高等数学函数的极限与连续习题及答案

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

第一章函数与极限复习题

1、函数fxx2x31x1与函数gxx1相同．

错误∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴fxx2x31x1与gx函数关系相同，但定义域不同，所以fx与gxx1

是不同的函数。

2、如果fxM（M为一个常数），则fx为无穷大．

错误根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．

错误如：数列xn1是有界数列，但极限不存在n

4、nlimana，limana．n

nn

n错误如：数列an1，lim(1)

x1，但lim(1)n不存在。n5、如果limfxA，则fxA（当x时，为无穷小）．

正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果～，则o．

1，是

∴limlim10，即是的高阶无穷小量。

27、当x0时，1cosx与x是同阶无穷小．

2xx2sin2sin1cosx11limlim2正确∵limx0x0x04x2x2x2

2正确∵lim

11limxlimsin0．x0xx0x0x

1错误∵limsin不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。x0x8、limxsin

19、lim1e．x0x

1错误∵lim1exx

x10、点x0是函数y的无穷间断点．x

xxxxlim1错误lim，limlim1x00xx00xx00xx00x

x∴点x0是函数y的第一类间断点．x

111、函数fx必在闭区间a,b内取得最大值、最小值．x

1xx

第一章函数与极限复习题

错误∵根据连续函数在闭区间上的性质，fx

∴函数fx1在x0处不连续x1在闭区间a,b2（１）fex的定义域是（(,0)）；

（３）flgx的定义域是（(1,10)）．

答案：（1）∵0e1

（2）∵01sinx1

（3）∵0lgx12x；xxk,x(k)Z）2

x22x0x0的定义域是（2,4）2、函数fx0．

x230x4

3、设fxsinx2，xx21，则fx（sinx21）．2

x＝（x）．nn

xxsinsinxlimxx∵limnsinlimnnxnn1

nn

x11xx5、设fxcos，limfx（0）．1x1，则limfx（2）x10x102x1x1

∵limfxlim(1x)2，limfxlimx104、limnsinx10x10x10x10

1cosx1x06、设fxx2，如果fx在x0处连续，则a（）．2x0a

1cosx11cosx1x0limf0a∵lim，如果在处连续，则fx22x0x022xx

7、设x0是初等函数fx定义区间）．

∵初等函数fx在定义区间）时为无穷大，当x（）时为无穷小．1x1，limx1

9、若lim

∵xxx1201）．22x1axb0，则a（1），b（

2

第一章函数与极限复习题

2

1

a2x212abx1b2x2x1axblimlim2xxx1axbxx1axbx

欲使上式成立，令

上式化简为

1a2

0，∴a1，

2

1b

12ab12abx1b212ablimlimlim

xxx1a∴1

a1，12ab0，b2

10、函数fx

的间断点是（x0,x1）．

11

xx2x2

11、fx2的连续区间是（,1,1,3,3,）．

x4x3ax2sinx

2，则a（2）12、若lim．

xx∴aax2sinxsinxlimlima2a0a02limxxxxx

1

2

13、lim

sinx

（0）is，limxn

xxx

1

x

x0

1

（1），x

kx

lim1x

1k

，lim1（e）．（e1）

xx

sin1

x1

k

∵lim

sinx11

limsinx0limxsinlim

xxxxxxx1

x

lim1xlim1(x)

x0

x0

1x1

(1)x

11

e1lim1lim(1)xek

xxxx

x

kx

14、x

limsin(arctanx)（不存在）iclarcont(is)，m

n

x（0）

三、选择填空：

1、如果limxna，则数列xn是（b）

a.单调递增数列b．有界数列c．发散数列

3

第一章函数与极限复习题

2、函数fxlogaxx21是（a）

a．奇函数b．偶函数c．非奇非偶函数∵fxlogax(x)21log1

a

xx21

logaxx21fx

3、当x0时，ex1是x的（c）

a．高阶无穷小b．低阶无穷小c．等价无穷小

4、如果函数fx在x0点的某个邻域b．连续c．有界

5、函数fx1

1x在（c）条件下趋于.

a．x1b．x10c．x10

6、设函数fxsinx

x，则limx0fx（c）

a．１b．－１c．不存在∵sinx

xlimlimsinxsinx00xx00xxlim00x1

limsinxsinx

0xxlim00x1x0

根据极限存在定理知：limx0fx不存在。

7、如果函数fx当xx0时极限存在，则函数fx在x0点（c）

a．有定义b．无定义c．不一定有定义

∵fx当xx0时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。

8、数列１，１，12，２，13，３，…，1

n，n，…当n时为（c）

a．无穷大b．无穷小c．发散但不是无穷大

9、函数fx在x0点有极限是函数fx在x0点连续的（b）

a．充分条件b．必要条件c．充分必要条件

10、点x0是函数arctan1

x的（b）

a．连续点b．第一类间断点c．第二类间断点∵1

xlim00arctanx

21

xlim00arctanx2

根据左右极限存在的点为第一类间断点。

11、点x0是函数sin1

x的（c）

a．连续点b．第一类间断点c．第二类间断点

四、计算下列极限：

nn

1、lim1

n3n

n

解limn1

n3nlimn(131(1)n1

3n)3

4c）

第一章函数与极限复习题

2、lim

tan3x

x0sin2x

tanx33x3lilim（∵x0,sin2x～2x,tan3x～3x）解x0

sinx2x02x2

3、limx

x

lim

x

x

lim

xxx

xx

xxxxxx

lim

x

2

xx1

1

2lim

4、lim

n

x

n

2

n1n2n

解

limn2n1n2

n

n

nlim

n

2

n1n2n

2

n

2

n1n2n

2

nn1nn

12

2n1limlim1

n

111n2n1n2nn

2nnn

x3x2

5、lim

x00xsinx

x3x2x

xlimlimlimx00xsinxx00xsinxx

00

xsin

x

x1

2

x0

x1

sinx21

x

x2

6、lim

x0

xsinxx0

x2

1

5

lim

x0

1x2

第一章函数与极限复习题

li

x0

7、limx012x1x1

x0

8、limx1lix1x1lix0x1x1x1lix11x0xxx1limx1

x0xxx1limx1xx1x119、limtanxsinxx3

12xxsinx1cosxtanxsinx11limlimlim333x0x0x0xxcosxxcosx2

12x0,1cosxx(∵,sinx)2

10、limx

cos2xx00

解x00lixco2sx

12x)2lix00x122x212(∵x0,1cosx～

xx111、limxx1

11x1x1e1xlimlim2xxx1eex1解1x

12、limxln1xx1x

6

第一章函数与极限复习题

111limxln1limln1lnlim11解xxxxxx

13、limxxxcosxxxcosx

cosx1xcosxlilixxcosxxx1cos解