排队系统与存贮系统的综合模型探讨

排队系统与存贮系统的综合模型探讨排队论和存贮论是运筹学二个相对独立的重要理论，是运筹学的二个重要组成部分。它们在理论上有很多相似的地方，在生产生活中往往是共同存在的。都应用非常的广泛。

在理论方面，排队论和存贮论都是要达到成本最小或收益最大的目的，在基本理论和目的的前提下二者都分为许多的类型，排队系统按输入过程分为定长分布和随机分布，存贮系统按需求可分为确定型存贮和随机型存贮等。在理论的推导和证明中有很多相似的地方，都运用微分法或边际分析方法求极值，并且都用到了大量的数学知识，如随机变量和随机过程的知识。二者还同样需要求出系统最优状态下的参数，例如排队系统中的最优服务率，最优服务台个数，存贮系统中的存贮策略及其参数等。总而言之，排队系统和存贮系统在理论上有很大的相似之处。在运筹学中把它们作为二个不同的理论来研究。

在现实应用中，它们往往是同时存在的，存贮系统的需求往往就是一个排队系统，比如银行中，有资金的存贮同时又有大量客户对资金的需求，生产过程中，有物品存贮和大量用户对物品的需求。总之，有存贮系统就必然有排队系统的存在。二者在理论上的相似性和在应用中的共存性，使得把二者作为一个较大系统的子系统对其进行整体的研究、优化，在理论和应用中都具有很大的意义。

本文就库存系统和排队系统的相互影响入手，找出整个系统的最优参数，包括存贮子系统的存贮策略、排队子系统的最优排队空间、最优服务率和最优服务台个数。

2模型假设

系统模型如图1所示：①存贮子系统根据存贮策略的需要进行存货补充；②排队子系统发出需求；③如果存贮子系统不缺货则按需求提供货物；④存贮子系统按照存贮策略进行存货补充；⑤接受完服务的顾客携带所需货物离开系统。

顾客以参数为λ的负指数分布到达系统，每当系统中有顾客到达时,排队系统发出需求，存贮子系统按需求提供货物。假设每位顾客只需要一个单位的货物。顾客到达时,如果加工车间空闲,顾客立即受到服务,否则顾客要排队等待；如果没有排队空间，则顾客自行离去。系统可有多个服务台，每个服务台一次服务于一名顾客,服务时间是参数为μ的负指数分布,服务规则是按先到先服务的规则。如果顾客到达时存贮子系统缺货，则顾客在排队子系统内等待。排队子系统可以用一个M/M/s/k排队系统来描述。

存贮系统的存贮策略为(s,S)存贮策略，即系统的最大存贮量为S，当货物存贮量为s时进行存货补充，补充量为(S-s)。存货补充所需时间服从参数为ε的负指数分布。每次存货补充有进货费用。

3模型求解

3.1存贮策略的确定

存贮系统采用(s,S)存贮策略，需要确定的是s和S。设单位成本为k，单位存贮费为C1，单位缺货费为C2，每次定购费为C3，期初存贮为I，需求r为随机变量，其概率分布由排队子系统决定，密度函数为Φ(r)。因缺货费用与时间相关，缺货时间越长，缺货费用越多，这里假设单位时间内缺货费用一定，在平均缺货时间内，单位缺货费用为一定的。

3.2最优排队空间的确定

排队空间的大小是由排队子系统中平均排队的顾客数确定的，过大会造成空间的浪费，过小会造成顾客的不必要的流失。排队空间的大小包括两个方面的内容。顾客到达系统后不能立即接受服务就要排队，这受到服务率的影响，别一方面也受到存贮子系统中缺货情况的影响。因为如果缺货，此时排队系统就要停止服务，这会增加排队系统中排队的顾客数量。

在不缺货的情况下，M/M/s/k排队系统的平均排队长的计算如下：

设N(t)表示t时刻系统的顾客数，Pn=P（N（t）），则在M/M/s/k排队系统中有(1){N(t),t≥0}为有限生灭过程，其状态空间为I={1,1,2,…k}，在系统稳定的情况下：

当发生缺货时，队长就要在平均排队长的基础上，再加上在缺货时间内进入系统的顾客数。求出发生缺货的概率p，根据负指数分布的性质，平均补充所需时间为ε。则排队空间的大小为：

系统发生缺货的概率即为需求大于现存量的概率。系统在存货量小于s的时候开始进行存货补充，补充所需要的时间为服从参数为ε的负指数分布。由于在存货量为s的时候，即在还没有发生缺货的时候就进行补充了，所以缺货发生的概率即为在补充时间内需求量大于s的概率。

在时间t内，进入系统的平均人数为λ×t,系统中平均排队人数为L，所以在这段进间内发生缺货的概率为:

由此可得出系统最优排队空间为：

3.3最优服务台个数和最优服务率的确定

由于在缺货的情况下，排队子系统的服务完全停止，而在不缺货的情况下，排队子系统不受存贮子系统的影响正常工作。因此，排队子系统中的最优服务率和最优服务台个数不受到存贮子系统的影响，仅需要考虑系统正常驻机构工作的情况来确定。

排队子系统在平稳状态下单位时间内的总费用是服务费用和等待费用之和为：z=cs+cwL，其中s为服务台个数，cs为每个服务台单位时间内的费用，cw是单位时间内待费用，L是平均长。

因此，利用边际分析方法可得到使z最小的s确定方法为

依次求出s=1,2,…时L的值，计算相邻两个L值的差。根据cssw的值落入哪个与s有关的不等式中，即可确定出最优的s。

最优服务率的确定，以M/M/1/k模型为例，在平稳状态下单位时间内时入系统的顾客数为λe=λ(1-1-ρk1-ρk+1)，也等于单位时间内服务完的顾客数。假设每服务一个顾客系统收入为G，λ=1时单位时间内服务成本为cs，于是单位时间内利润为：

4结论

把存贮系统和排队系统组成的整个系统进研究要比单个对其进行研究要复杂的多，因为每个子系统变量的变化同时都会对另外一个子系统造成影响。因而，求解系统参数的时候就必须要考虑到更多的影响因素。正是因为其相互影响的作用，使得对二者单独进行求解不会达到整个系统的最优，因此，对二者的相互影响下的参数进行研究具有理论和现实意义。

在本文中，对系统参数的求