高中数学4.2复数的四则运算4.2.1复数的加法与减法4.2.2复数的乘法与除法课件北师大版

4.2.1复数的加法与减法4.2.2复数的乘法与除法一、复数的加法、减法设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,1.运算:z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i.2.法则:两个复数的和或差仍然是一个复数,它的实部是原来两个复数的实部的和(或差),它的虚部是原来两个复数的虚部的和(或差).名师点拨1.一种规定:复数的加减法法则是一种规定,减法是加法的逆运算;特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致.2.运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.3.运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数.4.适当推广:可以推广到多个复数进行加、减运算.5.虚数单位i:在进行复数加减运算时,可将虚数单位i看成一个字母,然后去括号,合并同类项即可.二、复数的乘法1.已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.2.运算律:对于任意的z1,z2,z3∈C,有(1)交换律:z1·z2=z2·z1,(2)结合律:(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),(3)乘法对加法的分配律:z1·(z2+z3)=z1z2+z1z3,(4)复数的乘方:任意复数z,z1,z2和自然数n,名师点拨虚数单位i的常见结论.(1)虚数i的乘方及其规律:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+),即in具有周期性,最小正周期为4.(2)in+in+1+in+2+in+3=0.(3)(1±i)2=±2i.【做一做2】

已知i为虚数单位,复数z=2i(2-i)的实部为a,虚部为b,则logab等于(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析:z=2i(2-i)=4i-2i2=2+4i,则a=2,b=4,所以logab=log24=2.故选C.答案:C

思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若复数z1,z2满足z1-z2>0,则z1>z2.(

)(2)两个互为共轭复数的复数的和与积都是实数.(

)(3)若两个复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,则z1=z2=0.(

)(4)两复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)÷(c+di)(

)答案:(1)×

(2)√

(3)×

(4)×探究一探究二探究三思维辨析复数的加减运算

思路分析:先求z1+z2,再根据复数为虚数判断求出.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟复数加减运算的方法1.复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.2.把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于(

)A.0 B.2i C.6 D.6-2i解析:∵z+i-3=3-i,∴z=3-i+3-i=6-2i.答案:D探究一探究二探究三思维辨析复数的乘法、除法运算

思路分析:按照复数乘法与除法运算法则进行计算.解:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i.(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(-2+11i+5)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟复数的乘法可以把i看作字母,按多项式的乘法法则进行,注意把i2化成-1,进行最后结果的化简;复数的除法先写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,并进行化简.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为(

)A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i探究一探究二探究三思维辨析共轭复数

思路分析:将方程左边化成a+bi的形式,利用复数相等的充要条件来求解.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析变式训练5已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=(

)A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i解析:∵a-i与2+bi互为共轭复数,∴a=2,b=1.∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.答案:D探究一探究二探究三思维辨析不清楚判别式使用的条件而致误【典例】

已知关于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x,y∈R)有实数解,求点(x,y)的轨迹方程.易错分析:根的判别式只有在实系数的一元二次方程中才能用,本题的正确处理方法是设出方程的根,利用复数相等的充要条件化为方程组,然后消参数求解.探究一探究二探究三思维辨析纠错心得对于复系数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为复数),讨论解的情况时,需先设x=m+ni(m,n∈R),将上述方程利用复数相等转化为实系数方程再进行处理.探究一探究二探究三思维辨析跟踪训练已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+