将以上解与数值解或准确解比较，取和0.1，讨论其结果。解：， （1）①证明：（A）设解具有如下形式的渐进展开式 （2）将其代入（1）式，可得 （3）比较两边的同幂次项系数，得到：：：所求摄动解为：由于方程（1）有三个根，用上述摄动法只能求得一个根，即接近退化解的那个根。(B)做变换，代入方程（1），可得， （4）此时，小参数不在最高次幂项上。设此时解具有如下形式的渐进展开式， （5）将其代入（4）式，可得 （6）比较两边的同幂次项系数，得到或所以，可得方程（1）的另外两个解，至此，方程（1）三个根的渐进展开式为：②上述三个渐进解分别与准确解和数值解的比较分析。（1）采用Matlab的符号工具箱，求得方程（1）的三个准确解分别为（其中epsilon表示）：x(1)=1/6/epsilon*((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)+2/((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)x(2)=-1/12/epsilon*((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)-1/((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/6/epsilon*((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)-2/((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3))x(3)=-1/12/epsilon*((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)-1/((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/6/epsilon*((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3)-2/((-108*a+12*3^(1/2)*((-4+27*a^2*epsilon)/epsilon)^(1/2))*epsilon^2)^(1/3))当时，x(1)=1/3*(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)+10/(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)x(2)=-1/6*(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-5/(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/3*(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-10/(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3))x(3)=-1/6*(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-5/(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/3*(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-10/(-135*a+15*(-120+81*a^2)^(1/2))^(1/3))当时，x(1)=1/3*(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)+100/(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)x(2)=-1/6*(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-50/(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(1/3*(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-100/(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3))x(3)=-1/6*(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-50/(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/3*(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3)-100/(-1350*a+150*(-1200+81*a^2)^(1/2))^(1/3))（2）为了清楚地比较渐进解与数值解的偏离程度，在本题中选取了，分别求得了渐进解和数值解，如表1和表2所示。