弦切角的性质-课件

弦切角的性质1．弦切角的定义___________________________________________的角叫做弦切角，如图所示，在图中__________就是一个弦切角．顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切∠CAB2．对弦切角的理解弦切角需具备的三个条件①__________在圆上(顶点为切线的切点)；②一边和圆__________(一边所在的直线为圆的切线)；③一边和圆__________(一边为圆的过切点的弦)．对于上述三个条件缺一不可，一个圆的弦切角不止一个，可有无数多个，只要满足上述三个条件就是弦切角．顶点相切相交3．弦切角定理(1)文字语言叙述弦切角等于它__________所对的圆周角．(2)图形语言叙述如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝_______．所夹的弧∠D4．与弦切角定理有关的结论(1)弦切角的度数等于它______________________．(2)弦切角的度数等于它_____________________________________．(3)如果两个弦切角所夹的__________，那么这两个________________．所夹的弧的度数的一半所夹的弧所对的圆心角度数的一半弧相等弦切角也相等∠CEM＝∠ADM

如图甲，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，直线ED交BC的延长线于F.若AD∶AE＝2∶1，求tan∠F.利用弦切角解决与角有关的问题[思路点拨]

[规律方法]

(1)利用弦切角解决与角有关的问题的步骤①根据图形及弦切角的定义找出与题目有关的弦切角；②利用弦切角定理找出与其相等的角；③综合运用相关的知识，进行角的求解．(2)注意事项①要注意观察图形，不要凭想当然．图形是最好的指导，要学会让图形“说话”，寻找解题的突破口，要特别重视数形结合思想的应用．②要注意圆周角定理、圆内接四边形的性质定理、相似三角形、射影定理等知识的综合应用．

如图甲，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE⊥DE于E，BD＝10，DE、BE是方程x2－2(m＋2)x＋2m2－m＋3＝0的两个根(DE<BE)．求AC的长．

利用弦切角解决与长度有关的问题[思路点拨]

利用韦达定理和勾股定理，求出DE、BE的长，然后两次借助弦切角定理，判断出三角形相似，利用对应的长度比值分别求出AD、AC的长度．[解题过程]

如图乙所示，连接AD．∵DE、BE是方程x2－2(m＋2)x＋2m2－m＋3＝0的两个根，∴DE＋BE＝2(m＋2)，DE·BE＝2m2－m＋3.又∵DE2＋BE2＝102，∴[2(m＋2)]2－2(2m2－m＋3)＝100，解得m＝5，[规律方法]

(1)弦切角是与圆相交的角．其主要功能是协调与圆相关的各种角，如圆心角、圆周角等，是连接圆与三角形全等、三角形相似及与圆相关的各种直线位置关系的桥梁．(2)弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理．(3)弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现．

2.如图，△ABD的边AB为直径，作⊙O交AD于C，过点C的切线CE和BD互相垂直，垂足为E.证明：AB＝BD．运用弦切角定理证明比例式或乘积式[规律方法]

证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件．

3.如图，AD是△ABC的角平分线，经过点A、D的⊙O和BC切于D，且AB、AC与⊙O相交于点E、F，连接DF.(1)求证：EF∥BC；(2)求证：DF2＝AF·BE.证明：(1)∵⊙O切BC于D，∴∠CAD＝∠CDF.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，又∵∠BAD＝∠EFD，∴∠EFD＝∠CDF，∴EF∥BC．

如下图所示，CF是⊙O的直径，CB是⊙O的弦，CB的延长线与过点F的⊙O的切线交于点P.

弦切角的综合应用[解题过程]

(1)∵PF是切线，∴△PCF是直角三角形，∵∠P＝45°，∴PF＝CF，∴2r＝PF＝10，∴r＝5，∴⊙O的半径为5.[规律方法]

利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．

4.如图，已知△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE，(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)设AB＝10cm，BC＝8cm，点P是射线AE上的点，若以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，问这样的点有几个？并求AP的长．1．圆心角、圆周角、弦切角三者之间的区别2.如何从运动变化思想理解弦切角？弦切角可以理解为是移动圆周角的一条边而产生的，过程为：保持一边不动，移动