讨论：从表中可以看出，渐进解与数值解的偏离程度还是相当大的，且当的绝对值大于某一值后，所得其中两个数值解是复数值，而采用渐进解却无法表现，其永远是一个实数值。表（1）时的渐进解与数值解比较a渐进解数值解x(1)x(2)x(3)x(1)x(2)x(3)-10-30008.16231.83775.3549-2.6774-3.392i-2.6774+3.392i-9-1772.47.66231.33775.2195-2.6097-3.2299i-2.6097+3.2299i-8-984.647.16230.837725.0756-2.5378-3.0531i-2.5378+3.0531i-7-506.316.66230.337724.9217-2.4608-2.8578i-2.4608+2.8578i-6-235.686.1623-0.162284.7557-2.3778-2.6386i-2.3778+2.6386i-5-96.255.6623-0.662284.5749-2.2874-2.3868i-2.2874+2.3868i-4-33.125.1623-1.16234.3752-2.1876-2.0873i-2.1876+2.0873i-3-9.394.6623-1.66234.1506-2.0753-1.7091i-2.0753+1.7091i-2-2.564.1623-2.16233.891-1.9455-1.1641i-1.9455+1.1641i-1-0.933.6623-2.66233.5771-2.4236-1.1535003.1623-3.162303.1623-3.162311.132.6623-3.6623-3.57712.42361.153523.362.1623-4.1623-3.8911.9455-1.1641i1.9455+1.1641i311.191.6623-4.6623-4.15062.0753-1.7091i2.0753+1.7091i436.321.1623-5.1623-4.37522.1876-2.0873i2.1876+2.0873i5101.250.66228-5.6623-4.57492.2874-2.3868i2.2874+2.3868i6242.880.16228-6.1623-4.75572.3778-2.6386i2.3778+2.6386i7516.11-0.33772-6.6623-4.92172.4608-2.8578i2.4608+2.8578i8997.44-0.83772-7.1623-5.07562.5378-3.0531i2.5378+3.0531i91788.6-1.3377-7.6623-5.21952.6097-3.2299i2.6097+3.2299i103020-1.8377-8.1623-5.35492.6774-3.392i2.6774+3.392i表（2）时的渐进解与数值解比较a渐进解数值解x(1)x(2)x(3)x(1)x(2)x(3)-10-3915-513.247-6.6236-5.6228i-6.6236+5.6228i-9-25.90514.5-5.513.007-6.5037-5.1859i-6.5037+5.1859i-8-17.1914-612.756-6.378-4.6943i-6.378+4.6943i-7-11.55213.5-6.512.492-6.2458-4.1266i-6.2458+4.1266i-6-7.972813-712.212-6.106-3.4423i-6.106+3.4423i-5-5.687512.5-7.511.915-5.9574-2.5443i-5.9574+2.5443i-4-4.147212-811.597-5.7985-0.93201i-5.7985+0.93201i-3-2.982911.5-8.511.254-7.8648-3.3894-2-1.969611-910.88-8.7889-2.0915-1-0.990310.5-9.510.467-9.4565-1.01030010-10010-1011.01039.5-10.5-10.4679.45651.010322.04969-11-10.888.78892.091533.16298.5-11.5-11.2547.86483.389444.46728-12-11.5975.7985-0.93201i5.7985+0.93201i56.18757.5-12.5-11.9155.9574-2.5443i5.9574+2.5443i68.69287-13-12.2126.106-3.4423i6.106+3.4423i712.5326.5-13.5-12.4926.2458-4.1266i6.2458+4.1266i818.476-14-12.7566.378-4.6943i6.378+4.6943i927.5255.5-14.5-13.0076.5037-5.1859i6.5037+5.1859i10415-15-13.2476.6236-5.6228i6.6236+5.6228i进一步，为了直观表现，对第一个解的渐进解和数值解分别进行作图，如图1和图2所示。当时，图1第一个解的渐进解和数值解比较当时，图2第一个解的渐进解和数值解比较由图1和2可知，当方程中的参数在0的一个小范围内时，渐进解与数值解还是相对较吻合的，但当在这个范围外，渐进解与数值解偏离很大，且两者表现出了相反的方向。2．（√）片形催化剂颗粒上的n级反应可用以下无量纲方程描述催化剂颗粒有效系数可由下式计算（i）当时用正则摄动法证明（ii）当时，令，将原方程化为然后由边界层方法证明解：（1）将y进行渐近展开（1）代入原方程，得比较的同幂次项，得各级近似问题初始条件联立（4）～（9）可解得解：（2）令，方程化为令（18）代入（17）3.考虑边值问题证明：b(x)>0时边界层位置在x=0处，b(x)<0时边界层位置在x=1处。（提示：求出内解的一阶导函数，，判断其随内部坐标的变化趋势）解:（1）分别在x=0和x=1附近对自变量坐标进行放大：在x=0附近：设，,则原微分方程可化为：Eq.1因为内解需要保留二阶导数，所以，即原方程为： Eq.2在x=1附近：设，,同理,.则原微分方程可化为： Eq.3在x=0附近对内解按进行渐进展开： Eq.4将4式代入2， Eq.5设 则式5可以化为： Eq.6Eq.7若 在[0，]内恒大于0，则 ： Eq.8即 Eq.9即内解在=0（i.e.x=0）处变化较明显，在(远离x=0)处变化趋于平缓。所以b>0时，边界层在x=0处。同理，在x=1附近对内解按进行渐进展开： Eq.10将10式代入3， Eq.11设 则式5可以化为： Eq.12 Eq.13若 在[0，]内恒小于0，则 ： Eq.14即 Eq.9即内解在=0（i.e.x=1）处变化较明显，在(远离x=1)处变化趋于平缓。所以b<0时，边界层在x=1处。4.用边界层方法求解以下问题要求保留两项展开项。（提示：以为小参量进行展开，x＝0处有两个边界层）解： （1）外解：设外解具有以下渐近展开式 代入方程GOTOBUTTONZEqnNum523629REFZEqnNum523629\!(6.4.1)得 比较的同幂次项系数，得一级近似时的两个子问题 由式GOTOBUTTONZEqnNum912951REFZEqnNum912951\!(6.4.4)和式GOTOBUTTONZEqnNum497642REFZEqnNum497642\!(6.4.5)得， 式GOTOBUTTONZEqnNum171929REFZEqnNum171929\!(6.4.6)为方程GOTOBUTTONZEqnNum523629REFZEqnNum523629\!(6.4.1)的外解，式中、为未知参数（2）内解采用放大的边界层坐标 方程GOTOBUTTONZEqnNum523629REFZEqnNum523629\!(6.4.1)在新坐标系中成为 常数的值应当使式GOTOBUTTONZEqnNum550940REFZEqnNum550940\!(6.4.8)中二阶导数项不含小参数，即，，由此得到 设内解具有以下渐近展开式 代入方程GOTOBUTTONZEqnNum752008REFZEqnNum752008\!(6.4.9)得 比较的同幂次项系数，得一级近似时的两个子问题 首先取处的边界条件，由该边界条件得，，，式GOTOBUTTONZEqnNum512953REFZEqnNum512953\!(6.4.12)的通解为 为使有限，因此＝0，由边界条件得到，，因此 式GOTOBUTTONZEqnNum585742REFZEqnNum585742\!(6.4.13)的通解为 为使有限，因此＝0，由边界条件得到，，因此 所以靠近处的内解为 （3）靠近处的内解与外解的匹配两项外解展开式 写成内变量 按参数进行泰勒展开，得到 写成外变量 两项内解展开式 写成外变量按参数进行泰勒展开，得到 令式GOTOBUTTONZEqnNum984574REFZEqnNum984574\!(6.4.19)和式GOTOBUTTONZEqnNum276529REFZEqnNum276529\!(6.4.20)相等，得到所以外解GOTOBUTTONZEqnNum171929REFZEqnNum171929\!(6.4.6)可以写成 （4）靠近处的内解设，，得到 常数的值应当使式GOTOBUTTONZEqnNum370941REFZEqnNum370941\!(6.4.22)中二阶导数项不含小参数，即，，由此得到 取处的边界条件，由该边界条件得，，设内解具有以下渐近展开式 比较的同幂次项系数，得一级近似时的两个子问题 式GOTOBUTTONZEqnNum828500REFZEqnNum828500\!(6.4.25)的通解为 由边界条件得到，所以 式GOTOBUTTONZEqnNum117763REFZEqnNum117763\!(6.4.26)的通解为 由边界条件得到，所以 靠近处的内解为 （5）靠近处的内解与外解的匹配两项外解展开式 写成内变量 按参数进行泰勒展开，得到写成外变量 两项内解展开式 写成外变量按参数进行泰勒展开，得到 令式GOTOBUTTONZEqnNum865771REFZEqnNum865771\!(6.4.32)和式GOTOBUTTONZEqnNum129850REFZEqnNum129850\!(6.4.33)相等，得 因此，于是 （6）合成 图6.4.1方程GOTOBUTTONZEqnNum523629REFZEqnNum523629\!(6.4.1)的准确解与近似解的比较（取）5（√）对于§1.3节中介绍的催化剂平行失活问题，如果设反应动力学对反应物浓度c为二级，则相应的数学模型由以下无量纲方程描述（）用边界层方法求解上述刚性问题的解答，并将长时间解与短时间解合成为全程有效的解，精确到。解：零阶近似内解代入方程得到结合初始条件得为求0阶近似外解，令令由Prandtl匹配条件由（16）（17）（18）内外解相加，减去公共部分，得到由隐式方程（9）给出，由隐式方程（19）给出。

6.（√）对激波问题的Burgers方程（）试用边界层方法求出激波扩散层内的速度分布u＝u(x)。解：当忽略黏性时，原方程描述一个激波的运动，激波左侧速度为1，右侧为0。设U为激波运动速度，为求出激波边界层内的速度分布，采用边界层内部坐标则根据导数关系原方程化为略去含小量的项，得到或者积分，得因为 因此有A＝0，于是有再次积分（3）这里规定，当u=1/2时，z=0。由于为激波左侧速度，欲使上述积分趋于无穷，分母必须趋于0，于是这样，由式（3）上式容易积分求出即7.（√）设反应物A,B,C通过三分子反应生成产物D，初始时刻A的摩尔数为a，B和C的摩尔数均为b（a<b），D的摩尔数为0，反应中生成的D的摩尔数为n，则n的方程为设n的试验函数为其中τ为待定系数，试由t=τ处的点配置法确定参数τ并给出问题的解。8.（√）设一无限大固体初始时刻温度均匀，从t>0开始，固体内部的均匀热源（通过反应、微波或辐射提供）开始发热，但在边界x=0处始终维持初始温度，于是随着固体内部温度的升高，边界附近温度梯度逐渐增大，通过边界的热流通量也随时间增加，与此同时，边界附近低温区的影响也随着时间的增长而日益渗透到固体内部更大的范围，因此，该传热问题可以采用渗透区的概念用试验函数近似求解，设温度分布由以下数学问题描述(1)(2)(3)(ⅰ)设温度传播的影响半径为δ(t)，温度分布采用以下三次多项式近似(4)证明该试验函数满足以下边界条件(5)(ⅱ)将(4)式带入方程(1)，然后在[0,δ]内对x积分，证明所解出的影响半径为(6)(ⅲ)根据近似解求x=0处的热流通量，并与精确解进行比较，估计近似解的误差。解：（ii）由试验函数，得代入原方程中，得积分后得到：解得（iii）由近似解与准确解的相对误差约6%，即9．平板层流换热问题的温度边界层方程为1)设温度边界层厚度为，证明边界层能量积分方程的形式为2)设温度分布和速度分布均采用以下形式的三次多项式近似式中为速度边界层厚度，由下式给出将温度和速度试验函数代入边界层能量积分方程进行积分，设，引入边界层厚度比，证明由下式给出为Prandtl数，对于气体Pr～1，对于粘性油Pr～103，比较不同情况下温度边界层与速度边界层的大小。解： (1)证明边界层能量积分方程：连续性方程为 将连续性方程GOTOBUTTONZEqnNum514894REFZEqnNum514894\!(6.9.2)乘以T后，与温度边界层方程GOTOBUTTONZEqnNum176551REFZEqnNum176551\!(6.9.1)相加，得到 再将连续性方程GOTOBUTTONZEqnNum514894REFZEqnNum514894\!(6.9.2)乘以平板壁面温度后与，与式GOTOBUTTONZEqnNum992608REFZEqnNum992608\!(6.9.3)相减，得到 将式GOTOBUTTONZEqnNum381902REFZEqnNum381902\!(6.9.4)在上对y积分，得到 为使边界层内的近似解与外解光滑连接，设当时，，；当时，，得到 式GOTOBUTTONZEqnNum455685REFZEqnNum455685\!(6.9.5)中 于是得到 (2)温度分布式 速度分布式 设，当时，先计算速度边界层厚度 式GOTOBUTTONZEqnNum942852REFZEqnNum942852\!(6.9.11)中。 将式GOTOBUTTONZEqnNum942852REFZEqnNum942852\!(6.9.11)、GOTOBUTTONZEqnNum146576REFZEqnNum146576\!(6.9.12)代入课本P338式（6.2.50）中，得到 计算温度边界层厚度 将式GOTOBUTTONZEqnNum112113REFZEqnNum112113\!(6.9.14)、GOTOBUTTONZEqnNum183791REFZEqnNum183791\!(6.9.15)代入GOTOBUTTONZEqnNum643632REFZEqnNum643632\!(6.9.8)中，得到 用式GOTOBUTTONZEqnNum379194REFZEqnNum379194\!(6.9.16)除以式GOTOBUTTONZEqnNum373529REFZEqnNum373529\!(6.9.13)得 将式GOTOBUTTONZEqnNum684190REFZEqnNum684190\!(6.9.17)用更为简单的关系式拟合，就可以得到 将气体Pr～1，粘性油Pr～103代入式GOTOBUTTONZEqnNum685055REFZEqnNum685055\!(6.9.18)可以得到10．考虑长度为的一维杆的稳定热传导问题，温度在杆的两端和处分别维持和，固体的热传导系数是温度的线性函数1）导出以上问题的数学模型，将其无量纲化，成为以下形式2）选择合适的试验函数，含单参数，用于近似表示温度分布；3）用Galerkin法求解上述问题；4）用正交配置法求解上述问题，并将两种方法的结果进行比较。解：一维杆稳定热传导，所以有，而：，代入上面微分方程得：，根据题意边界条件为。令，将此微分方程无量纲化，得到令，即得到所要求的微分方程形式。为了更易选择试验函数的形式，先将边界条件化齐，令，可选，代入化简整理后为取u的试验函数，所以，代入后得到方程的残差为由可计算得到，所以。用Galerkin法求解过程如下，Galerkin法求解公式，，将其和残差代入，计算整理后得，舍去无意义的根，所以。正交配置法求解过程，用高斯积分公式代替Galerkin积分公式计算残差积分权函数取为，用一个配置节点，权系数，唯有，，取配置节点为一阶正交多项式零点，代入化简整理得，解得，同样舍去无意义解，。将Galerkin法解得的结果与正交配置法解得的结果比较，当时，前者，后者，所以两种方法得到的结果很接近。Galerkin法是通过残差加权积分确定参数；正交配置法假设采用一阶正交多项式来近似表示被积残差函数，取此正交多项式的根作为配置节点直接代入残差为零的方程中解出参数，与繁琐的积分运算过程相比，求解过程相当简单。两种方法结果的差别是来源于采用高斯积分公式的近似误差。11．用幂级数法求解[0,1]区间的Jaccobi方程分别在四种情况下求出相应的Jaccobi正交多项式解。解：Jaccobi多项式满足此微分方程并且在区间[0,1]上带权正交已由教科书上证明，现用幂级数法求解，设解为，代入微分方程，得整理为即得到系数递推关系若取整，则此级数要在区间[0,1]上收敛，只有当n为整数时才有可能。当k从0增加到n时，，所以幂级数就仅有前n项之和，。由上面得到的系数递推关系，得所以得到的幂级数为是任一常数，Jaccobi正交多项式即为大括号中内容。为n分别取0，1，2时的Jaccobi多项式，将不同值代入各自计算得到的结果如下：0，011，010，111，1112．催化剂内扩散问题由以下无量纲方程描述式中z=x2，f(y)为反应动力学项，s为颗粒形状因子，边界条件为y(1)=1。1）证明采用正交多项式和内部单结点(z=z1)配置方法，可将以上方程离散为2）用作图法示意上述代数方程的解y1（左端关于y1的线性方程和右端关于y1的非线性方程f(y1)的交点）。3）设f(y)=y2,s=2,求出y1的解答并给出浓度分布y＝y(x)的多项式解析表达式。4）增加内部配置节点数，将方程离散，然后用计算机编程求解所得的代数方程组，将所得结果与单点配置手工计算结果进行比较，比较函数值y(0)和有效系数η。解: （1）①由于本题取2个插值节点，为内部单节点，的边界点。设试验函数为Lagrange插值函数， （2）由正交配置法，式（1）在[0,1]区间的1个内部节点上残差为0，将式（2）代入（1）式，可得， （3）所以，问题得证。②③若内部节点为正交多项式的根，即所以，将其代入可得因为，所以且浓度分布为即13.管道中的层流换热问题由以下无量纲方程描述1）试采用